Ряд чисел фибоначчи: C++ Ряд чисел Фибоначчи: такие разные решения

Таинственная природа или ряд чисел Фибоначчи в красоте – Женский сайт

Сегодня коснемся очень интересной темы, милые девушки, это соединение математики и науки с таинственной природой. Как может соединиться такое понятие, как ряд чисел Фибоначчи и, например, букеты цветов на свадьбу, про то, как похудеть к свадьбе, мы уже знаем, а тут будем разбираться в такой не простой теме.

Тем не менее, все в природе подчиняется своим законам и правилам. Пожалуй, главным таким законом можно назвать принцип золотого сечения или золотой пропорции.

Вот уже многие века золотая пропорция считается наиболее совершенным и гармоничным соотношением целого и его частей. Мало кто задумывается, что одной и той же закономерности подчинено строение едва ли не всех элементов природы.

Золотое сечение — это пропорция, при которой меньшая часть одного целого, относится к большей, ровно так же, как большая часть относится ко всему целому.

Конечно, выяснив, в чем секрет природной гармонии, человек не мог не попытаться применить «божественную пропорцию» в своих творениях. Еще древние египтяне, создавая свои пирамиды, храмы и предметы быта, непременно использовали золотое сечение. В эпоху Ренессанса пропорция стала, пожалуй, главным приемом в работе художников и архитекторов. Сегодня она повсеместно используется при проектировании дизайна интерьеров, бытовой техники, в дизайне мебели, конструировании машин и, конечно,

С понятием золотого сечения связывают имя итальянского математика XIII века Леонардо Пизанского, известного миру как Леонардо Фибоначчи. Он выявил определенную числовую последовательность, которую стали считать арифметическим выражением золотой пропорции. Каждое третье число Фибоначчи равно сумме двух предыдущих, а при возрастании ряда отношение соседних чисел все больше приближается к отношению в золотом делении.

Ряд Чисел Фибоначчи.

Именно ряд Фибоначчи имеет прямое отношение к развитию нового направления в ботанике — филлотаксиса. Именно в числах этой последовательности может быть выражена спиральная форма, так часто повторяющаяся в природе. Листья и ветки растений всегда располагаются в винтовой симметрии. Это позволяет каждому листочку растения быть открытым для солнца и это наиболее гармонично для зрительного восприятия человека. По спирали располагаются ячейки кедровых шишек и семечки в подсолнухе. Спиральную форму имеет размещение чешуек у рыб и змей, по спирали плетет свою паутину паук.

Золотое сечение находит применение в построении треугольников, пентаграмм (например, здание Пентагона) и в других «золотых» фигурах.

«Спиралями Фибоначчи» фотографы и дизайнеры указывают нам на центр интереса в композиции, числами Фибоначчи режиссеры видео- и киномонтажа измеряют промежутки между ключевыми сценами.

Сочетание обаяние таинственной природы с человеческой интуицией, могуществом человеческого мастерства и интеллекта создает совершенные вещи, это и есть КРАСОТА.

на ваш сайт.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ — евгений журавли. диалоги — LiveJournal

 — числовая последовательность, где каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,.. 422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Геометрически последовательность Фибоначчи есть ни что иное, как золотое сечение – деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.. Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики. Пока что практика показывает, что Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности. В сосновой шишке, если посмотреть на нее со стороны черенка, можно обнаружить две спирали, одна закручена против другая по часовой стрелке. Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!.. У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары), источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом… Возможно, все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы. Чисто визуально данное соотношение воспринимается нашими органами чувств как «гармоничное», «естественное». Именно в таком соотношении куплет/припев/соло наиболее приятно воспринимается музыка. В этом соотношении построен храм Парфенон. Сергей Эйзенштейн искусственно и осознанно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения.

Так например, цифровой код развития цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (например, 15 есть 1+5=6 и т.д.). Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, русский исследователь Михайлов в 1997г получил следующий ряд этих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, затем все повторяется 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. и повторяется вновь и вновь… Этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, каждый бесконечно последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13-го и 14-го членов равна 15, т.е. 8 и 8=16, 16=1+6=7. Оказывается, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего, весь порядок цифр повторяется. Получив этот период, некоторые ученые выдвигают предположение — не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации?

Вовсе нет. Полагаю, что неверно спешить называть любую некую последовательность «формулой Бога» или «законом Вселенной». Просто структура всего, наполняющего нас универсальна и закономерна. Т.е. все, что может существовать, совершенно определенно ограничено и априори логично.  Нет истины за пределами математики. Сама же математика базируется всего лишь на нескольких элементарных, очень простых, фундаментальных основаниях, признанных нами за аксиомы. Сама универсальность и простота основ заставляет обнаруживать изначальные закономерности во всех проявлениях всего существующего.»Сквозной мир», где каждая точка и каждое явление и св-во пронизано одними и теми же закономерностями, мир, вне пределов этих закономерностей не существующий. 
Заметим также, что наши фундаментальные аксиомы средствами и в пределах нашей теории не могут быть доказаны.

Интересно.

Высшая математика жизни: где в природе встречаются числа Фибоначчи? | Наука | Общество

Каждый год 23 ноября в мире вспоминают первого крупного математика средневековой Европы Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи. Он открыл для современников десятичную арабскую систему счисления и в целом обогатил их знания в точных науках. Но главным его открытием стала последовательность, названная числами Фибоначчи. Её называют удивительной за свойство неожиданно проявляться в самых разных сферах жизни — от биологии до живописи.

Кролики Леонардо Пизанского

Леонардо Пизанский, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи (чаще всего имя трактуют как «счастливчик»), родился около 1170 года в итальянском городе Пиза. Его отец был купцом и посещал по торговым делам Алжир, куда привёз сына для изучения математики у арабских учителей. Позднее Фибоначчи сам ездил в Египет, Сирию, Византию и Сицилию, где ещё ближе познакомился с достижениями античных и индийских математиков. На основе полученных там знаний Леонардо написал ряд математических трактатов, ставших революционными для средневековой западноевропейской науки. Самым известным его трудом стала «Книга абака» (абак — это древнеримские счёты).

«Фактически это была энциклопедия математики того времени, — рассказывает

Придуманная средневековым математиком задача предназначалась для расчёта потомства кроликов. По её условию в огороженный со всех сторон загон поместили двух животных для размножения. Вопрос: сколько они могут произвести на свет пар кроликов за год, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару? Ответ — 233 пары. Для поиска решения автор задачи вывел числовой ряд, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Он выглядит так: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее до бесконечности.

Дату 23 ноября для неофициального праздника Дня Фибоначчи тоже выбрали исходя из его последовательности. Для этого использовали принятый на Западе календарный формат, при котором цифрами сначала пишут месяц, а потом день. Получается 11/23, что повторяет первые четыре числа из ряда математика: 1, 1, 2, 3.

Но ещё интереснее то, что числовой ряд Фибоначчи нашёл применение во многих областях математики и по сей день удивляет учёных своей универсальностью. Кроме того, с ним также оказались связаны многие явления окружающего мира.

Удивительные числа

«В Италии выпускается периодический журнал, который называется „Числа Фибоначчи“, — продолжает Эдуард Сергеев. — Авторы со всего мира пишут для него статьи, связанные с последовательностью Леонардо Пизанского и другими свойствами чисел. И практически каждый год открывают что-то новое. В мои студенческие годы были известны одни свойства чисел Фибоначчи, а сегодня уже появились другие, в том числе совершенно неожиданные. Одно из открытых недавно удивительных свойств чисел Фибоначчи в том, что с определённой периодичностью в них повторяются одни и те же последовательности последних цифр. То есть рост этого ряда не случаен и подчиняется некоему закону, который, видимо, пока недоступен нашему пониманию. Это действительно загадочная вещь».

Поразительные свойства последовательности Фибоначчи в математике сложно объяснить человеку без специальных знаний, но многое можно понять и без формул. Одна из главных особенностей этого «золотого ряда» в том, что отношение каждого последующего его члена к предыдущему неуклонно приближается к показателю 1,618. Математикам он известен как число Фи, но у него есть и много других имён: число Бога, божественная гармония, асимметричная симметрия, золотое сечение (последнее понятие придумал

«Леонардо Да Винчи тоже был виртуозом золотого сечения, — говорит Эдуард Сергеев. — Эту пропорцию можно найти в его знаменитой „Джоконде“ и других картинах. По тому же принципу я как-то давал своим студентам задачу нарисовать самый красивый эллипс, который только возможен. Для этого нужно рассчитать отношение большого диаметра к меньшему по числу Фи. Это такая константа, к которой удивительным образом сходятся все рекуррентные последовательности».

Кстати, учёные также находят математическую взаимосвязь между величиной Фи и числом Пи, которое тоже часто называют загадочным.

В подсолнухе и в ухе

С рядом Фибоначчи и числом Фи в геометрии связана логарифмическая спираль, которая разворачивается по принципу золотого сечения. Её можно вписать в систему вложенных друг в друга «золотых» прямоугольников с отношением сторон, равным Фи, или описать вокруг неё. А удивляет то, что такие модели часто встречаются в природе. По образу спирали Фибоначчи построены раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов. Их рост хорошо описывается на основе числа Фи с коэффициентом 2.

Отношение длин трёх витков спирали уха человека точно соответствует Фи и такие же параметры — у раковин некоторых улиток. Недавно узнали, что золотая и другие логарифмические спирали встречаются в роговичном эпителии мышей.

Ещё Леонардо да Винчи и знаменитый немецкий учёный Кеплер обращали внимание на винтовое расположение листьев у растений, напоминающее спираль. Так же растут лепестки у цветов, семечки в подсолнечнике, шишки у хвои, чешуйки на плодах ананаса. Эту закономерность в ботанике называют филлотаксисом, и в формулах листорасположения тоже встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно. Такие свойства определяет генетика, уходящая корнями на клеточный и молекулярный уровни. А полипептидные цепи в молекуле ДНК тоже имеют винтовое расположение. Есть данные, что соотношение длины и ширины у них несёт в себе формулу золотого сечения.

Тот же принцип виден и в строении галактик. Например, наш Млечный Путь имеет несколько рукавов, растущих по принципу логарифмической спирали с шагом примерно 12 градусов. Великий поэт Гёте, который также был естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. И, может быть, не случайно символ спирали присутствовал в культуре многих коренных народов Земли.

«Кеплер говорил, что Бог является хорошим геометром и строит Вселенную по математическим законам, — продолжает Эдуард Сергеев. — И я на сто процентов с этим согласен. Узнавая окружающий мир, всё больше изумляешься и удивляешься. На эти темы очень замечательно пишет астрофизик Марио Ливио. Я читал его книгу „Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса“. Он там рассказывает и о спирали жизни, и о строении ДНК, и о многих других явлениях. Конечно, всё это математика — и ещё какая математика».

Исследовательская работа «Ряд чисел Фибоначчи в биологии»

Министерство образования и науки РБ.

Бичурский район

МБОУ «Бичурская СОШ № 5»

XI Республиканская научно-практическая конференция учащихся начальных классов «Первые шаги»

Номинация: Биология (Растительный мир)

Тема: Ряд чисел Фибоначчи в биологии.

Автор: Ткачёв Илья ученик 3 класса

Бичурской СОШ № 5. Бичурского района.

Домашний адрес: п. Сахарный завод ул. Советская д. 25 кв.1

Руководитель: Осмоловская Людмила Ивановна

Телефон: 8 914 988 42 11

г. Улан-Удэ

2015

Оглавление.

Введение ———————————————————————————- 3

1. Основная часть ————————————————————- 4

2. Практическая часть ——————————————————— 4 — 5

3. Заключение. Выводы —————————————————— 5

Список использованной литературы ——————————————- 6

Приложение 1 – 6 —————————————————————— 7

Приложение 7 — 11 —————————————————————— 8

Введение.

Итальянский учёный, Леонардо Фибоначчи, (его имя означает «сын доброй природы») однажды, взяв пару кроликов, поставил перед собой чисто купеческую задачу:

Подсчитать, какое потомство кроликов можно получить за год, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Фибоначчи предположил, что кролики не болеют и не умирают. Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц пара даст потомство, станет 2 пары. На 4-й месяц первая пара снова даст потомство, станет 3 пары. На 5-й месяц потомство дадут и первая, и вторая пара. Станет 5 пар и т. д. К концу года Фибоначчи надеялся получить 144 пары. [1]

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Задача о кроликах вошла в историю математики, а ряд чисел Фибоначчи зажил самостоятельной жизнью.

Актуальность:

Существует закономерность, по которой происходят события в живой природе. Я заинтересовался числами Фибоначчи.

Моя гипотеза: Вероятно, что закономерность чисел Фибоначчи можно встретить в жизни растений и животных.

Объект исследования:

Окружающий растительный и животный мир.

Предмет исследования:

Форма и строение исследуемых предметов.

Цель исследования: Выяснить, насколько широко последовательность чисел Фибоначчи встречается в живой природе.

Задачи:

1. Познакомиться с историей создания числового ряда Фибоначчи.

2. Изучить литературу по данной теме.

3.Установить, какая последовательность в жизни растений и животных образуется в соответствии с числовым рядом Фибоначчи.

Методы исследования

Практическая значимость: Данная работа может быть использована на уроках окружающего мира и биологии при изучении тем «Растения», «Животные», а также на уроках математики. Ведь суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых чисел 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.

Новизна работы: Мы видим в природе множество различных растений и животных, но мало кто из нас догадывается, что их рост и развитие соответствуют закономерности числового ряда Фибоначчи.

1. Основная часть

Так какое же отношение имеет ряд чисел Фибоначчи к биологии? Изучив соответствующую литературу, я узнал много интересного. Оказывается, спустя несколько столетий после рассчетов Фибоначчи, учёные обнаружили интересную закономерность: Если взять молодую дубовую веточку и мысленно соединить линией места прикрепления к ней листьев, то получится несколько спиралей. Оказалось, что расстояния между листьями не одинаковы. Они соответствуют числам ряда Фибоначчи. Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса». [2]

С тех пор установлено много фактов, показывающих, что закономерность ряда Фибоначчи проявляется в формах живой природы. Посмотрите на ананас. Его чешуйки образуют рисунок пересекающихся кривых. Если в одну сторону закручивается 8 спиралей, то в другую, обычно 13. [3]

Числа Фибоначчи проявляются и в морфологии различных организмов. Морские раковины закручены спиралеобразно. Или, например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13. [4]

У хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. [5]

Посмотрим на средний палец кисти руки. Если первая фаланга пальца 2 см, то вторая – 3, а третья 5 см. [6]

Эти числа принадлежат ряду Фибоначчи и стоят рядом.

2. Практическая часть

Однажды, на пришкольном участке, моё внимание привлёк подсолнух. Рассмотрев его внимательно, я заметил, что семена на его корзинке образуют сложный рисунок пересекающихся кривых. Я опустил карандаш в центр корзинки и повёл линию от семечка к семечку. Оказалось, семена выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как справа налево, так и слева направо. 4

Я посчитал, что в одну сторону закручивается 21 спираль, а в другую 34. [7]

В числовом ряду Фибоначчи эти числа стоят рядом. К празднику Золотой осени мы всем классом трудились над композицией из природного материала. Взяв в руки еловую шишку, я невольно обратил внимание на расположение чешуек. Рассмотрев внимательно, я убедился, что чешуйки расположены в трёх спиралях, круто навивающихся влево на стержне шишки и они же расположены в пяти спиралях, навивающихся в противоположном направлении. [8]

Кто из вас не видел молоденькую веточку обыкновенной сосны? Но, наверное никто не обращал внимание на то, что хвоинки образуют 2 спирали, идущие справа снизу налево вверх и 3 спирали, идущие слева снизу направо вверх. [9]

Ты ответь мне, цветик-одноцветик,
Белый, с золотою серединой,
Где же мой единственный на свете,
Самый долгожданный и любимый?

Девушки любят гадать на ромашке. А вы знаете, сколько лепестков на этом цветке? Я посчитал, их 21, а на более крупном цветке – 34. И расположены они по принципу спирали. А вот у астры их число стремится к 55, 89 или 114, в зависимости от сорта цветка. [10]

Вы выращиваете в своём огороде капусту брокколи? Спирали на её кочане сразу бросаются в глаза [11]

. Таким образом, закономерность числового ряда Фибоначчи встречается в биологии с постоянным упрямством.

3. Заключение.

Я изучил и проанализировал проявление числовой последовательности Фибоначчи в жизни растений и обнаружил, что многочисленные примеры двойных спиралей встречаются повсюду в природе и всегда соответствуют этому правилу.

Чем больше смотришь, тем больше находишь. Почему же в природе с таким постоянством повторяются числа ряда Фибоначчи? Почему из всех закономерностей, связанных с ростом, природа выбрала именно ряд Фибоначчи? Эту загадку ещё предстоит разгадать в будущем.

Я очень заинтересовался данной темой и решил в дальнейшем обогатить свои знания в области математики: изучить золотое сечение (золотую пропорцию) Леонардо Фибоначчи

5

Список литературы

1. Википедия «История возникновения числового ряда Леонардо Фибоначчи»

2. Википедия «Числа Фибоначчи в биологии»

3. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984.

6

Учебник по JavaScript: ч.1, Числа Фибоначчи: ilyachalov — LiveJournal

Еще одна интересная задача из учебника, которая в очередной раз показывает, почему рекурсию не следует использовать в реальных программах: «Числа Фибоначчи».

Числа Фибоначчи — это ряд натуральных (целых и положительных) чисел, каждое из которых (начиная с третьего) является суммой двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее…

https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи

По условиям задачи требуется написать функцию, вычисляющую и возвращающую число из этого ряда чисел Фибоначчи по заданному номеру этого числа в этом ряду чисел.

Так как задача находится в подразделе 6.1 «Рекурсия и стек» учебника, то понятно, что предполагается, что ученик сначала попробует решить задачу методом рекурсии. Написать это решение несложно. Для проверки работы получившейся функции предлагается найти числа из ряда чисел Фибоначчи с номерами 3, 7 и 77.

Число с номером 3 из ряда чисел Фибоначчи — это число 2, с номером 7 — число 13, с номером 77 — число 5527939700884757.

И тут выясняется, что при поиске числа Фибоначчи с номером 77 вариант решения с рекурсией завешивает браузер (у меня — «Microsoft Edge») на некоторое время, после чего браузер выдает на экран сообщение о том, что «Эта страница не отвечает» (предлагается на выбор продолжить ожидание — кнопка «Wait», либо насильно завершить работу скрипта страницы — кнопка «Exit page»). Причины этого объяснены в указанном подразделе учебника.

Как я упоминал ранее (в учебнике это тоже подчеркивается), любую рекурсию можно переделать в цикл. Вариант решения с использованием цикла вместо рекурсии от авторов учебника:

function fib(n) {
    let a = 1;
    let b = 1;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        let c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

Однако, мне кажется, у меня получилось решить эту задачу лучше (в смысле — понятнее).

Во-первых, неинформативное название переменных авторы учебника сами ругали в следующем подразделе учебника:
https://learn.javascript.ru/variables#pridumyvayte-pravilnye-imena

Переменные a и b я назвал prev («предыдущее» число в ряде чисел Фибоначчи) и cur («текущее» число в ряде чисел Фибоначчи) соответственно. На каждой итерации цикла нам необходимо знать два числа из ряда чисел Фибоначчи, я их назвал «предыдущим» и «текущим».

В цикле мы движемся по ряду чисел Фибоначчи в сторону увеличения чисел (вправо). В каждой новой итерации цикла «предыдущее» и «текущее» числа изменяются.

Новое «текущее» число вычисляется как сумма старого (из предыдущей итерации) «текущего» числа и старого (из предыдущей итерации) «предыдущего» числа. После этого старое «текущее» число становится новым «предыдущим» числом. Математическими инструкциями это можно выразить так:

cur_нов = cur_стар + prev_стар
prev_нов = cur_стар

Переменная c, очевидно, является вспомогательной. Чтобы от нее избавиться, можно применить деструктурирующее присваивание, о котором в учебнике было рассказано ранее и я о нем писал. Преобразуя вышеприведенные математические формулы в JavaScript и применив деструктурирующее присваивание, получаем более изящный и более понятный, чем у авторов учебника, код:

[cur, prev] = [cur + prev, cur];

function fib(n) {
    let cur = 1, prev = 1;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        [cur, prev] = [cur + prev, cur];
    }
    return cur;
}

Ряд фибоначчи в пропорциях ихтиозавра.

Леонардо Фибоначчи – один из величайших математиков Средневековья. В одном и своих трудов “Книга вычислений” Фибоначчи описал индо-арабскую систему исчисления и преимущества ее использования перед римской.

Определение
Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи – числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

Полное определение чисел Фибоначчи

3.

Свойства последовательности Фибоначчи

4.

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют(ФИ).

2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Связь последовательности Фибоначчи и «золотого сечения»

6.

Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 13:8), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875… и чеpез pаз то пpевосходящая, то не достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из «сокpовищ геометpии». В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи

Представим золотое сечение на примере отрезка.

Рассмотрим отрезок с концами A и B. Пусть точка С делит отрезок AB так что,

AC/CB = CB/AB или

AB/CB = CB/AC.

Представить это можно примерно так: A-–C—–B

7.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

8.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618…, если AB принять за единицу, AC = 0,382.. Kак мы уже знаем числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.

9.

Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории

10.

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

11.

Пpиводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

12.

1. Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

2. Растения и животные. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение — цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

3. Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.

Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

4. Пирамиды. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Площадь тpеугольника

356 x 440 / 2 = 78320

Площадь квадpата

280 x 280 = 78400

Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) – это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью – передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Пирамиды в Мексике. Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего происхождения.

Про числа и формулы, которые встречаются в природе. Ну и пару слов про эти самые числа и формулы.

Числа и формулы в природе — это камень преткновения между теми, кто верит в создание вселенной кем-то, и теми, кто верит в создание вселенной самой по себе. Ибо вопрос: «Если бы вселенная возникла сама по себе, то разве практически все живые и неживые обЪекты не были бы построены по одной и той же схеме, по одним и тем же формулам?»

Ну, на этот философский вопрос мы отвечать здесь не будем (формат сайта не тот 🙂), а формулы озвучим. И начнём с чисел Фибоначчи и Золотой спирали.

Так, числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. То есть, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 и так далее.

Итого, получается ряд: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Ещё один пример ряда Фибоначчи: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 и так далее. Можете поэкспериментировать сами 🙂

Как числа Фибоначчи проявляются в природе? Очень просто:

1. Листорасположение у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.
2. Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи.
3. Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.

С помощью чисел Фибоначчи можно построить Золотую Спираль. Так, нарисуем маленький квадратик со стороной, скажем, в 1. Далее вспомним школу. Сколько будет 1 2 ? Это будет 1. Значит, нарисуем ещё один квадратик рядом с первым, вплотную. Далее, следующее число Фибоначчи — 2 (1+1). Сколько будет 2 2 ? Это будет 4. Нарисуем вплотную к первым двум квадратам ещё один квадрат, но теперь со стороной 2 и площадью 4. Следующее число — это число 3 (1+2). Квадрат числа 3 — это 9. Рисуем квадрат со стороной 3 и площадью 9 рядом с уже нарисованными. Далее у нас идёт квадрат со стороной 5 и площадью 25, квадрат со стороной 8 и площадью 64 — и так далее, до бесконечности.

Настало время для золотой спирали. Соединим плавной кривой линией точки-границы между квадратами. И получим ту самую золотую спираль, на основе которой строятся многие живые и неживые обЪекты в природе.

И перед тем, как переходить к золотому сечению, подумаем. Вот мы построили спираль на основе квадратов последовательности Фибоначчи (последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8 и квадраты 1, 1, 4, 9, 25, 64). Но что будет, если мы воспользуемся не квадратами чисел, а их кубами? Кубы будут выглядеть из центра так:

А сбоку так:

Ну а при построении спирали, получится обЪёмная золотая спираль :

Вот так эта обЪёмная золотая спираль выглядит сбоку:

Но что если мы возьмём не кубы чисел Фибоначчи, а перейдём в четвёртое измерение?.. Вот это головоломка, да?

Однако, понятия не имею, как в природе проявляется обЪёмное золотое сечение на основе кубов чисел Фибоначчи, а уж тем более чисел в четвёртой степени. Поэтому возвращаемся к золотому сечению на плоскости. Так, снова посмотрим на наши квадраты. Если говорить математически, то получается вот такая вот картинка:

То есть, мы получаем золотое сечение — где одна сторона делится на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

То есть, a: b = b: c или с: b = b: а.

На основе такого вот отношения величин строится, помимо прочего, правильный пятиугольник и пентаграмма:

Для справки: для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O — центр окружности, A — точка на окружности и Е — середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

В общем, такие вот закономерности. Причём разнообразных закономерностей намного больше, чем было описано. И теперь, после всех этих скучноватых чисел — обещанный видео-ролик, где всё просто и наглядно:

Как видите, математика действительно присутствует в природе. Причём не только в перечисленных в видео обЪектах, но и во многих других областях. Например, когда волна набегает на берег и закручивается, то закручивается она по Золотой спирали. Ну и так далее 🙂

Золотое сечение и числа последовательности Фибоначчи. June 14th, 2011

Некоторое время назад я обещала прокомментировать утверждение Толкачева о том, что Питер построен по принципу Золотого Сечения, а Москва – по принципу симметрии, и что именно поэтому столь ощутимы различия в восприятии этих двух городов, и именно поэтому петербуржец, приезжая в Москву «заболевает головой», а москвич «заболевает головой», приезжая в Питер. Требуется некоторое время для сонастройки с городом (как при перелете в штаты – требуется сонастройка со временем).

Дело в том, что наш глаз смотрит — ощупывая пространство с помощью определенных движений глаз – саккад (в переводе – хлопок паруса). Глаз совершает «хлопок» и посылает сигнал в мозг «сцепление с поверхностью произошло. Все в порядке. Информация такая-то». И в течение жизни глаз привыкает к определенной ритмике этих саккад. И когда эта ритмика кардинально меняется (с городского пейзажа на лес, с Золотого Сечения на симметрию) – тут то и требуется некоторая работа мозга по перенастройке.

Теперь подробности:
Определение ЗС — это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

То есть, если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b — 0,382. Таким образом, если взять строение, например, храм, построенный по принципу ЗС, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6, 18 см. (понятно, что цифры я взяла ровными для наглядности)

А какова связь между ЗС и числами Фибоначчи?

Числа последовательности Фибоначчи это:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Закономерность чисел в том, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 и т.д.,

а отношение смежных чисел приближается к отношению ЗС.
Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

То есть в основе ЗС лежат числа последовательности Фибоначчи.
Вот этот ролик ещё раз наглядно демонстрирует эту связь ЗС и чисел Фибоначчи

Где ещё встречаются принцип ЗС и числа последовательности Фибоначчи?

Листья у растений описывается последовательностью Фибоначчи. Зерна подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи.

Яйцо птицы

Длины фаланг пальцев человека относятся примерно как числа Фибоначчи. Золотое сечение просматривается в пропорциях лица.

Эмиль Розенов исследовал ЗС в музыке эпохи Барокко и классицизма на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам ЗС. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие развивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Многие элементы декора, а так же шрифты, созданы с использованием ЗС. Например шрифт А.Дюрера (в рисунке буква «А»)

Считается, что термин «Золотое сечение» ввел Леонардо Да Винчи, который говорил, «пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды” и показывал пропорции человеческого тела на своём знаменитом рисунке «Витрувианский человек». “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

Знаменитый портрет Моны Лизы или Джоконды (1503) создан по принципу золотых треугольников.

Собственно говоря сама звезда или пентакль представляет собой построение ЗС.

Ряд чисел Фибоначчи наглядно моделируется (материализуется) в форме спирали

А в природе спираль ЗС выглядит вот так:

При этом, спираль наблюдается повсеместно (в природе и не только):
— Семена в большинстве растений расположены по спирали
— Паук плетет паутину по спирали
— Спиралью закручивается ураган
— Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
— Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.
— Эмбрион развивается в форме спирали
— Спираль «улитки во внутреннем ухе»
— Вода уходит в слив по спирали
— Спиральная динамика показывает развитие личности человека и его ценностей по спирали.
— Ну и конечно, сама Галактика имеет форму спирали

Таким образом можно утверждать, что сама природа построена по принципу Золотого Сечения, оттого эта пропорция гармоничнее воспринимается человеческим глазом. Она не требует «исправления» или дополнения получаемой картинки мира.

Теперь о Золотом сечении в архитектуре

Пирамида Хеопса представляет собой пропорции ЗС. (Фотография нравится – с заваленным песком Сфинксом).

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции.

Собор «Нотредам де Пари» в Париже, Франция.

Одно из выдающихся строений, выполненных по принципу ЗС – Смольный Собор в Питере. К собору ведут по краям две дорожки и если приближаться по ним к собору, то тот будто приподнимается в воздухе.

В Москве также есть строения выполненные с использованием ЗС. Например, Храм Василия Блаженного

Однако застройка, использующая принципы симметрии преобладает.
Например, Кремль и Спасская башня.

Высота стен Кремля также нигде не отражает принципа ЗС относительно высоты башен, например. Или взять гостиницу Россия, или гостиницу Космос.

При этом здания, построенные по принципу ЗС представляют больший процент в Питере, при этом это здания уличной застройки. Литейный проспект.

Таким образом, Золотое Сечение использует коэффицент 1,68, а симметрия 50/50.
То есть симметричные здания построены по принципу равенства сторон.

Ещё одной важной характеристикой ЗС является её динамичность и стремление к разворачиванию, за счет последовательности чисел Фибоначчи. Тогда как симметрия – наоборот представляет собой стабильность, устойчивость и неподвижность.

Кроме этого, дополнительное ЗС вносит в план Питера обилие водных пространств, расплескавшихся по городу и диктующих подчиненность города их изгибам. Да и сама схема Питера напоминает спираль или зародыш одновременно.

Папа, правда, высказал другую версию, отчего у москвичей и питерцев «голова болит» при посещении столиц. Папа относит это к энергиям городов:
Санкт-Петербург – имеет мужской род и соответственно мужские энергии,
Ну а Москва – соответственно – женского рода и обладает женскими энергиями.

Так жителям столиц, настроившимся на свой определенный баланс женского и мужского в своих организмах – сложно перестраиваться при посещении города-соседа, а у кого-то может и сложности какие-то имеются с восприятием одной или другой энергий и оттого город сосед могут и вовсе не любить!

В подтверждение этой версии говорит и то, что все российские императрицы правили именно в Питере, тогда как Москва видела лишь царей мужского пола!

Использованные ресурсы.

Последовательность Фибоначчи , известная всем по фильму «Код Да Винчи» — ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки:

Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.

В итоге получается такой ряд цифр: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Его можно продолжать бесконечно долго. Его суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.

У этого ряда есть несколько математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Он асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Так отношение какого-либо члена ряда к предшествующему ему колеблется около числа 1,618 , через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618 , что обратно пропорционально 1,618 . Если мы будем делить элементы через одно, то получим числа 2,618 и 0,382 , которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.

К чему всё это? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Смекалистый Леонардо по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение , которое не уступает по значимости теореме Пифагора.

Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение — высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.

Если на простом примере, то Золотое Сечение — это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

Если мы примем весь отрезок c за 1 , то отрезок a будет равен 0,618 , отрезок b — 0,382 , только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Отношение c к a равно 1,618 , а с к b 2,618 . Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.

Изображение: marcus-frings.de

Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.

Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.

Ничего не напоминает?

Фото: ethanhein on Flickr

И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные.

Алое многолистный:

Фото: brewbooks on Flickr

И тут самое время вспомнить о Золотом Сечении! Ни одни ли из самых прекрасных и гармоничных творений природы изображены на этих фотографиях? И это далеко не все. Присмотревшись, можно найти похожие закономерности во многих формах.

Конечно заявление, что все эти явление построены на последовательности Фибоначчи звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама она далека от совершенства, как и всё в этом мире.

Есть предположение, что ряд Фибоначчи — это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (z ). Часть ряда выглядит примерно так: … z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5 … Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим z=1,618 , тогда ряд выглядит так: … 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 … Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618 , но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.

И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
От куда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?

Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восемью, потом тринадцатью, 21, 34, 55…

Источники: ; ; ;

Вам, конечно же, знакома идея о том, что математика является самой главной из всех наук. Но многие могут с этим не согласиться, т. к. порой кажется, что математика – это лишь задачи, примеры и тому подобная скукотища. Однако математика может запросто показать нам знакомые вещи с совершенно незнакомой стороны. Мало того – она даже может раскрыть тайны мироздания. Как? Давайте обратимся к числам Фибоначчи.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее посредством суммирования двух предыдущих, например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Как правило, записывается такая последовательность формулой: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2.

Числа Фибоначчи могут начинаться и с отрицательных значений «n», но в таком случае последовательность будет двусторонней – она будет охватывать и положительные и отрицательные числа, стремясь к бесконечности в двух направлениях. Примером такой последовательности может послужить: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула будет: F n = F n+1 — F n+2 или же F -n = (-1) n+1 Fn.

Создателем чисел Фибоначчи является один из первых математиков Европы средних веков по имени Леонардо Пизанский, которого, собственно и знают, как Фибоначчи – это прозвище он получил спустя много лет после своей смерти.

При жизни Леонардо Пизанский очень любил математические турниры, по причине чего в своих работах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрии», 1220, «Flos»/«Цветок», 1225 год – исследование на тему кубических уравнений и «Liber quadratorum»/«Книга квадратов», 1225 – задачи о неопределенных квадратных уравнениях) очень часто разбирал всевозможные математические задачи.

О жизненном пути самого Фибоначчи известно крайне мало. Но достоверно известно то, что его задачи пользовались огромнейшей популярностью в математических кругах в последующие века. Одну из таких мы и рассмотрим далее.

Задача Фибоначчи с кроликами

Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.

Задача : определить количество кроликов через год.

Решение :

У нас есть:

• Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
• Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
• Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
• Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)

Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: F n = F n-1 + F n-2 . Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:

1 месяц: 1 + 1 = 2

2 месяц: 2 + 1 = 3

3 месяц: 3 + 2 = 5

4 месяц: 5 + 3 = 8

5 месяц: 8 + 5 = 13

6 месяц: 13 + 8 = 21

7 месяц: 21 + 13 = 34

8 месяц: 34 + 21 = 55

9 месяц: 55 + 34 = 89

10 месяц: 89 + 55 = 144

11 месяц: 144 + 89 = 233

12 месяц: 233+ 144 = 377

И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже.

Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:

• Определить квадратное число, о котором известно только, что если отнять от него 5 или прибавить к нему 5, то снова выйдет квадратное число.
• Определить число, делящееся на 7, но при условии, что поделив его на 2, 3, 4, 5 или 6 в остатке будет 1.

Такие задачи не только станут отличным способом развития ума, но и занимательным времяпрепровождением. О том, как решаются эти задачи, вы также можете узнать, поискав информацию в Интернете. Мы же не будем заострять на них внимание, а продолжим наш рассказ.

Что же такое рекурсия и золотое сечение?

Рекурсия

Рекурсия является описанием, определением или изображением какого-либо объекта или процесса, в котором есть сам данный объект или процесс. Иначе говоря, объект или процесс можно назвать частью самого себя.

Рекурсия широко используется не только в математической науке, но также и в информатике, массовой культуре и искусстве. Применимо к числам Фибоначчи, можно сказать, что если число равно «n>2», то «n» = (n-1)+(n-2).

Золотое сечение

Золотое сечение является делением целого на части, соотносящиеся по принципу: большее относится к меньшему аналогично тому, как общая величина относится к большей части.

Впервые о золотом сечении упоминает Евклид (трактат «Начала» прим. 300 лет до н.э.), говоря и построении правильного прямоугольника. Однако более привычное понятие было введено немецким математиком Мартином Омом.

Приблизительно золотое сечение можно представить в качестве пропорционального деления на две разные части, к примеру, на 38% и 68%. Численное же выражение золотого сечения равно примерно 1,6180339887.

На практике золотое сечение используется в архитектуре, изобразительном искусстве (посмотрите работы ), кино и других направлениях. На протяжении долгого времени, впрочем, как и сейчас, золотое сечение считалось эстетической пропорцией, хотя большинством людей оно воспринимается непропорциональным – вытянутым.

Вы можете попробовать оценить золотое сечение сами, руководствуясь следующими пропорциями:

• Длина отрезка a = 0,618
• Длина отрезка b= 0,382
• Длина отрезка c = 1
• Соотношение c и a = 1,618
• Соотношение c и b = 2,618

Теперь же применим золотое сечение к числам Фибоначчи: берём два соседних члена его последовательности и делим большее на меньшее. Получаем примерно 1,618. Если же возьмём то же самое большее число и поделим его на следующее большее за ним, то получим примерно 0,618. Попробуйте сами: «поиграйте» с числами 21 и 34 или какими-то другими. Если же провести этот опыт с первыми числами последовательности Фибоначчи, то такого результата уже не будет, т.к. золотое сечение «не работает» в начале последовательности. Кстати, чтобы определить все числа Фибоначчи, нужно знать всего лишь три первых последовательных числа.

И в заключение ещё немного пищи для ума.

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

«Золотой прямоугольник» — это ещё одна взаимосвязь между золотым сечением и числами Фибоначчи, т.к. соотношение его сторон равно 1,618 к 1 (вспоминайте число 1,618!).

Вот пример: берём два числа из последовательности Фибоначчи, например 8 и 13, и чертим прямоугольник с шириной 8 см и длинной 13 см. Далее разбиваем основной прямоугольник на мелкие, но их длина и ширина должна соответствовать числам Фибоначчи – длина одной грани большого прямоугольника должна равняться двум длинам грани меньшего.

После этого соединяем плавной линией углы всех имеющихся у нас прямоугольников и получаем частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Её основными свойствами являются отсутствие границ и изменение форм. Такую спираль можно часто встретить в природе: самыми яркими примерами являются раковины моллюсков, циклоны на изображениях со спутника и даже ряд галактик. Но более интересно то, что этому же правилу подчиняется и ДНК живых организмов, ведь вы помните, что оно имеет спиралевидную форму?

Эти и многие другие «случайные» совпадения даже сегодня будоражат сознание учёных и наводят на мысль о том, что всё во Вселенной подчинено единому алгоритму, причём, именно математическому. И эта наука кроет в себе огромное количество совсем нескучных тайн и загадок.

Генерация чисел Фибоначчи

Эта статья посвящена алгоритмам, которые можно использовать для генерации чисел Фибоначчи.

Последовательности Фибоначчи — одна из самых известных последовательностей в математике.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… *

Последовательность названа в честь Леонардо Боначчи (также известного как «Фибоначчи» 1170-1250 ), который считается «самым талантливым западным математиком средневековья».

Каждое число в последовательности генерируется путем сложения двух предыдущих чисел.

F _n = F _n-1 + F _n-2

* Люди спорят, должна ли последовательность начинаться с нуля или с единицы. Я собираюсь определить F ₀ = 1

Везде

Вы обнаружите, что числа Фибоначчи встречаются во многих местах (как в природе, так и в математике), а их последовательность тесно связана с золотым сечением φ (о золотом сечении написано даже больше, чем о Фибоначчи. Некоторые из них даже верны. , но есть также много « псевдонауки », и некоторые утверждения по этому поводу просто неверны или выдуманы! Если кто-то расскажет вам какой-нибудь интересный « факт » о золотом сечении, сначала примените фильтр здравого смысла, прежде чем думать о нем. веря в это).

Отношение двух соседних членов в последовательности Фибоначчи является приближением золотого сечения φ

Чем больше используются термины, тем лучше приближение, поэтому ¹⁵⁹⁷ / ₉₈₇ является лучшим приближением, чем ³⁴ / ₂₁ .

Ни для кого не удивительно *, вы также можете найти числа Фибоначчи в треугольнике Паскаля.

* В треугольнике Паскаля просто так много увлекательных фактов, последовательностей и свойств, что, когда кто-то обнаруживает какое-то новое свойство, никто не кажется удивленным или шокированным, и единственные люди, искренне взволнованные и заинтересованные новым открытием, — это сами первооткрыватели. и люди, которые пишут книги о треугольнике Паскаля 🙂

Построение чисел Фибоначчи

Теперь, когда мы знаем, как определяются числа Фибоначчи, как мы будем генерировать их в коде?

Первая идея, которая может прийти в голову, — это рекурсия.Поскольку последующие числа Фибоначчи являются самоподобными версиями самих себя, мы можем написать довольно компактный код для их генерации, рекурсивно вызывая ту же функцию, останавливаясь только тогда, когда мы дойдем до первой пары чисел. Вот какой-то псевдокод, чтобы показать эту идею (я предполагаю, что мы работаем только с положительными индексами Фибоначчи):

Функция Фибоначчи (n)

Если n

Фибоначчи = 1

Остальное

Фибоначчи = Фибоначчи (n-1) + Фибоначчи (n-2)

Конец, если

Конечная функция

Этот код, безусловно, выглядит очень аккуратно и его легко понять.Он дает правильный ответ, но это ужасное решение.

Ужасно, ужасно, ужасно. Вы понимаете, почему?

Чтобы понять почему, давайте немного отремонтируем это. Я помещу туда инструкцию для печати, чтобы показать, что происходит:

Функция Фибоначчи (n)

Распечатать «Hello World n =»; n

Если n

Фибоначчи = 1

Остальное

Фибоначчи = Фибоначчи (n-1) + Фибоначчи (n-2)

Конец, если

Конечная функция

Каждый раз, когда вызывается наша функция, мы выводим сообщение по мере прохождения.Давайте посмотрим пример вывода для низких значений n

Пока все хорошо. Для n = 0,1,2 результаты тривиальны. Однако мы можем начать видеть проблему для n = 3.

Чтобы вычислить первую часть, Фибоначчи (n-1) , мы должны пройти через 2,1,0. Затем для второй части, Фибоначчи (n-2) , мы должны пройти 1. Опять же, неплохо, но есть пара проблем. Во-первых, мы вызываем одну и ту же функцию несколько раз в шахматном порядке (что должно дать нам один и тот же ответ только со сдвигом по фазе), а вторая проблема заключается в том, что мы (расточительно) каждый раз пересчитываем среднюю часть. Давайте так, насколько это быстро взрывается. Вот оно с n = 4, 5, 6:

Это ужасная, ужасная схема алгоритма Понци. Каждая последующая глубина берет все предыдущие две части и обертывает их собственными страданиями. Чтобы увидеть, насколько сильно это разрастается, подсчитайте, сколько раз будет напечатано «Hello World», если вы воспользуетесь этим алгоритмом:

Это безумие, чтобы вычислить F ₃₉ , нам нужно пройти через функцию более 200 миллионов раз!

Должны быть способы получше.

Воспоминание

Если бы мы могли вспомнить предыдущие результаты, нам не пришлось бы возвращаться вниз по дереву, чтобы вычислить ответы, которые мы уже видели.

Это техника, называемая мемоизацией. Каждый раз, когда нам нужно определить значение Фибоначчи, мы проверяем, рассчитали ли мы его уже; в таком случае мы используем уже предварительно рассчитанное значение. Если нет, мы рассчитываем его только один раз и сохраняем для дальнейшего использования.

‘установка

уже вычислено (0) = 1: уже вычислено (1) = 1

Функция Фибоначчи (n)

Если уже вычислено (n), то

Фибоначчи = уже вычислено (n)

еще

Фибоначчи = Фибоначчи (n-1) + Фибоначчи (n-2)

уже вычислено (n) =

Конец, если

Конечная функция

В этом коде мы предварительно заполняем F ₀ и F ₁ при инициализации.

Затем, когда функция вызывается, мы сначала проверяем, есть ли у нас это значение в кеше. Если да, то возвращаем и готово.

Если мы еще не вычислили это значение, мы выполняем рекурсию, как и раньше, но каждый вызов проверяет, не встретили ли мы известное значение и короткое замыкание в этой точке. После вычисления этого нового значения мы добавляем его в кеш для будущего использования.

В самый первый раз, когда вызывается эта функция, код должен выполняться полностью вниз, а затем снова возвращаться, сохраняя значения по мере того, как они возвращаются.Затем при повторном вызове с тем же значением (или любым меньшим значением) ответ возвращается немедленно.

Если последующий вызов выполняется для значения Фибоначчи, превышающего текущее наивысшее известное значение, тогда функция будет рекурсивно снижаться только до тех пор, пока не достигнет наивысшего значения, которое мы видели ранее (и нам не нужно полностью спускаться до 0).

Давайте посмотрим на это в действии и, как и раньше, приберем.

‘установка

уже вычислено (0) = 1: уже вычислено (1) = 1

Функция Фибоначчи (n)

Распечатать «Hello World n =»; n

Если уже вычислено (n), то

Фибоначчи = уже вычислено (n)

еще

Фибоначчи = Фибоначчи (n-1) + Фибоначчи (n-2)

уже вычислено (n) =

Конец, если

Конечная функция

Ниже слева мы видим, как он работает для n = 5 при первом запуске (ничего в кеше).Он проходит до самого низа, затем снова возвращается вверх (когда он возвращается, он записывает значения в кеш). Второй столбец ниже показывает, что произойдет, если мы затем вызовем функцию с n = 3 (меньшее значение), и это немедленно вернет известное значение кеша. То же самое произойдет, если мы снова вызовем функцию с n = 5 (следующий столбец).

Наконец, в дальнем столбце мы видим, что произойдет, если мы вызовем функцию с n = 11 (после того, как мы уже вычислили n = 5), и вы можете увидеть, что она работает только до пяти, затем снова сделайте резервную копию.

Это намного лучше, чем первый рекурсивный способ, но можем ли мы сделать лучше? Ну да, можем.В приведенной выше реализации мы начинаем сверху, но если ниже нечего строить, когда мы запрашиваем новое более высокое число, мы должны рекурсивно спускаться вниз, пока не достигнем известного числа, а затем снова вернуться вверх. Как мы изменили это и пошли другим путем? Вместо этого, если мы начнем с последнего известного наивысшего значения и будем двигаться вверх, пока не достигнем нашей цели, тогда нам нужно будет двигаться только в одном направлении.

Высокая отметка вверх

Как указывалось выше, если мы начнем с последнего известного максимального числа и вычислим в сторону увеличения, нам гарантированно не придется возвращаться назад, поскольку мы монотонно строим на основе уже имеющихся ответов.Это метод, который вы бы использовали, если бы вычисляли значения вручную!

В этой реализации у нас есть концепция «максимальной отметки», которая представляет собой наивысшее известное значение в кэше. Ниже этого значения выполняется однократный поиск. Выше этого значения мы вычисляем вверх от верхней отметки, сериализуя все промежуточные значения, когда мы передаем их по пути к желаемому числу.

‘установка

уже вычислено (0) = 1: уже вычислено (1) = 1

high_water_mark = 1

Функция Фибоначчи (n)

Если уже вычислено (n), то

Фибоначчи = уже вычислено (n)

еще

для i = (high_water_mark + 1) до n

уже вычислено (i) = уже вычислено (i-1) + уже вычислено (i-2)

следующий

Фибоначчи = уже вычислено (n)

high_water_mark = n

Конец, если

Конечная функция

Как и раньше, мы также применили мемоизацию, чтобы после того, как мы вычислили ответ один раз, нам больше не нужно было посещать его снова.

Этот код намного умнее нашей первой реализации.

Даже без отладочной печати «Hello World» мы видим, что код не вызывает сам себя и функция не является рекурсивной. Он либо немедленно возвращается со значением из кеша, либо зацикливается от последнего известного значения вверх.

Память

 # Введите необходимое количество терминов # 0,1,1,2,3,5 ....
a = int (input («Введите условия»))
f = 0 # первый элемент серии
s = 1 # второй элемент серии
если a <= 0:
    print ("Запрошенная серия
", е)
еще:
    print (f, s, end = "")
    для x в диапазоне (2, a):
        следующий = f + s
        print (следующий, конец = "")
        f = s
        s = следующий
 

 def FibRecursion (n):
   если n <= 1:
       вернуть n
   еще:
       return (FibRecursion (n-1) + FibRecursion (n-2))
 nterms = int (input ("Enter the terms?")) # принять ввод от пользователя
 
if nterms <= 0: # проверяем правильность числа
   print ("Пожалуйста, введите положительное целое число")
еще:
   print ("Последовательность Фибоначчи:")
   для i в диапазоне (nterms):
       print (FibRecursion (i))