Суббота , 20 Апрель 2024

Лимит факторинга это: Термины факторинга: сумма контракта, сумма уступки, реестр ДТ, факторинговая комиссия

Содержание

Что такое лимит на Покупателя и от чего зависит его размер

Недавно НФК проводила среди своих клиентов исследование уровня удовлетворенности качеством предоставляемых ею услуг и установила, что одним из ключевых источников неудовлетворенности является – отсутствие внятной информации о механизме и принципах расчета устанавливаемых фактором лимитов на Покупателей.

Действительно, достаточно обидна ситуация, при которой собираешь все необходимые документы, предоставляешь всю информацию, а в итоге по прошествии времени (далеко не всегда короткого) получаешь лимит, который совсем не ожидал или вовсе отказ. Те более неприятно, если Покупатель, который считается для твоей компании достаточно надежным, платежеспособным – у факторинговой компании не вызывает подобной уверенности и объективными аргументами фактор не спешит поделиться.

У каждой факторинговой компании имеются свои методики расчета лимита на Покупателя, которые отличаются в деталях в зависимости от принятой в компании рисковой политики, однако все они базируются на анализе сходных показателей финансово-хозяйственной деятельности Покупателя и факторов, положительно или отрицательно влияющих на размер лимита.

Достаточно простой анализ деятельности Покупателя, а также степень его лояльности к Вашей компании позволяет примерно представить шансы получить желаемый размер лимита.

Предоставление необходимых документов в факторинговую компанию

Помимо пакета документов на компанию (Клиент факторинговой компании), Фактор также запрашивает рад документов и на Покупателя (Дебитора). Сотрудники факторинговой компании анализируют полученные документы, а также информацию о Покупателе из открытых источников и специализированных информационных баз данных. На основе данного анализа и устанавливается размер лимита на покупателя. Соответственно, Клиенту стоит обратить пристальное внимание на процесс сбора запрашиваемых Фактором документов у Покупателя, поскольку не особо оперативное предоставление документов может существенно затянуть процесс установления лимита. Кроме того, Клиенту стоит знать, что если Покупатель не может предоставить какой-либо документ или информацию по запросу Фактора или проверка деятельности Покупателя по каким-либо причинам затруднена – это, скорее всего, отрицательным образом скажется на размере лимита или вообще на возможности его установления.

Какие факторы влияют на размер устанавливаемого лимита

Есть определенные факторы, на которые Клиент может тем или иным образом влиять, поэтому необходимо в первую очередь остановиться на них.

Клиент может приложить усилия для того, чтобы Покупатель оперативно представлял все запрашиваемые факторинговой компанией документы. Как правило, запрашивается у Покупателя почти стандартный набор документов: бухгалтерская отчетность, учредительные документы, контракты и так далее. Уже на этой стадии Клиент может примерно оценить сильные и слабые стороны финансовой деятельности Покупателя по той же бухгалтерской отчетности. Соответственно дополнительные расшифровки статей баланса, выписки с расчетных счетов, копии сданных налоговых деклараций и прочее может положительно сказаться на размере устанавливаемого лимита. Стоит осознавать, что чем большим объемом информации о Покупателе располагает факторинговая компания и чем более понятны все аспекты его деятельности – тем более адекватным будет установленный лимит.


Однако есть такие факторы, на которые ни одна из сторон влияния оказывать не может.

Положительные факторы:

— устойчивое финансовое положение Покупателя, положительная динамика ключевых показателей бизнеса (выручка, прибыль)
— размер бизнеса (чем крупнее, тем лучше), Дебитор входит в группу компаний, прозрачная структура бизнеса

— длительный и положительный опыт работы с Поставщиком, хорошая платежная дисциплина в целом
— возраст бизнеса (чем больше, тем лучше), редкая смена руководства компании
— низкий отраслевой риск (Дебитор – представитель не проблемной отрасли), низкий региональный риск (Дебитор находится в благоприятной экономической зоне), низкая конкуренция в отрасли
— высокая значимость Поставщика для данного Дебитора (в первую очередь это выражается в своевременности оплат).

Отрицательные факторы:

— плохое финансовое положение Покупателя (значительная долговая нагрузка, длинная оборачиваемость), отрицательная динамика ключевых показателей бизнеса (выручка, прибыль), Дебитор на стадии банкротства, недостоверность полученной от Дебитора финансовой отчетности
— размер бизнеса (чем меньше, тем хуже), непрозрачная структура бизнеса
— нет опыта работы с Поставщиком или опыт работы с Поставщиком отрицательный (частые просрочки, выходящие за допустимые в данной отрасли разумные сроки неоплаты), отрицательная платежная дисциплина в целом

— возраст бизнеса (чем меньше, тем хуже), частая смена руководства компании
— высокий отраслевой риск (Дебитор – представитель проблемной отрасли), высокий региональный риск (Дебитор находится в неблагоприятной экономической зоне), высокая конкуренция в отрасли
— низкая значимость Поставщика для данного Дебитора (в первую очередь это выражается в часто допускаемых существенных просрочках)
— Дебитор не идет на контакты с факторинговой компанией (не отвечает на звонки, не согласен на посещение представителей Фактора для визуального осмотра бизнеса), описание бизнеса в свободном доступе не соответствует финансовой отчетности Дебитора
— прошлые объемы отгрузок гораздо меньше запрашиваемого Поставщиком лимита
— Дебитор выступает в арбитражном суде ответчиком по искам, связанным с неоплатой поставок
— по Дебитору обнаружен криминал или факты мошенничества.

В этот список включены типовые и наиболее часто встречающиеся факторы, которые положительно или отрицательно сказываются на размере устанавливаемого лимита. Однако у каждой факторинговой компании имеется свой подход к оценке рисков и соответственно набор факторов может немного отличаться от вышеуказанного.

Адекватный размер лимита на покупателя

Клиент должен сам понимать, что в погоне за размером лимита (неадекватном размеру и состоянию бизнеса Дебитора), он очень рискует понести серьезные убытки, если Дебитор не сможет рассчитаться за отгруженный ему товар.

Клиенту стоит четко понимать, что любая факторинговая компания напрямую заинтересована в росте и развитии бизнеса Клиента, в том числе за счет увеличения объема отгрузок, начала работы на новых рынках и с новыми покупателями. Поэтому факторинговая компания никогда не будет специально, не обоснованно занижать размер запрашиваемого лимита.

Реверсивный (закупочный) факторинг ✓ финансирование закупок 💰 товара для покупателей и поставщиков

Банк НФК (АО) Контакты:

Адрес: ул. Кожевническая, д. 14 115114 Москва, Телефон:(495) 787-53-37, Телефон:(495) 995-21-31, Электронная почта: [email protected]

Адрес2: ул. Рокоссовского, д. 62, БЦ «ВолгоградСИТИ», оф. 15-21 400050 г. Волгоград, Телефон:(8442) 43-44-00, Электронная почта: [email protected]

Адрес3: ул.Свободы, д. 73, офис 311 394018 Россия, г. Воронеж, Телефон:(473) 228-19-78, 228-19-79, Электронная почта: [email protected]

Адрес4: ул. Хохрякова, 10, оф. 504-505 620014 Свердловская область, г. Екатеринбург, Телефон:(343) 310-14-55, Электронная почта: [email protected]

Адрес5: ул. Рабочая, д. 2а, офис 29А (3952) 486 331 г. Иркутск, Телефон:(3952) 486 331, Электронная почта: [email protected]

Адрес6: ул. Декабристов, 85б, офис 409, 410 420034 г. Казань, Телефон:(843) 200-09-47, 200-10-35, Электронная почта: [email protected]

Адрес7: Ленинский пр. , д. 30, офис 508 236006 г. Калининград, Телефон:(4012) 53-53-87, Электронная почта: [email protected]

Адрес8: ул. Красная д. 152 г. Краснодар, Телефон:(861) 226-42-52, 226-45-54, Электронная почта: [email protected]

Адрес9: ул. Алексеева, д. 49, офис 6-14. 660077 г. Красноярск, Телефон:(391) 200-28-20, Электронная почта: [email protected]

Адрес10: ул. Нижегородская, 24 603000 г. Нижний Новгород, Телефон:(831) 288-02-89, Электронная почта: [email protected]

Адрес11: ул. Ленина, 52, офис 505 630004 г. Новосибирск, Телефон:(383) 212-06-18, 212-06-19, Электронная почта: [email protected]

Адрес12: ул. Николая Островского, 59/1 614007 г. Пермь, Телефон:(342) 211-50-28, Электронная почта: [email protected]

Адрес13: ул. Красноармейская, д. 200, 8 этаж, оф. 803 344000 г. Ростов-на-Дону, Телефон:(863) 263-88-30, Электронная почта: kac_ay@factoring. ru

Адрес14: пр.К.Маркса, д.201 «Б» (бизнес-крепость «Башня») 443080 г. Самара, Телефон:(846)993-61-62, 993-61- 64, 993-61-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес15: ул. Восстания, 18, офисы 405-407 191014 Санкт-Петербург, Телефон:(812) 644-40-71, Электронная почта: [email protected]

Адрес16: ул.Танкистов, д.37, оф.304, 305 410019 г. Саратов, Телефон:(8452) 57-27-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес17: ул. Крупской, д. 9, офис 727, 728, 729 450000 Республика Башкортостан, г. Уфа, Телефон:(347) 273-50-78, Электронная почта: [email protected]

Адрес18: ул. К. Маркса, д.38, офис 319 454091 г. Челябинск, Телефон:(351) 239-93-90, 239-93-91, 239-93-92, Электронная почта: [email protected]

Адрес19: ул. Республиканская, д.3, корпус 1, офис 404 150003 г. Ярославль, Телефон:(4852) 58-11-88, Электронная почта: [email protected]

Факторинг

А Армавир Амурск Ангарск

Б Бикин Благовещенск Белогорск Биробиджан

В Владивосток Ванино Вяземский Волгоград Волжский Вологда Воронеж

Д Де-Кастри

Е Екатеринбург

И Иркутск

К Казань Краснодар Красноярск Комсомольск-на-Амуре Калининград Киров

М Москва

Н Нефтекамск Новороссийск Находка Николаевск-на-Амуре Нижний Новгород Новосибирск Нижний Тагил

О Октябрьский Омск

П Петрозаводск Переяславка Пермь

Р Ростов-на-Дону Рязань

С Санкт-Петербург Стерлитамак Сегежа Сыктывкар Сочи Ставрополь Советская Гавань Солнечный Соловьевск Самара Саратов

Т Туймазы Тында Томск Тюмень

У Уфа Ухта Уссурийск

Х Хабаровск Хор

Ч Чегдомын Челябинск Чита

Ю Южно-Сахалинск

Что такое факторинг | Схема, виды, этапы — Эльба

Факторинг — это система финансовых услуг для производителей и поставщиков, которые продают свои товары и услуги на условиях отсрочки платежей.

Бывает, что организациям приходится выбирать: работать по предоплате или дать отсрочку. Если выбрать первый вариант, то некоторые клиенты откажутся от сотрудничества из-за невыгодных условий. Второй вариант может привести к тому, что у компании не останется денег для текущих расходов, и она обанкротится.

Факторинг поможет принять решение. Простыми словами — это своеобразная форма кредита для покупателя на оплату поставки товаров и услуг. Производитель или поставщик услуг передаёт право на задолженность посреднику — фактору. Это помогает получить оплату быстрее.

Выступать в роли фактора может факторинговая компания или банк.

Схема факторинга

В факторинге всегда участвуют три стороны:

  1. Поставщик товара — клиент факторинговой компании или отдела банка, кредитор.

  2. Покупатель — дебитор.

  3. Фактор — факторинговая компания или отдел банка.

Самая распространённая схема реализации факторинга состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Поставщик договаривается с покупателем об отсрочке платежа и отгружает товар. Отсрочка может составлять от одной недели до четырёх месяцев.

Шаг 2. Поставщик подписывает договор с фактором и передаёт ему накладные.

Шаг 3. Фактор выплачивает 90% от общей стоимости поставки по накладным. Оставшуюся сумму выплачивают после того, как покупатель получит и проверит товар.

Шаг 4. Покупатель выплачивает задолженность фактору.

Виды факторинга

Существует несколько классификаций факторинга. Вот основные из них.

По способу информирования:

  • Открытый факторинг — поставщик сообщил покупателю о заключении договора с фактором, и покупатель выплачивает задолженность фактору.
  • Закрытый факторинг — поставщик не сообщает покупателю о факторинговой сделке. Покупатель выплачивает деньги поставщику, который расплачивается с фактором.

По распределению рисков факторинг может быть:

  • С правом регресса — если должник нарушил договор, то фактор возвращает неоплаченные счета и требует вернуть деньги.
  • Без права регресса — все риски берёт на себя факторинговая компания, и в случае взыскания долга покрывает все судебные издержки.

По времени возникновения долга факторинг может быть реальным, если договор заключают, когда уже наступили долговые обязательства, и консенсуальным, если долг переуступается заранее.

По резидентности участников факторинг бывает внутренним, если все участники — резиденты одной страны, и внешним, то есть международным.

В сделке может участвовать один или два фактора. В зависимости от этого факторинг бывает прямым и взаимным.

По спектру услуг:

  • Широкий или конвенционный факторинг, если факторинговая компания, кроме финансирования и инкассации долга, предоставляет бухгалтерские, страховые и другие услуги;
  • Узкий или ограниченный подразумевает, что перечень услуг ограничен основными функциями факторинга.

По виду документооборота факторинг бывает традиционным и электронным, если все документы оформляются и передаются в электронном виде.

Этапы факторинга

1. Перед заключением договора оцениваются финансовые возможности клиента. Поставщик предоставляет фактору информацию о покупателе, условиях доставки, оплаты, случаях нарушения договоров.

2. Подготовка и заключение договора факторинга. В договоре указывают:

  • предмет договора
  • права и обязанности сторон
  • процедуру финансирования
  • кредитный лимит
  • условия передачи фактору права на долг
  • стоимость услуг фактора и порядок расчёта
  • действия при нарушении обязательств дебитором
  • срок договора и другие условия.

3. Контроль сделки. В период действия договора важно, чтобы все участники исполняли обязательства. Если договор нарушен, оформляют претензию.

Факторинговая компания тоже может провести переоценку поставщика и покупателя и проконтролировать, что задействованные активы соответствуют требованиям по договору.

Сдавайте отчётность в три клика

Эльба возьмёт бухгалтерию на себя. Сервис подготовит отчётность и отправит её через интернет. Загружать платежи поможет связь с банками и онлайн-кассами.

Когда факторинг полезен для предпринимателя

С помощью факторинга компании могут в короткие сроки увеличить оборотный капитал. Факторинг оказывается дешевле краткосрочных кредитов.

Компании прибегают к этой системе финансирования, когда хотят привлечь покупателей, предлагая удобные способы оплаты.

Кто не может пользоваться факторингом

Компании, которые

  • выпускают специализированные товары,
  • выставляют счета после выполнения определённых работ,
  • имеют много покупателей, которые не оплатили товары и услуги,
  • работают с субподрядчиками,
  • работают на условиях постпродажного обслуживания.

Факторинг не используют для расчётов между филиалами одной организации и погашения долговых обязательств физлиц и бюджетных организаций.

Преимущества открытого факторинга для покупателя

Небольшие компании в поисках источников финансирования нередко приходят в отчаяние: покупатели задерживают оплату, банки устанавливают высокие проценты и требуют залог, собственных оборотных средств едва хватает на покрытие обязательных платежей. Как развивать бизнес в таких сложных условиях?

Факторинг – тот спасательный круг, который поможет остаться на плаву, когда все ресурсы, казалось бы, исчерпаны. Практика показывает, что не только мелкие организации прибегают к данной форме инвестирования, но и крупные компании, которые исчерпали кредитный лимит в банке, могут воспользоваться расширенным функционалом данной процедуры.

Что дает факторинг поставщику и покупателю?

Данная схема финансирования выгодна всем сторонам сделки. Кредитор получает комиссионное вознаграждение, заемщик – возможности для развития бизнеса, клиенты – отсрочку платежа. Давайте остановимся подробнее на преимуществах двух последних участников процедуры.

Знания о сущности факторинговой схемы позволяют понять, что поставщик, обращаясь к данному финансовому рычагу, получает:

  • возможность быстро пополнить свои оборотные средства;
  • существенное ускорение оборота капитала;
  • ощутимое расширение ассортиментного ряда;
  • приток новых покупателей;
  • улучшение структуры активов и пассивов баланса;
  • рост объемов продаж и коммерческой прибыли.

Все преимущества поставщика, использующего данный способ финансирования сделок, в конечном счете, оборачиваются выгодой его клиентов-покупателей.

Факторинг для покупателя гарантирует следующие плюсы:

  • продавец, имеющий возможность использовать факторинг, предоставляет покупателям товарный кредит в виде отсрочки платежа, таким образом у покупателя появляется возможность расплатиться за товар после его реализации;
  • улучшение платежеспособности поставщика (за счет отработанной системы поступления денег от кредитора) сказывается и на его ценовой политике – он готов продавать товары на более выгодных условиях
  • усиление финансовой устойчивости поставщика из-за дополнительного финансирования снижает риск сбоя в поставках и возникновения «пустых полок»;
  • ускорение товарооборота позволяет существенно расширить ассортимент продукции, что дает покупателю неоспоримое преимущество перед конкурентами.

Именно продуманная экономика сделки, позволяющая сделать факторинг полезным всем, ощутимо повышает его востребованность на рынке финансовых услуг.

Открытый и закрытый факторинг, что выгоднее для покупателя?

Особая форма финансирования бизнеса подразумевает и различные варианты взаимодействия сторон. Существует целый ряд параметров, отличающих тот или иной договор. Наиболее популярны две формы факторинговых операций: закрытая и открытая.

Обе сделки отличаются друг от друга степенью информирования дебитора о судьбе его долга:

  • закрытый вид: дебитор не знает о переходе прав денежных требований от поставщика к финансовому агенту;
  • открытый вид: дебитор уведомлен о заключения договора факторинга и платит напрямую кредитору.

Рыночная ситуация сегодня такова, что, даже если поставщик не хочет, чтобы его контрагенты знали о помощи финансового посредника, банки и специализированные конторы готовы заключать исключительно договоры открытого факторинга, тем самым снижая свои риски.

Уведомлять о сделке клиентов продавца может как кредитор, так и сам поставщик. Обычно, это делает последний, так как считается, что такой формат общения психологически более легко воспринимается контрагентом. Безусловно, продавец волнуется, не отразится ли наличие фактора на его клиентской базе.

Банку важно, чтобы у его кредитора были крепкие коммерческие связи, поэтому и он не заинтересован в конфликте между покупателями и поставщиком. Ведь, чем ниже оборот продавца, тем меньше вознаграждение посредника. В России, где факторинговые услуги не так популярны, уведомления еще встречают непонимание со стороны покупателей.

В уведомлении содержится информация о заключении соответствующего договора, по которому права денежного требования переходят от продавца к его финансовому агенту. Там же указываются новые реквизиты платежа, так как с этого момента для покупателя появляется новый кредитор.


Факторинг

Агинский Бурятский

Адыгея

Алтай

Алтайский край

Амурская область

Архангельская область

Астраханская область

Башкортостан

Белгородская область

Брянская область

Бурятия

Владимирская область

Волгоградская область

Вологодская область

Воронежская область

Дагестан

Еврейская автономная область

Забайкальский край

Ивановская область

Ингушетия

Иркутская область

Кабардино-Балкарская Республика

Калининградская область

Калмыкия

Калужская область

Камчатский край

Карачаево-Черкессия

Карелия

Кемеровская область

Кировская область

Коми

Костромская область

Краснодарский край

Красноярский край

Крым

Курганская область

Курская область

Ленинградская область

Липецкая область

Магаданская область

Марий Эл

Мордовия

Москва

Московская область

Мурманская область

Ненецкий автономный округ

Нижегородская область

Новгородская область

Новосибирская область

Омская область

Оренбургская область

Орловская область

Пензенская область

Пермский край

Приморский край

Псковская область

Республика Саха (Якутия)

Ростовская область

Рязанская область

Самарская область

Санкт-Петербург

Саратовская область

Сахалинская область

Свердловская область

Севастополь

Северная Осетия — Алания

Смоленская область

Ставропольский край

Тамбовская область

Татарстан

Тверская область

Томская область

Тульская область

Тыва

Тюменская область

Удмуртская Республика

Ульяновская область

Усть-Ордынский Бурятский

Хабаровский край

Хакасия

Ханты-Мансийский автономный округ

Челябинская область

Чеченская Республика

Чувашская Республика

Чукотский автономный округ

Ямало-Ненецкий автономный округ

Ярославская область

Факторинг | SEB

До ходатайства о факторинге мы рекомендуем Вам прежде всего договориться с покупателями об условиях сделки продажи.

Документы, необходимые для ходатайства о факторинге

  • Ходатайство на бланке SEB
  • Заключенные с плательщиками коммерческие договоры (договоры продажи, договоры подряда и т. д.), на основании которых Вы желаете осуществлять факторинг счетов
  • Проверенный годовой отчет за предыдущий хозяйственный год, баланс и отчет о прибыли за последний квартал
  • При необходимости – дополнительные документы (прогноз денежного потока, бизнес-план, договоры с наиболее существенными заказчиками и т. п.)

Документы, необходимые для заключения договора факторинга

После заключения договора факторинга с SEB Вы должны в дальнейшем представлять нам все счета каждого покупателя, включенного в

  1. Вы продаете товар или оказываете услугу покупателю, зафиксированному в договоре факторинга.
  2. Получаете на счет подтверждение покупателя.
  3. Передаете счет в SEB.
  4. Авансовую часть счета SEB переводит на Ваш счет в большинстве случаев в тот же день, когда счет поступает в SEB.
  5. Покупатель оплачивает счет в SEB.
  6. SEB платит Вам разницу между авансовой частью и поступившей от покупателя суммой, из этой разницы SEB удерживает процент.

Обзор своих факторинговых сделок Вы можете посмотреть в интернет-банке SEB для бизнес-клиентов.

Требования к факторинговым счетам

В SEB следует передавать все предъявляемые покупателю счета, включая кредитные счета. Важно проследить, чтобы

  • счет соответствовал требованиям действующих правовых актов
  • на счете были указаны срок оплаты или условие оплаты
  • на видном месте в счете имелось примечание, в котором покупателя информируют об уступке требования и об обязанности уплаты на расчетный счет SEB
  • на счете имелось подтверждение покупателя (за исключением экспортных счетов)
  • к экспортному счету был приложен транспортный документ, содержащий подтверждение перевозчика
  • к счету, связанному с услугой, был приложен акт приема-передачи работы или услуги.

Факторинг с кредитным страхованием предназначен для экспортирующих предприятий для снижения риска неплатежеспособности зарубежных покупателей.

Если покупатель не оплачивает профинансированный факторингом счет, то в сотрудничестве со страховым партнером SEB мы займемся процедурой взыскания. Получателем страхового возмещения является SEB.

Страхование не покрывает оспоренные счета, в отношении таких счетов у продавца имеется обязательство обратного выкупа требования. Споры относительно качества товара и выполнения договора продажи продавец и покупатель решают между собой сами. В случае спора будут полезны по возможности точный договор продажи, включая подчинение договора продажи законодательству Эстонии, а также документирование общения между сторонами.

Если действующий договор кредитного страхования у вас уже имеется, то обязанность обратного выкупа требования действует независимо от страхового случая. Ответственность за исполнение страхового договора возложена на продавца, однако выгодоприобретателем в страховом договоре должен быть указан SEB Liising.

Действует с 01.01.2021

Общие платы за сделку и платы за услугу при факторинге (1)  
1. Заключение и/или продление договора о факторинге По договоренности, мин. 200 евро
2. Изменение лимита по договору По договоренности, мин. 200 евро
3. Плата за ведение счета По договоренности
4. Дополнение/изменение лимита плательщика (плательщики без страхования кредита) 35 евро
5. Дополнение/изменение лимита плательщика (плательщики со страхованием кредита) 55 евро
6. Изменение прочих условий договора о факторинге (кроме изменения и/или продления договорного лимита) 65 евро
7. Составление нестандартных факторинговых отчетов и справок 30 евро в час, мин. 30 евро

(1)К платам за обслуживание добавляется налог с оборота согласно Закону о налоге с оборота.

Прейскурант

2 — 16} {x-4} & = \ lim_ {x \ to 4} \ dfrac {(x + 4) (x-4)} {x-4} \\ \\
& = \ lim_ {x \ в 4} \ dfrac {(x + 4) \ cancel {(x-4)}} {\ cancel {x-4}} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 4} [x + 4] \\ \\
& = 8 \ quad \ cmark
\ end {align *}

Мы, , гарантируем , что если вы можете множить числитель или знаменатель, проблемный член «0» в знаменателе аннулируется, как и раньше. здесь. На этом этапе вы можете просто подключить x и готово.

Откройте, чтобы увидеть еще два примера задач, использующих факторинг.2 — 4x — 5} {x — 5} & = \ text {?} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 5} \ dfrac {(x-5) (x + 1)} {x — 5} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 5} \ dfrac {\ cancel {(x-5)} (x + 1)} {\ cancel {x — 5}} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 5} [x + 1] \\ \\
& = 6 \ quad \ cmark \ end {align *}

[свернуть]

Результат: Фактор по возможности.

II. Разверните многочлен

У вас, вероятно, есть проблемы, которые выглядят как
$$ \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ text {stuff в числителе}} {h} =? $$
Опять же, если вы просто подключите $ h = 0 $, вы получите этот проблемный «0» в знаменателе.2 — 10h} {h} \\ \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {h (h — 10)} {h} \\ \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ cancel {h} (h-10)} {\ cancel {h}} \\ \\
& = \ lim_ {h \ to 0} [h — 10] \\ \\
& = -10 \ quad \ cmark
\ end {align *}

[свернуть]

Результат: Разверните многочлен.
(На данный момент. Позже в курсе мы увидим, как эти проблемы $ \ lim_ {h \ to 0} $ напрямую связаны с определением производной, в этот момент вы можете использовать ярлык, но пока нет.Вы, , должны, , знать, как решить эти проблемы, используя описанный здесь подход. . . и действительно, это просто алгебра.)

III. Рационализируйте

Есть ли в вашей проблеме какие-то квадратные корни, как эта?
$$ \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} — \ sqrt {5}} {x} =? $$
Затем рационализируйте выражение так же, как вы практиковались в алгебре: умножьте оба числитель и знаменатель на сопряженные $ \ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5} $.
\ begin {align *}
\ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} — \ sqrt {5}} {x} & = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} — \ sqrt {5}} {x} \ cdot \ dfrac {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + 5} \ sqrt {x + 5} + \ sqrt {x + 5} \ sqrt {5} — \ sqrt {5 } \ sqrt {x + 5} — \ sqrt {5} \ sqrt {5}} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ \\
& = \ lim_ {x \ в 0} \ dfrac {(x + 5) — 5} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac { x} {x [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ cancel {x}} {\ cancel {x} [\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5}]} \\ \\
& = \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {1} {\ sqrt {x + 5} + \ sqrt {5} } \\ \\
& = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {5}} \ quad \ cmark
\ end {align *}
Мы, , гарантируем , что если вы рационализируете выражение, проблемный термин «0» в знаменателе отменит, как здесь.На этом этапе вы можете просто подключить x и готово.

Кстати, обратите внимание, что при переходе от первой строки выше ко второй мы умножили члены в числителях, чтобы избавиться от корней. Но мы не умножали члены в знаменателе, потому что исходное значение x в знаменателе было отменено через несколько шагов.

Результат: Если есть радикалы, рационализируйте.

Конечно вам нужно попрактиковаться.

Конечно, прочитать наши решения недостаточно. Вместо этого вам нужно попрактиковаться — и сделать несколько ошибок для себя, — чтобы все это стало для вас рутиной при сдаче экзамена. У нас есть множество проблем, которые вы можете попробовать, все с комплексными решениями на расстоянии одного щелчка мыши, поэтому вы можете быстро проверить свою работу (или выйти из строя) без каких-либо проблем.

А пока мы приглашаем вас оставить комментарий ниже:

  • Какие у вас есть вопросы?
  • Какими советами вы можете поделиться по решению проблем с ограничениями?
  • Как мы можем сделать такие сообщения, как этот, более полезными для вас?

Прокомментируйте, пожалуйста, ниже!

ограничений по факторизации | исчисление, математика 12-го класса

Ограничения по методу факторизации применимы, когда значение limit дает вам любое из этих $ \ frac {0} {0} $, $ \ frac {\ infty} {\ infty} $, 0 $ \ times \ infty $ или $ \ infty $ — $ \ infty $, то мы будем использовать метод факторизации для оценки этого предела.{2} + x — 6} {x + 3} $ = -5

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

12 класс по математике

От пределов методом факторизации к дому

Пределы — оценка

Вы должны сначала прочитать Limits (An Introduction)

Краткое описание ограничений

Иногда мы не можем что-то решить напрямую… но мы можем видеть, что это должно быть по мере того как мы приближаемся!

Пример:

(х 2 — 1) (х — 1)

Давайте разберемся с x = 1:

(1 2 — 1) (1–1) знак равно (1–1) (1–1) знак равно 0 0

Теперь 0/0 — это сложность! Мы действительно не знаем значение 0/0 (оно «неопределенно»), поэтому нам нужен другой способ ответить на этот вопрос.

Итак, вместо того, чтобы пытаться вычислить это для x = 1, давайте попробуем приближаться к все ближе и ближе:

Продолжение примера:

x (х 2 — 1) (х — 1)
0,5 1,50000
0,9 1.

0,99 1,99000
0,999 1.99900
0,9999 1.99990
0,99999 1,99999
… …

Теперь мы видим, что когда x приближается к 1, то (х 2 -1) (х − 1) получает близко к 2

Мы столкнулись с интересной ситуацией:

  • Когда x = 1, мы не знаем ответа (это неопределенный )
  • Но мы видим, что это будет 2

Мы хотим дать ответ «2», но не можем, поэтому вместо этого математики точно говорят, что происходит, используя специальное слово «предел»

Предел из (х 2 -1) (х − 1) когда x приближается к 1, будет 2

И записывается символами как:

lim x → 1 x 2 −1 x − 1 = 2

Таким образом, это особый способ сказать, «игнорируя то, что происходит, когда мы подбираемся туда, но по мере того, как мы приближаемся, ответ становится все ближе и ближе к 2»

В виде графика это выглядит так:

Итак, по правде говоря, мы не можем сказать, каково значение при x = 1.

Но мы можем сказать, что, когда мы приближаемся к 1, предел равен 2.

Оценка пределов

«Оценка» означает нахождение значения ( думаю, е- « значение» -оценка )

В приведенном выше примере мы сказали, что предел равен 2, потому что выглядело так, как будто это будет . Но этого недостаточно!

На самом деле существует различных способов получить точный ответ.Посмотрим на некоторые:

1. Просто введите значение

Первое, что нужно попробовать, это просто ввести значение лимита и посмотреть, работает ли оно (другими словами, подстановка).

Пример:

lim x → 10 x 2 10 2 = 5

Легко!

Пример:

lim x → 1 x 2 −1 x − 1 (1−1) (1−1) = 0 0

Не повезло.Нужно попробовать что-нибудь еще.

2. Факторы

Можем попробовать факторинг.

Пример:

lim x → 1 x 2 −1 x − 1

Разлагая (x 2 −1) на (x − 1) (x + 1), получаем:

lim x → 1 x 2 −1 x − 1 = lim x → 1 (x − 1) (x + 1) (x − 1)

= лим x → 1 (x + 1)

Теперь мы можем просто подставить x = 1, чтобы получить предел:

предм x → 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2

3.Конъюгат

Для некоторых дробей может помочь умножение верха и низа на конъюгат.

Сопряжение — это то, где мы меняем
знак в середине двух членов следующим образом:

Вот пример, где это поможет нам найти предел:

lim x → 4 2 − √x 4 − x

Оценка этого при x = 4 дает 0/0, что не является хорошим ответом!

Итак, попробуем переставить:

Умножить верхнюю и нижнюю части на конъюгат верха:

2 − √x 4 − x × 2 + √x 2 + √x

Упростите верх, используя (a + b) (a − b) = a 2 — b 2 :

2 2 — (√x) 2 (4 − x) (2 + √x)

Дальнейшее упрощение верха:

4 − x (4 − x) (2 + √x)

Отмена (4-x) сверху и снизу:

1 2 + √x

Итак, теперь у нас:

lim x → 4 2 − √x 4 − x = lim x → 4 1 2 + √x = 1 2 + √4 = 1 4

Готово!

4.Бесконечные пределы и рациональные функции

Рациональная функция — это функция, которая представляет собой отношение двух полиномов:

f (x) = P (x) Q (x)

Например, здесь P (x) = x 3 + 2x — 1 и Q (x) = 6x 2 :

x 3 + 2x — 1 6x 2

Найдя общую Степень функции, мы можем узнать, является ли предел функции 0, Бесконечность, -Бесконечность или легко вычисляется из коэффициентов.

Подробнее читайте в разделе «Пределы бесконечности».

5. Правило L’Hôpital

Правило L’Hôpital может помочь нам оценить пределы, которые сначала кажутся «неопределенными», например 0 0 и ∞ ∞ .

Подробнее читайте на сайте L’Hôpital’s Rule. 3} — 3x + 2}} \]

Мы замечаем, что если мы напрямую применим предел к знаменателю данной функции, то результат будет неопределенным, а предел не существует.3} — 3x + 2}} = \ frac {{\ left ({1 + 3} \ right)}} {{\ left ({1 + 2} \ right)}} = \ frac {4} {3} \]

Поиск пределов: свойства пределов

Определение предела суммы, разницы и произведения

Построение графика функции или изучение таблицы значений для определения предела может быть обременительным и трудоемким. Когда это возможно, более эффективно использовать свойства пределов , которые представляют собой набор теорем для нахождения пределов.

Знание свойств пределов позволяет нам вычислять пределы напрямую.Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить пределы функций, как если бы мы выполняли операции над самими функциями, чтобы найти предел результата. Точно так же мы можем найти предел функции, возведенной в степень, подняв предел до этой степени. Мы также можем найти предел корня функции, взяв корень предела. Используя эти операции с пределами, мы можем найти пределы более сложных функций, найдя пределы их более простых компонентных функций.

Общее примечание: свойства пределов

Пусть [latex] a, k, A [/ latex] и [latex] B [/ latex] представляют действительные числа, а [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] являются функциями, например что [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) = A [/ latex] и [latex] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim }} g \ left (x \ right) = B [/ латекс].Для существующих и конечных пределов свойства пределов приведены в таблице ниже.

Константа, k [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} k = k [/ latex]
Постоянное время функция [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ left [k \ cdot f \ left (x \ right) \ right] = k \ underset {x \ to a} {\ mathrm { lim}} f \ left (x \ right) = kA [/ латекс]
Сумма функций [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ left [f \ left (x \ right) + g \ left (x \ right) \ right] = \ underset {x \ to a } {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) + \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right) = A + B [/ latex]
Различие функций [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ left [f \ left (x \ right) -g \ left (x \ right) \ right] = \ underset {x \ to a } {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) — \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right) = AB [/ latex]
Произведение функций [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ left [f \ left (x \ right) \ cdot g \ left (x \ right) \ right] = \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) \ cdot \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right) = A \ cdot B [/ латекс ]
Частное функций [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ frac {f \ left (x \ right)} {g \ left (x \ right)} = \ frac {\ underset {x \ в a} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right)} {\ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right)} = \ frac {A} {B}, B \ ne 0 [/ латекс]
Функция, возведенная в степень [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} {\ left [f \ left (x \ right) \ right]} ^ {n} = {\ left [\ underset {x \ to \ infty} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) \ right]} ^ {n} = {A} ^ {n} [/ latex], где [latex] n [/ latex] — это положительное целое число
n -й корень функции, где n — положительное целое число [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} \ sqrt [n] {f \ left (x \ right)} = \ sqrt [n] {\ underset {x \ to a} { \ mathrm {lim}} \ left [f \ left (x \ right) \ right]} = \ sqrt [n] {A} [/ latex]
Полиномиальная функция [латекс] \ underset {x \ to a} {\ mathrm {lim}} p \ left (x \ right) = p \ left (a \ right) [/ latex]

Пример 1: Алгебраическая оценка предела функции

Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (2x + 5 \ right) [/ latex].

Решение

[латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (2x + 5 \ right) = \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim }} \ left (2x \ right) + \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (5 \ right) \ hfill & \ text {Свойство суммы функций} \ hfill \\ \ text { } = \ underset {x \ to 3} {2 \ mathrm {lim}} \ left (x \ right) + \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (5 \ right) \ hfill & \ text {Постоянное время свойство функции} \ hfill \\ \ text {} = 2 \ left (3 \ right) +5 \ hfill & \ text {Evaluate} \ hfill \\ \ text {} = 11 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй 1

Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {x \ to -12} {\ mathrm {lim}} \ left (-2x + 2 \ right) [/ latex].

Решение

Нахождение предела многочлена

Не все функции или их пределы включают простое сложение, вычитание или умножение. Некоторые могут включать многочлены. Напомним, что полином — это выражение, состоящее из суммы двух или более членов, каждое из которых состоит из константы и переменной, возведенных в неотрицательную целую степень. Чтобы найти предел полиномиальной функции, мы можем найти пределы отдельных членов функции, а затем сложить их вместе.Кроме того, предел полиномиальной функции по мере приближения [latex] x [/ latex] к [latex] a [/ latex] эквивалентен простой оценке функции для [latex] a [/ latex].

Как сделать: дана функция, содержащая многочлен, найдите ее предел.

  1. Используйте свойства пределов, чтобы разбить многочлен на отдельные члены.
  2. Найдите пределы отдельных терминов.
  3. Сложите пределы вместе.
  4. В качестве альтернативы оцените функцию для [latex] a [/ latex].{3} +5 \ right) [/ латекс].

    Решение

    Поиск предела мощности или корня

    Когда предел включает степень или корень, нам нужно другое свойство, которое поможет нам его оценить. Квадрат предела функции равен пределу квадрата функции; то же самое и с высшими силами. Точно так же квадратный корень из предела функции равен пределу из квадратного корня из функции; то же самое верно и для высших корней. {5} [/ latex].{2} + 6x + 8} {x — 2} \ right) [/ latex], можем ли мы определить предел функции, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex]?

    Да. Некоторые функции могут быть перегруппированы алгебраически, чтобы можно было оценить предел упрощенной эквивалентной формы функции.

    Определение предела частного

    Нахождение предела функции, выраженной как частное, может быть более сложным. Нам часто нужно переписать функцию алгебраически, прежде чем применять свойства предела.Если знаменатель равен 0, когда мы применяем свойства предела напрямую, мы должны переписать частное в другой форме. Один из подходов — записать частное в факторизованной форме и упростить.

    Практическое руководство. Учитывая предел функции в форме частного, используйте факторинг для ее оценки.

    1. Полностью разложите на множители числитель и знаменатель.
    2. Упростите, разделив любые множители, общие для числителя и знаменателя.
    3. Оцените полученный предел, не забывая использовать правильный домен.{2} -6x + 8} {x — 2} \ right) = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (x — 2 \ right) \ left ( x — 4 \ right)} {x — 2} \ right) \ hfill & \ text {Разложите числитель на множители}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ overline {) \ left (x — 2 \ right)} \ left (x — 4 \ right)} {\ overline {) x — 2}} \ right) \ hfill & \ text {Отмена общие факторы}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 2} {\ mathrm {lim}} \ left (x — 4 \ right) \ hfill & \ text {Evaluate}. \ hfill \ \ \ text {} = 2–4 = -2 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Анализ решения

      Когда предел рациональной функции не может быть вычислен напрямую, факторизованные формы числителя и знаменателя могут упроститься до результата, который может быть вычислен.{2} -11x + 28} {7-x} \ right) [/ latex].

      Решение

      Пример 6: Оценка предела частного по ЖК-дисплею

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 5} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ frac {1} {x} — \ frac {1} {5}} {x — 5} \ справа) [/ латекс].

      Решение

      Найдите ЖК-дисплей для знаменателей двух членов в числителе и преобразуйте обе дроби, чтобы ЖК-дисплей был их знаменателем.

      Рисунок 3

      Анализ решения

      При определении предела рациональной функции, в которой добавлены или вычтены члены в числителе или знаменателе, первым шагом является поиск общего знаменателя добавленных или вычтенных членов; затем преобразуйте оба члена в этот знаменатель или упростите рациональную функцию, умножив числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель.Затем проверьте, есть ли у числителя и знаменателя общие множители.

      Попробуй 6

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to -5} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ frac {1} {5} + \ frac {1} {x}} {10 + 2x} \ справа) [/ латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Учитывая предел функции, содержащей корень, используйте сопряжение для вычисления.

      1. Если данное частное не находится в неопределенной [латексной] \ левой (\ frac {0} {0} \ правой) [/ латексной] форме, оцените напрямую.
      2. В противном случае перепишите сумму (или разность) двух частных как одинарное частное, используя наименьший общий знаменатель (LCD) .
      3. Если числитель включает корень, рационализируйте числитель; умножьте числитель и знаменатель на , сопряженное с числителя. Напомним, что [latex] a \ pm \ sqrt {b} [/ latex] являются конъюгатами.
      4. Упростить.
      5. Оцените полученный предел.

      Пример 7: Оценка предела, содержащего корень, с помощью конъюгата

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {25-x} -5} {x} \ right) [/ latex].

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {25-x} -5} {x} \ right) = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (\ sqrt {25-x} -5 \ right)} {x} \ cdot \ frac {\ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} {\ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Умножьте числитель и знаменатель на сопряжение}.\ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (25-x \ right) -25} {x \ left (\ sqrt { 25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Умножение:} \ left (\ sqrt {25-x} -5 \ right) \ cdot \ left (\ sqrt {25-x} + 5 \ right) = \ left (25-x \ right) -25. \ Hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {-x} {x \ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 0} { \ mathrm {lim}} \ left (\ frac {- \ overline {) x}} {\ overline {) x} \ left (\ sqrt {25-x} +5 \ right)} \ right) \ hfill & \ текст {Упростить} \ frac {-x} {x} = — 1.\ hfill \\ \ text {} = \ frac {-1} {\ sqrt {25-0} +5} \ hfill & \ text {Evaluate}. \ hfill \\ \ text {} = \ frac {-1} {5 + 5} = — \ frac {1} {10} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

      Анализ решения

      При определении предела функции с корнем в качестве одного из двух членов, которые мы не можем вычислить напрямую, подумайте о умножении числителя и знаменателя на сопряжение членов.

      Попробуй 7

      Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {h \ to 0} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ sqrt {16-h} -4} {h} \ right) [/ latex] .

      Решение

      Пример 8: Оценка предела частного значения функции путем факторинга

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {4-x} {\ sqrt {x} -2} \ right) [/ latex].

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {ll} \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {4-x} {\ sqrt {x} -2} \ right) = \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (2+ \ sqrt {x} \ right) \ left (2- \ sqrt {x} \ right)} {\ sqrt {x} -2} \ right) \ hfill & \ text {Factor.} \ hfill \\ \ text {} = \ underset {x \ to 4} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {\ left (2+ \ sqrt {x} \ right) \ overline {) \ left (2- \ sqrt {x} \ right)}} {- \ overline {) \ left (2- \ sqrt {x} \ right) }} \ right) \ hfill & \ text {Factor} -1 \ text {вне знаменателя} \ text {.{2} [/ латекс]

      и может быть разложен на

      [латекс] \ left (a + b \ right) \ left (a-b \ right) [/ латекс].

      Попробуй 8

      Оцените следующий предел: [латекс] \ underset {x \ to 3} {\ mathrm {lim}} \ left (\ frac {x — 3} {\ sqrt {x} — \ sqrt {3}} \ right) [/латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Получив частное с абсолютными значениями, оцените его предел.

      1. Попробуйте разложить на множители или найти ЖК-дисплей.
      2. Если предел не может быть найден, выберите несколько значений рядом и по обе стороны от входа, где функция не определена.
      3. Используйте числовое свидетельство, чтобы оценить пределы с обеих сторон.

      Пример 9: Оценка предела частного с абсолютными значениями

      Вычислить [латекс] \ underset {x \ to 7} {\ mathrm {lim}} \ frac {| x — 7 |} {x — 7} [/ latex].

      Решение

      Функция не определена при [latex] x = 7 [/ latex], поэтому мы попробуем значения, близкие к 7 слева и справа.

      Предел слева: [латекс] \ frac {| 6.9 — 7 |} {6.9 — 7} = \ frac {| 6.99 — 7 |} {6.99 — 7} = \ frac {| 6.{+}} {\ mathrm {lim}} \ frac {6-x} {| x — 6 |} [/ latex].

      Решение

      Ключевые понятия

      • Свойства пределов могут использоваться для выполнения операций над пределами функций, а не с самими функциями.
      • Предел полиномиальной функции можно найти, найдя сумму пределов отдельных членов.
      • Предел функции, возведенный в степень, равен той же степени, что и предел функции. Другой метод — прямая подстановка.
      • Предел корня функции равен соответствующему корню предела функции.
      • Один из способов найти предел функции, выраженной как частное, — это записать частное в факторизованной форме и упростить.
      • Другой метод определения предела сложной дроби — найти ЖК-дисплей.
      • Предел, содержащий функцию, содержащую корень, может быть вычислен с использованием конъюгата.
      • Пределы некоторых функций, выраженные в виде частных, можно найти с помощью факторизации.
      • Один из способов оценить предел частного, содержащего абсолютные значения, — использовать числовое свидетельство. Также может быть полезна его настройка по частям.

      Глоссарий

      свойства пределов
      сборник теорем для нахождения пределов функций путем выполнения математических операций над пределами

      Упражнения по разделам

      1. Приведите пример типа функции [latex] f [/ latex], предел которой, когда [latex] x [/ latex] приближается к [latex] a [/ latex], составляет [latex] f \ left (a \ справа) [/ латекс].

      2. Когда прямая подстановка используется для оценки предела рациональной функции, поскольку [латекс] x [/ латекс] приближается к [латексу] a [/ латексу], и результат [латекс] f \ left (a \ right) = \ frac {0} {0} [/ latex], означает ли это, что предел [latex] f [/ latex] не существует?

      3. Что означает утверждение, что предел [латекса] f \ left (x \ right) [/ latex], поскольку [latex] x [/ latex] приближается к [latex] c [/ latex], не определен?

      Для следующих упражнений оцените пределы алгебраически.

      4.{2}} {x — 2} \ right) [/ латекс]

      Для следующего упражнения используйте данную информацию для оценки пределов: [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} f \ left (x \ right) = 3 [/ latex], [latex ] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} g \ left (x \ right) = 5 [/ latex]

      31. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ left [2f \ left (x \ right) + \ sqrt {g \ left (x \ right)} \ right] [/ латекс]

      32. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ left [3f \ left (x \ right) + \ sqrt {g \ left (x \ right)} \ right] [/ латекс]

      33. [латекс] \ underset {x \ to c} {\ mathrm {lim}} \ frac {f \ left (x \ right)} {g \ left (x \ right)} [/ латекс]

      Для следующих упражнений оцените следующие пределы.{2}} [/ латекс]

      51. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ латекс]

      52. Найдите уравнение, которое может быть представлено на рисунке 2.

      Рисунок 2

      53. Найдите уравнение, которое можно представить на рис. 3.

      Рисунок 4

      Следующие упражнения см. На рис. 4.

      Рисунок 5

      54. Каков правый предел функции, когда [latex] x [/ latex] приближается к 0?

      55.{0,0425t} [/ latex], где [latex] {A} _ {0} [/ latex] — начальная сумма инвестиций. Найдите среднюю скорость изменения баланса аккаунта с [latex] t = 1 [/ latex] года до [latex] t = 2 [/ latex] лет, если первоначальная сумма инвестиций составляет 1000,00 долларов США.

      В поисках предела — Бесплатная справка по математике

      Что такое лимит?

      Предел — это определенное значение, к которому приближается функция. Поиск предела обычно означает определение значения y, когда x приближается к определенному числу.Вы обычно можете сформулировать это как что-то вроде «предел функции f (x) равен 7, когда x приближается к бесконечности. Например, представьте себе такую ​​кривую, когда x приближается к бесконечности, эта кривая приближается к y = 0, в то время как никогда на самом деле добраться туда. Итак, как мы алгебраически найти этот предел? Один из способов найти предел — использовать метод подстановки .

      Например, предел следующего графика равен 0, когда x приближается к бесконечности, что хорошо видно, когда график приближается к 0, вот так:

      Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы можем найти предел реальных функций:

      Пример A

      Найдите предел \ (f (x) = 4x \), когда x стремится к 3.2-7x} {x} = \ frac {x (6x-7)} {x} = 6x-7 $$

      Мы отменили множитель x в числителе и знаменателе, оставив нам простой предел:

      $$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) $$

      Теперь мы можем заменить x на 0, чтобы найти предел -7:

      $$ \ lim_ {x \ to0} (6x-7) = -7 $$

      Примечание. Несмотря на то, что мы смогли упростить функцию в примере C с помощью факторинга, мы не можем делать вид, что этого не произошло. Помните, что мы находили предел, когда x приближался к 0, а не пытались оценить функцию AT x = 0.Функция все еще не определена при x = 0. Однако у него есть предел. Только упрощенная версия имеет решение при x = 0. Только после факторинга, в некоторых случаях, мы можем применить замену, чтобы найти предел.

      Предоставлено г-ном Feliz

      Справка по математике — Исчисление — Пределы — Методы 1

      Справка по математике — Исчисление — Пределы — Методы 1 — Техническое обучение

      Технические репетиторы Главная Указатель сайта Advanced Books Speed Арифметическая математика Индекс Алгебра Индекс Исчисления Индекс Триггерный индекс Химический индекс Магазин подарков Гарри DVD-диски, видео, книги, аудио-компакт-диски и кассеты с Поттером Лорд DVD-диски, видео, книги, аудио-компакт-диски и кассеты «Кольца» Винни-Пух DVD, видео, книги, аудио компакт-диски, аудиокассеты и игрушки DVD-диски и видео в формате VHS STAR WARS

      Пределы — Методы 1 — Конечная фиксированная точка (x 0 ), конечный предел (y 0 )

      Отмена линейный коэффициент Предел не существует Разница двух квадратов Объединение числителя Применение формулы алгебры с неизвестным числом членов Умножение множителем единицы Факторизация кубических многочленов Замена Рекомендуется Книги

      Здесь нас меньше интересует определение лимита, чем то, как рассчитать их.Мы приступаем к примерам, используя следующую терминологию

      f (x) — это функция , со всеми возможными значениями x область функции, все возможные значения y в диапазоне функции
      x 0 — наша фиксированная точка , может быть конечной или бесконечной, но должен находиться в области определения функции
      y 0 — предел , может быть конечным, бесконечным, или не существует, если он существует, он должен быть в диапазоне функции

      Пример 1 — Отмена линейного коэффициента

      Найдите предел

      Решение

      Очевидно, у нас возникнут проблемы, просто подставив x = 1, так как это сделает знаменатель ноль, и все выражение не определено.Вместо этого мы сделаем несколько сначала алгебру, чтобы посмотреть, сможем ли мы обрезать жир. Поскольку (см. Формулы алгебры)

      Мы можем написать

      А так

      к началу

      Пример 2 — Лимит не не существует

      Найдите предел

      Решение

      Опять же, прямая замена не сработает.Фактически, независимо от того, как мы играем с этим предел, у нас все еще будет множитель в знаменателе, который равен нулю, а в числителе не является. Этот предел не существует . Мы даже не можем присвоить ему +/- бесконечность, поскольку ответ будет отличаться в зависимости от того, приближается ли x к 4 ​​снизу (отрицательная бесконечность) или больше (положительная бесконечность).

      к началу

      Пример 3 — Разница двух квадратов

      Найдите предел

      Решение

      Дважды примените ту же технику алгебры, что и в первом примере выше:

      Итак,

      к началу

      Пример 4 — Объединяя числитель

      Найдите предел

      Решение

      Небольшая алгебра показывает, что этот предел также не такой, каким кажется

      А так

      Поскольку 2 не является функцией x, не имеет значения, какова фиксированная точка, ответ еще 2!

      к началу

      Пример 5 — Применение формулы алгебры с неизвестным числом членов

      Найдите предел

      Для трех случаев: m> n, m = n, m

      Решение

      Случай m = n тривиален

      В случае, когда m n, из алгебры формулы

      Итак,

      Обратите внимание, что это согласуется с тривиальным результатом, когда m = n.

      к началу

      Пример 6 — Умножение на коэффициент единицы

      Найдите предел

      Решение

      Умножить на 1 в виде числителя со знаком «+», замененным на Знак «-«:

      Следовательно,

      Обратите внимание в приведенных выше примерах, что после того, как лимит был взят, символ лимита удаляется, и фиксированная точка заменяется x.До этого символ предела нужный. Когда мы занимаемся чистой алгеброй, мы опускаем символ предела, чтобы не загромождать математика.

      к началу

      Пример 7 — Факторизация кубических многочленов

      Найдите предел

      Решение

      Проверка знаменателя показывает, что он обращается в ноль при x = 1, что означает, что (x — 1) является множитель многочлена в знаменателе.Выполнение деления (можно сделать вычитание под делителем, если хотите — вам нужно будет уметь разложить кубический полиномы вроде этого),

      Поскольку x = 1 представляет интерес для знаменателя, мы можем попробовать это с помощью числитель

      Квадратичный член справа неприводим, так как

      Итак, предел становится

      Числитель становится конечным, а знаменатель стремится к нулю, больше нет алгебра, которая может уменьшить выражение, поэтому этот предел не существует .

      к началу

      Пример 8 — Замена

      Найдите предел


      Решение

      Тут помогает сделать замену

      , так что теперь мы можем записать выражение предела как

      Эта техника окажется очень полезной для решения вычислительных задач в дальнейшем.

      к началу

      Рекомендуемые книги

      Наброски Шаума исчисления (Шаума …

      Классический сборник задач по исчислению — очень мало теории, много проблемы с полными решениями, еще проблемы с ответами

      Schaum’s Easy Схема: исчисление

      Упрощенная и обновленная версия классической схемы Шаума.Нет так же полно, как и предыдущая книга, но достаточно для большинства студентов

      к началу

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Карта сайта
© Copyright 2019, All Rights Reserved, info @ howtohostel.ru