Число фибоначчи: Ошибка 404: страница не найдена

реализация и сравнение / Хабр

Введение

Программистам числа Фибоначчи должны уже поднадоесть. Примеры их вычисления используются везде. Всё от того, что эти числа предоставляют простейший пример рекурсии. А ещё они являются хорошим примером динамического программирования. Но надо ли вычислять их так в реальном проекте? Не надо. Ни рекурсия, ни динамическое программирование не являются идеальными вариантами. И не замкнутая формула, использующая числа с плавающей запятой. Сейчас я расскажу, как правильно. Но сначала пройдёмся по всем известным вариантам решения.

Код предназначен для Python 3, хотя должен идти и на Python 2.

Для начала – напомню определение:

F_n= F_n-1+ F_n-2

и F₁= F₂=1.

Замкнутая формула

Пропустим детали, но желающие могут

ознакомиться с выводом формулы

. Идея в том, чтобы предположить, что есть некий x, для которого F

_n

= x

ⁿ

, а затем найти x.

что означает

сокращаем x^n-2

Решаем квадратное уравнение:

Откуда и растёт «золотое сечение» ϕ=(1+√5)/2. Подставив исходные значения и проделав ещё вычисления, мы получаем:

что и используем для вычисления F_n.

from __future__ import division
import math

def fib(n):
    SQRT5 = math.sqrt(5)
    PHI = (SQRT5 + 1) / 2
    return int(PHI ** n / SQRT5 + 0.5)

Хорошее:
Быстро и просто для малых n
Плохое:
Требуются операции с плавающей запятой. Для больших n потребуется большая точность.
Злое:
Использование комплексных чисел для вычисления F_n красиво с математической точки зрения, но уродливо — с компьютерной.

Рекурсия

Самое очевидное решение, которое вы уже много раз видели – скорее всего, в качестве примера того, что такое рекурсия. Повторю его ещё раз, для полноты. В Python её можно записать в одну строку:

fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) if n > 2 else 1
 

Хорошее:
Очень простая реализация, повторяющая математическое определение
Плохое:
Экспоненциальное время выполнения. Для больших n очень медленно
Злое:
Переполнение стека

Запоминание

У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fib(n), то подсчитываются fib(n-1) и fib(n-2). Но когда считается fib(n-1), она снова независимо подсчитает fib(n-2) – то есть, fib(n-2) подсчитается дважды. Если продолжить рассуждения, будет видно, что fib(n-3) будет подсчитана трижды, и т.д. Слишком много пересечений.

Поэтому надо просто запоминать результаты, чтобы не подсчитывать их снова. Время и память у этого решения расходуются линейным образом. В решении я использую словарь, но можно было бы использовать и простой массив.

M = {0: 0, 1: 1}

def fib(n):
    if n in M:
        return M[n]
    M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)
    return M[n]
 

(В Python это можно также сделать при помощи декоратора, functools.lru_cache.)

Хорошее:
Просто превратить рекурсию в решение с запоминанием. Превращает экспоненциальное время выполнение в линейное, для чего тратит больше памяти.
Плохое:
Тратит много памяти
Злое:
Возможно переполнение стека, как и у рекурсии

Динамическое программирование

После решения с запоминанием становится понятно, что нам нужны не все предыдущие результаты, а только два последних. Кроме этого, вместо того, чтобы начинать с fib(n) и идти назад, можно начать с fib(0) и идти вперёд. У следующего кода линейное время выполнение, а использование памяти – фиксированное. На практике скорость решения будет ещё выше, поскольку тут отсутствуют рекурсивные вызовы функций и связанная с этим работа. И код выглядит проще.

Это решение часто приводится в качестве примера динамического программирования.

def fib(n):
    a = 0
    b = 1
    for __ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a
 

Хорошее:
Быстро работает для малых n, простой код
Плохое:
Всё ещё линейное время выполнения
Злое:
Да особо ничего.

Матричная алгебра

И, наконец, наименее освещаемое, но наиболее правильное решение, грамотно использующее как время, так и память. Его также можно расширить на любую гомогенную линейную последовательность. Идея в использовании матриц. Достаточно просто видеть, что

А обобщение этого говорит о том, что

Два значения для x, полученных нами ранее, из которых одно представляло собою золотое сечение, являются собственными значениями матрицы. Поэтому, ещё одним способом вывода замкнутой формулы является использование матричного уравнения и линейной алгебры.

Так чем же полезна такая формулировка? Тем, что возведение в степень можно произвести за логарифмическое время. Это делается через возведения в квадрат. Суть в том, что

где первое выражение используется для чётных A, второе для нечётных. Осталось только организовать перемножения матриц, и всё готово. Получается следующий код. Я организовал рекурсивную реализацию pow, поскольку её проще понять. Итеративную версию смотрите тут.

def pow(x, n, I, mult):
    """
    Возвращает x в степени n. Предполагает, что I – это единичная матрица, которая 
    перемножается с mult, а n – положительное целое
    """
    if n == 0:
        return I
    elif n == 1:
        return x
    else:
        y = pow(x, n // 2, I, mult)
        y = mult(y, y)
        if n % 2:
            y = mult(x, y)
        return y


def identity_matrix(n):
    """Возвращает единичную матрицу n на n"""
    r = list(range(n))
    return [[1 if i == j else 0 for i in r] for j in r]


def matrix_multiply(A, B):
    BT = list(zip(*B))
    return [[sum(a * b
                 for a, b in zip(row_a, col_b))
            for col_b in BT]
            for row_a in A]


def fib(n):
    F = pow([[1, 1], [1, 0]], n, identity_matrix(2), matrix_multiply)
    return F[0][1]
 

Хорошее:
Фиксированный объём памяти, логарифмическое время
Плохое:
Код посложнее
Злое:
Приходится работать с матрицами, хотя они не так уж и плохи

Сравнение быстродействия

Сравнивать стоит только вариант динамического программирования и матрицы. Если сравнивать их по количеству знаков в числе n, то получится, что матричное решение линейно, а решение с динамическим программированием – экспоненциально. Практический пример – вычисление fib(10 ** 6), числа, у которого будет больше двухсот тысяч знаков.

n = 10 ** 6
Вычисляем fib_matrix: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 0.24993 секунд.
Вычисляем fib_dynamic: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 11.83377 секунд.

---

Теоретические замечания

Не напрямую касаясь приведённого выше кода, данное замечание всё-таки имеет определённый интерес. Рассмотрим следующий граф:

Подсчитаем количество путей длины n от A до B. Например, для n = 1 у нас есть один путь, 1. Для n = 2 у нас опять есть один путь, 01. Для n = 3 у нас есть два пути, 001 и 101. Довольно просто можно показать, что количество путей длины n от А до В равно в точности F_n. Записав матрицу смежности для графа, мы получим такую же матрицу, которая была описана выше. Это известный результат из теории графов, что при заданной матрице смежности А, вхождения в Аⁿ — это количество путей длины n в графе (одна из задач, упоминавшихся в фильме «Умница Уилл Хантинг»).

Почему на рёбрах стоят такие обозначения? Оказывается, что при рассмотрении бесконечной последовательности символов на бесконечной в обе стороны последовательности путей на графе, вы получите нечто под названием «подсдвиги конечного типа», представляющее собой тип системы символической динамики. Конкретно этот подсдвиг конечного типа известен, как «сдвиг золотого сечения», и задаётся набором «запрещённых слов» {11}. Иными словами, мы получим бесконечные в обе стороны двоичные последовательности и никакие пары из них не будут смежными. Топологическая энтропия этой динамической системы равна золотому сечению ϕ. Интересно, как это число периодически появляется в разных областях математики.

Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) ^[1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»:

F_n = F_{n + 2} − F_{n + 1}:

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Fn	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко видеть, что F _{− n} = ( − 1)^{n + 1}F_n. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

• В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
• В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
• Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
• В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение F_n как функцию от n:

,

где  — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , F_n есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .

Тождества

И более общие формулы:

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть

, а также ,

где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (F_m,F_n) = F_(m,n). Следствия:
  • F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, F_m делится на F₃ = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; F_m делится на F₄ = 3 только для m = 4k; F_m делится на F₅ = 5 только для m = 5k и т. д.
  • F_m может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

.

• В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F₀ = 0² = 0, F₁ = 1² = 1, F₂ = 1² = 1, F₁₂ = 12² = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение F_n = n².

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
      z(x,y) = 2xy⁴ + x²y³ − 2x³y² − y⁵ − x⁴y + 2y,
  на множестве неотрицательных целых чисел x и y ^[2].

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

• Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе

• Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.

В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

1. ↑ [1] БСЭ]
2. ↑ P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation. 2010.

Числа Фибоначчи в фотографии

Многие фотографы при съемке используют правило третей для построения композиции. Но этому правилу есть альтернатива, которая поможет вам еще больше усовершенствовать ваши фотографии. Речь идет о числах Леонарда Фибоначчи. Он заметил, что в природе существуют некие пропорции, которые особенно приятны для взгляда человека.

И эти пропорции широко использовались как в прошлом, например в архитектуре (Парфенон), в живописи (Мона Лиза, Тайная Вечеря) и т.д., так и сейчас многие дизайнеры придерживаются пропорций 1:1.618. Эти пропорции также называются золотым сечением, которое дает много возможностей для композиционного построения снимка, благодаря чему снимок выглядит так, что на подсознательном уровне человек постоянно хочет на него смотреть и любоваться.

 

Чтобы понять, что такое последовательность Фибоначчи предлагаю посмотреть этот замечательный видеоролик.

 

Ниже представлены фотографии, которые сделаны с применением пропорций Фибоначчи.

 

 

На снимке выше более выделяющийся глаз лошади расположена на пересечении линий согласно пропорций Фибоначчи. Если бы и придерживался правила третей, голова лошади была бы расположена ближе к краю снимка. На этом же снимке голова и не в центре и не с краю.

 

 

На следующей фотографии голова расположена так, что глаз находится ровно в центре спирали.

 

 

На этой фотографии из Key West горизонт пересекается с верхней линией сетки. Благодаря этому на фотографии гармонично расположены и церковь и улица и небо.

 

 

На этом снимке сетка Фибоначчи также помогает удачно скомпоновать кадр. Двери заключены между вертикальными линиями и горизонтальной, благодаря этому в кадре присутствует достаточное количество потолка, который ведет взгляд зрителя к двери.

 

 

Ниже представлены еще несколько снимков, сделанных при помощи золотого сечения.

 

В заключение хотелось бы сказать, что вы можете с успехом продолжать пользоваться правилом третей, но если вы добавите в свои снимки и правило золотого сечения, вы сможете разнообразить свои снимки и сделать их еще более совершенными и гармоничными.

Смотрите так же Правило третей

Автор: James Brandon

Перевод: Елена Вилкойть

!!! Перед перепечатыванием статей с этого сайта прочтите пожалуйста правила >>Правила<<

Числа Фибоначчи: что, как и почему

Иллюстрация: www.pinterest.cl/northcoteart

Отец Фибоначчи желал, чтобы его сын, как и он сам, стал торговцем. Но, к счастью для науки, Леонардо пошел другим путем. Сейчас мы знаем Фибоначчи в первую очередь по последовательности чисел, опубликованной им в его первом трактате Liber аbaci. Но в нем есть кое-что гораздо более значимое для современной западной науки – в этой книге Фибоначчи один из первых описал использование системы счисления с индийскими цифрами. Значимость последующего перехода к индийской позиционной системе сложно переоценить – большая часть современных открытий базируется на математических расчетах, многие из которых весьма затруднительны в римской системе счисления. В качестве примера можно рассмотреть простейшие арифметические действия – умножение и деление. В привычной нам системе счисления все просто – нужно всего лишь вспомнить таблицу умножения и переносить числа из одного разряда в другой. Но в случае с римской системой такой фокус уже не сработает – если с умножением еще как-то можно справиться, то представить себе деление числа DCXXXVI на число LIII уже гораздо сложнее. Другой пример – это вся современная вычислительная техника, использующая в основном двоичную позиционную систему счисления.

Поскольку деление было очень сложным действием в римской системе счисления, для этого использовали специальный инструмент – абак 

Однако вернемся к числам Фибоначчи. Несмотря на решение стать ученым, Леонардо так и не забыл того, что изначально должен был стать торговцем. Может быть, поэтому юный математик включил в свой трактат множество практических примеров, особенно полезных именно для купцов и продавцов. В частности, Фибоначчи неоднократно демонстрировал, как использование индийской системы счисления и дробей позволяет упростить и ускорить частую задачу для торговцев того времени – перевод всевозможных единиц измерения в привычные купцам единицы и валюты. С другой стороны, Леонардо Пизанский уделил значительную часть своей книги и более отвлеченным задачам – именно так и была выявлена последовательность чисел Фибоначчи.

Одна из задач, поставленных математиком, звучала так: если любая пара кроликов производит новую пару каждый месяц, начиная со второго месяца существования, то сколько пар кроликов мы получим через год? При этом считается, что в начале у нас есть одна такая пара кроликов, и животные не умирают. Рассмотрим для примера первые несколько месяцев развития популяции таких кроликов.

Итак, мы начинаем с одной пары кроликов. В конце первого месяца у нас все еще одна пара. В конце второго месяца у нас есть стартовая пара кроликов и еще одна пара, родившаяся у них. К концу третьего месяца изначальная пара кроликов производит еще одну пару – в итоге мы имеем уже три пары кроликов. На этом шаге мы можем получить формулу для количества пар кроликов к концу следующего месяца – оно будет равно количеству пар в конце текущего месяца плюс их количество в конце предыдущего месяца. Зная эту формулу, мы легко можем вычислить количество пар кроликов к концу каждого месяца и получить последовательность Фибоначчи, как это сделал в свое время Леонард Пизанский. Вот искомая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … Однако легко заметить, что данный пример имеет мало общего с реальностью – как минимум кролики все-таки не бессмертны. Но есть и другие, гораздо более реалистичные случаи применения последовательности Фибоначчи в природе: родословная пчел, раковины моллюсков, соцветия растений, ДНК человека.

Главное, что нужно уяснить из задачи о кроликах: числа Фибоначчи – это числовая последовательность, в которой каждое новое число равняется сумме двух предыдущих. А как она применяется на практике?

Числа Фибоначчи и золотое сечение

В математике на основе последовательности Фибоначчи можно построить набор квадратов со сторонами, равными элементам этой последовательности. Добавляя каждый квадрат из этого набора к сторонам двух предыдущих квадратов, мы всегда будем получать прямоугольник, стороны которого равны двум последующим числам Фибоначчи. И, наконец, если мы решим вписать в каждый из этих квадратов по четверти окружности, то мы получим аппроксимацию широко известной золотой спирали, используемой в архитектуре. На первый взгляд это описание может показаться сложным, но если взглянуть на рисунок, все сразу встает на свои места.

В этом примере наиболее ясно видна связь последовательности Фибоначчи и золотого сечения, которое используется для построения золотой спирали. Но существует и еще более явная взаимосвязь между числами Фибоначчи и золотым сечением – последнее можно напрямую получить из соотношения двух чисел Фибоначчи! Как известно, золотое сечение – это иррациональное число (то есть его нельзя выразить рациональными дробями – говоря более простым языком, это число с бесконечным числом знаков после запятой), приблизительно равное 1,618. А теперь попробуем делить каждое следующее число Фибоначчи на предыдущее, начиная с единицы: 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 ≈ 1,666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625. Продолжая такие вычисления, мы будем все ближе и ближе приближаться к реальному значению золотого сечения!

Последовательности на базе чисел Фибоначчи

За века изучения чисел Фибоначчи ученые придумали множество вариаций классической последовательности. Например, зная формулу для чисел Фибоначчи, можно посчитать числа, которые должны предшествовать единице, тогда мы получим последовательность Фибоначчи с отрицательными членами:

…, –8, 5, –3, 2, –1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, …

Другой способ модифицировать последовательность Фибоначчи – складывать для получения следующего члена не два предыдущих, а три, четыре или еще больше элементов. В случае трех членов последовательность будет называться числами трибоначчи и иметь следующий вид:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, …

В итоге многовековых исследований числа Фибоначчи и полученные из них последовательности стали одними из самых изученных в теории чисел. Неудивительно, что помимо вышеприведенных примеров существует огромное количество практических применений чисел Фибоначчи.

«Случайные» числа Фибоначчи

Один из самых необычных примеров использования чисел Фибоначчи в современной математике и информатике – генерация псевдослучайных чисел. Для исследователей во всех областях наук последнее время очень важным является вопрос о случайных числах. Но что же такое случайное число?

Игральные кости времен Римской империи

Не вдаваясь в сложные математические выкладки, можно понять это на простом примере. Предположим, вам надо сделать выбор между двумя блюдами – например, гречкой и макаронами. При этом каких-либо явных предпочтений у вас нет. Очевидное решение – бросить монетку и решить, что будет соответствовать орлу, а что – решке. Если же вы скажете, что орел – это единица, а решка – ноль, то при помощи подбрасывания монетки сможете получить некое число. Именно число, поставленное в соответствие некому исходу события, и будет являться случайным числом, или, если говорить более научно, случайной величиной. Другой пример получения случайной величины – это бросание кости, у которой каждый результат соответствует числу от 1 до 6.

На первый взгляд действительно кажется, что для получения случайного числа достаточно всего лишь бросить монетку или игральную кость N число раз. До изобретения компьютеров люди зачастую обходились именно таким методом. Но с появлением первых вычислительных машин и усложнением научных задач ученым во всех областях науки требовались все большие и большие количества случайных чисел. Наиболее важны эти числа оказались для специалистов в области численного моделирования и оптимизации – именно для их экспериментов в первую очередь требовались огромные массивы случайных чисел. Косвенным примером важности и необходимости этих чисел служит очень популярная в XX веке книга A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates американского аналитического центра RAND, которая издавалась на протяжении полувека. Ее основным содержанием был миллион случайных чисел, записанных по 2500 чисел на страницу.

Игра в кости во время древнеримского праздника Сатурналии. Римская фреска в Помпеях Из статьи английского исследователя Фрэнсиса Гальтона 1890 года: «Когда я задался целью получить действительно случайное число, то не нашел для этого ничего лучшего, чем обычная игральная кость. После того как кости встряхивают и бросают в корзинку, они ударяются друг о друга и о стенки корзинки столь непредсказуемым образом, что даже после легкого броска становится совершенно невозможным предопределить его результат». Также для получения случайных чисел в разных странах использовали свои методы. В Китае в XI столетии до н. э. разбивали черепаший панцирь, а полученные осколки интерпретировали как сгенерированные случайные числа.

Возвращаясь от важности случайных чисел в науке к числам Фибоначчи, стоит отметить, что современный компьютер сам по себе не способен генерировать случайные числа. Поэтому для вычислений ученые придумали такую вещь, как генератор псевдослучайных чисел. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что практически все случайные числа, используемые сегодня в науке и в обычной жизни, являются на самом деле псевдослучайными. Это значит, что на самом деле они строятся по некоторому алгоритму и даже повторяются с определенным периодом. Если принять во внимание то, что при помощи таких псевдослучайных чисел зачастую генерируются пароли и ключи шифрования, то легко понять, насколько важна надежность этих генераторов. На практике наиболее важен период генератора – количество чисел, после которого генератор начинает генерировать ту же последовательность заново. И именно в этой области пригодились уже знакомые нам числа Фибоначчи! В 50-х годах XX века американские ученые предложили метод генерации псевдослучайных чисел на основе последовательности Фибоначчи, а в дальнейшем это изобретение привело к появлению целого семейства генераторов, которые используются и по сей день.

Таким образом небольшая задача итальянского средневекового ученого Леонардо Пизанского оказала огромное влияние на последующее развитие математики и даже затмила гораздо более важное его предложение об использовании индийской системы счисления. Сейчас нас окружает огромное количество предметов и изобретений, которые базируются на решении этой небольшой задачи, а медоносные пчелы и генераторы псевдослучайных чисел – лишь часть вселенной Фибоначчи.

Числа Фибоначчи — Энциклопедия по экономике

В соответствии с числами Фибоначчи (см. п. 5.1), разворот происходит в точках, соответствующих 0.382 (38%), 0.5 (50%) и 0.618 (62%) предыдущего подъема.  [c.28]

Числа Фибоначчи и теория волн Эллиотта  [c.64]

Числа Фибоначчи и Теория Волн Эллиотта  [c.102]

Математической основой теории волн Эллиота являются числа Фибоначчи (см. стр. 206). Не вдаваясь в детали, скажем лишь, что ряд Фибоначчи начинается с единицы, а каждый последующий элемент ряда получается простым суммированием двух предыдущих членов (напр., 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, 8+5=13 и т.д.). Полный набор волн любого цикла в теории Эллиота является одним из элементов ряда Фибоначчи. Например на предыдущем графике изображены две основные волны (импульсная и корректирующая), 8 промежуточных волн (последовательность 53 , показанная на первом графике) и 34 малые волны (они отмечены на втором графике). Числа 2, 8 и 34 являются членами ряда Фибоначчи.  [c.69]

На практике для предсказания продолжительности и величины будущего рыночного движения, которое может длиться от нескольких минут или часов до нескольких лет и десятилетий, аналитики используют волновые модели Эллиота в комбинации с числами Фибоначчи.  [c.69]

Существует четыре распространенных инструмента технического анализа, основанных на числах Фибоначчи это дуги, веера, уровни коррекции и временные зоны. Общий принцип интерпретации этих инструментов состоит в том, что при приближении цены к построенным с их помощью линиям следует ожидать изменений в развитии тенденции.  [c.247]

Восстановления, часто используемые в торговле, включают 25, 33, 50, 75 и 88%. Кроме того, многие трейдеры используют «числа Фибоначчи», названные по имени итальянского математика ХП века. В рядах Фибоначчи обычно используются два процентных значения — 61,8 и 38,2%.  [c.59]

В дополнение к процентам, описанным выше, существуют и другие популярные среди трейдеров уровни восстановления, а именно 38,2 и 61,8%, в сочетании с упомянутым ранее уровнем 50%. Это числа Фибоначчи, названные по имени европейского математика, изучавшего числовые ряды в XII веке. Он придумал свой ряд, добавляя первое число ко второму, второе к третьему и так далее (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) Эта последовательность получила название «ряд Фибоначчи» и используется применительно к архитектуре, растениям, человеческому организму и, конечно, рынку. При изучении рядов Фибоначчи обычно используются два процентных значения 61,8 и 38,2%, которые также применяются к восстановлениям на рынке.  [c.148]

Мир буквально наводнен соотношением 0,618. Размещение семян в цветках представляют собой числа Фибоначчи. Сердечная мышца сокращается до 0,618 от своей изначальной длины. Совершенную структуру, определяемую соотношением 0.618, демонстрирует раковина моллюска Наутилус. Более интимный пример — пупок у человека расположен на уровне 0.618 от его полного роста. Написаны целые тома, представляющие и систематизирующие случаи наличия соотношения 0.618 в природе.  [c.42]

Некоторые из перечисленных индикаторов являются несколько мистическими. Трудно, например, поверить, что числа Фибоначчи лежат в основе изменения цен акций, хотя есть работы, выявляющие их корреляции. Изучению этих и других индикаторов можно не без пользы посвятить много времени, но все они имеют общий недостаток они содержат некоторые параметры, которые выбираются по вкусу автора (например, число дней в динамических средних). Чтобы уточнить эти параметры, фактически для каждых акций нужно проводить маленькое исследование. Реально же у трейдера не так много времени, чтобы анализировать графики цен акций множеством различных методов, да еще размышлять при этом о применимости данного индикатора и о значении параметров, которые в него входят. Приобретя некоторый опыт, трейдер использует в основном один или два индикатора, которые он чувствует лучше всего. Эти индикаторы служат ему аналитической базой, а далее он полагается на свой опыт, данные о состоянии рынка и фундаментальные показатели.  [c.186]

Я не буду утомлять читателя длинными пассажами о числах Фибоначчи, лежащих в основе окружающего нас мира, а просто сошлюсь на многочисленные учебники и статьи, посвященные описанию этой числовой последовательности и так называемого золотого сечения. Я лишь еще раз подчеркну важность числовой последовательности Фибоначчи, включающей в себя следующие числа 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 — и т. д. Каждое последующее число ряда получается путем сложения двух предыдущих чисел. По мере роста номера числа в последовательности отношение предшествующего числа к последующему приближается к 0,618, а отношение последующего числа к предшествующему стремится к 1,618. Такая особенность присуща только членам данной последовательности.  [c.46]

Еще более важным является индикатор, показывающий скорость изменения данных процентных величин. На своем опыте я убедился, что этот индикатор является наиболее надежным с точки зрения определения наиболее перспективных объектов инвестиций. Скорость изменения рассчитывается просто разделите процентную величину текущего дня на процентную величину X дней тому назад. Обычно я работаю с числами Фибоначчи. Выбрав определенное число, я рассчитываю скорость изменения путем деления сегодняшней величины на величину, отстоящую от сегодняшней, по крайней мере, на четыре уровня Фибоначчи в сторону уменьшения. Допустим, я использую ряд из 89 дней. Чтобы рассчитать скорость изменения, мне нужно сравнить сегодняшнюю величину с величиной 13 дней тому назад — в последовательности Фибоначчи числа возрастают от 13 до 21, 34, 55 и затем до 89. Легко увидеть, что число 13 расположено на четыре уровня ниже, чем число 89. Если бы вы использовали ряд из 144 дней, то нужно было бы сравнивать величину текущего дня с величиной 21 день тому назад если бы вы использовали ряд из 233 дней, то нужно было бы сравнивать величину текущего дня с величиной 34 дня тому назад. Имейте в виду, что это всего лишь рекомендации. Возможно, вы добьетесь лучших результатов, если будете использовать другую числовую последовательность или если для расчета скорости изменения вы выберете другие временные периоды. Но как только период выбран, он должен быть одним и тем же для всех сравниваемых ценных бумаг. Например, если для одного наименования акций выбран 89-дневный период и скорость изменения рассчитывается на основе процентной величины 13 дней назад, тогда те же самые временные отрезки должны использоваться при оценке относительной привлекательности других акций (см. рис. 5.9).  [c.90]

С марта по начало мая включительно рынок находится в сильном восходящем Тренде, что определено с помощью 3×3. Поэтому мы играли бы в длинную сторону, покупая на падениях, основываясь, скорее всего, на часовом графике, и продавая на определенных целевых точках. Эти падения и Целевые Точки определяются числами Фибоначчи, что будет рассмотрено позже.  [c.46]

Возможности этого пути иллюстрирует приведенное ниже сравнение предсказаний двух типов комитетов из 25 экспертов (см. Рисунок 14 и Рисунок 15). Предсказания проводились по одной и той же схеме в качестве входов использовались экспоненциальные скользящие средние приращений ряда с периодами равными первым 10 числам Фибоначчи. По результатам 100 экспериментов взвешенное предсказание дает в среднем превышение правильно угаданных знаков над ошибочным равное примерно 15 тогда как среднее — около 12. Заметим, что общее число повышений курса над понижением за указанный период как раз равно 12. Следовательно, учет общей тенденции к повышению в виде тривиального постоянного предсказания знака «+» дает такой же результат для процента угаданных знаков, что и взвешенное мнение 25 экспертов.  [c.162]

Эти два уровня отката берут начало из серий чисел, известных как числа Фибоначчи . Эти серии начинаются с числа 1 и прибавляют каждые два стоящих рядом числа вместе (например, 1 + 1=2 1 +2=3 и т. д.). Наиболее часто используются следующие числа Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и 89. Очень важно отношение Фибоначчи. Наиболее важное — 38 и 62. Каждое число Фибоначчи составляет приблизительно 62 % следующего, более высокого числа (например, 5/8 = 0,625) отсюда и уровень отката на 62 %. 38 является результатом вычитания 62 из 100 (100-62=38) и отсюда процентный откат на 38 %. Вероятно, это все, что вам надо знать на настоящий момент об этих числах. Они очень популярны среди профессиональных торговцев и широко используются для определения перспектив коррекции  [c.29]

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ТЕОРИИ ВОЛН  [c.348]

Некоторые исследователи пытались найти следы последовательности Фибоначчи в совершенно неожиданных областях. Кто-то измерял среднюю высоту, на которой находится пупок у шестидесяти пяти женщин. Оказалось, что она составляет О, 618 от их общего роста (мы не знаем, мерил ли сей ученый высоту до низа или верха пупка, не говоря уже о том, как вообще можно было додуматься до такого исследования). Тем не менее, следует признать, что числа Фибоначчи встречаются повсюду — буквально в каждой области жизни человека.  [c.349]

Прежде всего, если вы посмотрите на примеры (рис. 13.1 и 13.3), то увидите, что в цикличности основных волновых моделей всегда проглядываются числа Фибоначчи. Так, один полный цикл состоит из восьми волн — пяти восходящих и трех нисходящих. Как мы помним, числа 3 и 5 входят в эту последовательность. Дальнейшее разбиение волн на более мелкие дает нам тридцать четыре и сто сорок четыре волны — снова числа Фибоначчи. Однако математическое обоснование теории волн, в основе которой, как уже неоднократно подчеркивалось, лежит числовая последовательность Фибоначчи, конечно, не сводится к простому подсчету волн. Между различными волнами возникают пропорциональные отношения, выраженные числовыми величинами. Наиболее часто встречаются следующие коэффициенты Фибоначчи  [c.350]

Количество волн, образующих тенденцию, совпадает с числами Фибоначчи.  [c.353]

В примерах, представленных ниже, использованы различные скользящие средние. Их параметры не оптимизированы, ведь среднее скользящее, которое на сегодняшний день является оптимальным, может завтра уже не быть таковым. Наряду с широко распространенными скользящими средними здесь приведены примеры менее употребительных, но основанных на таких инструментах, как числа Фибоначчи. Важно иметь в виду, что в данном контексте нас интересуют не сами скользящие средние, а методы их использования в сочетании со свечами.  [c.221]

Рис. 5.3.1, Числа Фибоначчи в волнах Эллиотта

R Ларри Уильямса (Williams %R) Комбинации технических индикаторов Индикатор Ишимоку 5. Числа Фибоначчи и теория волн Эллиотта  [c.4]

Теория, носящая имя Фибоначчи — выдающегося итальянского математика XII-XIII в.в., позволяет использовать числовые коэффициенты (числа Фибоначчи), играющие важную роль в прогнозировании движения рынка. Фибоначчи разработал цифровой ряд (ряд Фибоначчи), состоящий из последовательности чисел 1,2,3,5,8,ВД34 55,89,14 233,377,610,987,1597,2584,4181 итд,  [c.64]

Теория, носящая название итальянского математика XII-XIII в. Фибоначчи, позволяет использовать коэффициенты (числа Фибоначчи), играющие важную роль в прогнозировании движения рынка. Фибоначчи разработал цифровой ряд (ряд Фибоначчи), состоящий из последовательности чисел  [c.102]

Эти числа связаны между собой рядом любопытных соотношений. Например, каждое число приблизительно в 1,618 раз больше предыдущего, а каждое предыдущее составляет приблизительно 0,618 от следующего. В брошюре Эдварда Добсона Знакомство с числами Фибоначчи (Understanding Fibona i Numbers) эти соотношения  [c.247]

Следующее хорошо известное фрактальное измерение лежит между линией и плоскостью, первым и вторым измерением. Названное Уплотнение Сирпиниски в честь другого математика, Вацлава Сирпиниски19, эта размерность имеет численное значение 1.58 (от другого числа Фибоначчи, равного 1.618, это число отличается на тридцать две тысячных). Вы начинаете с равностороннего треугольника и используете половину длины стороны, чтобы образовать первоначальный треугольник. Площадь, которая лежит слева, вмещает три наполовину построенных треугольника. Повторяйте этот процесс до бесконечности, и вы получите форму, которая имеет бесконечное число линий, но не является плоскостью.  [c.28]

Фракталы появляются на экране компьютера моделированием, получаемым с помощью итераций. Аккреция -это несистематическая итерация. Одно прибавляется к другому, результат прибавляется к третьему и так далее. Простейшей моделью итерации является последовательность суммирования, известная как числа Фибоначчи. Последовательность начинается с 0 и первые два числа, которые складываются — это 0 и 1. Добавьте 1 к начальнойвеличине — О и получите в результате 1. Добавьте вторую 1 и получите 2. С этого момента, чтобы получить последующее число последовательности, надо стожить два предшествующих числа. Итак, сложите 1 и 2. тогда получите 3. Сложение 2 и 3 дает в результате 5. Добавление 3 к 5 — в результате получим 8. Складывая теперь 5 и 8. получаем 13. Вычисление чисел последовательности по представленным правилам продолжается до бесконечности. Любопытная особенность, присущая этому итеративно-w процессу, заключается в том, что отношение предыдущего числа к последующему стремится к 0.618, вне зависимости от того, какое место в ряду занимают эти числа  [c.41]

Летом 1973 года один из моих руководителей произнес убедительную речь, в которой предсказал быстрый корректирующий подъем на фондовом рынке и его завершение к началу осени. На вопрос, какой именно уровень подъема он прогнозирует, руководитель ответил, что ожидает примерно 3/8 или 5/8 от предыдущего спада. Более точного ответа он дать не смог. На вопрос, откуда появились эти числа, мой коллега бойко ответил, что большинство корректирующих подъемов на медвежьем рынке «выдыхается», как правило, на этих уровнях. Еще он вспомнил, что подобные соотношения встретились ему в одном из биржевых бюллетеней и что, если я хочу подробнее узнать о происхождении этих коэффициентов и их скрытом смысле, мне лучше всего обратиться к автору. Так я и поступил. Автор сослался на некоего рыночного аналитика по имени Р. Н. Эллиот и его статью в журнале «Файнэншл Уорлд», напечатанную много лет тому назад. Я немедленно разыскал ее в архивах библиотеки. Статья, посвященная числам Фибоначчи, оказалась не просто захватывающей, но и информативной. К сожалению, в ней не было ответов на многие важные вопросы, и я начал скрупулезно исследовать динамику цен, чтобы выявить точные, объективные методы расчета уровней коррекции. Я стремился сделать эту процедуру полностью механической, чтобы в дальнейшем использовать ее для анализа любого рынка. Результаты моих изысканий изложены ниже.  [c.46]

В начале семидесятых годов сразу после знакомства с теорией волн Эллиота я начал искать специалистов в этой области, которые могли бы мне помочь в совершенстве овладеть приемами волнового анализа. К сожалению, я знал только о двух аналитиках, использующих на практике теорию волн Джо Коллинзе из Сент-Луиса и Джеке Фросте из Канады. Они назвали мне ряд инвесторов, экспериментировавших с теорией волн Эллиота и числами Фибоначчи. В частности, мне порекомендовали двух врачей из Флориды, которые, по слухам, хорошо владели предметом. Информация, которую я смог от них получить (вернее, полное отсутствие таковой), и сыграла решающую роль в создании моего собственного подхода к волновому анализу.  [c.75]

Элементы числовой последовательности Фибоначчи прочно вплетены в структуру волнового принципа Эллиота, начиная от числа волн и заканчивая величиной коррекции и ценовыми ориентирами. К сожалению, до того, как появился мой полностью механический метод волнового анализа, не было создано ни одной сколько-нибудь объективной методики. В общих чертах, в основе моего подхода — D-волнового анализа — лежат ценовые конфигурации, характеризующиеся определенной последовательностью ценовых максимумов и минимумов. Временной период для каждой такой последовательности определяется числом Фибоначчи. Могут использоваться различные числа из последовательности, но все они должны отвечать одному и тому же требованию. В каждом случае должно накопиться достаточное количество данных для выявления некоего рабочего шаблона. В частности, я выделяю максимальную цену закрытия за 13 дней, такую, что она выше ценовых максимумов всех предшествующих 13 дней. Далее я выделяю первую цену закрытия (после максимальной цены закрытия за 13 дней), которая является минимальной за 8 дней, то есть ниже всех цен закрытия за предыдущие 8 дней. Если эти точки определены, первую волну можно считать завершенной. Вторая волна начинается тогда, когда регистрируется максимальная цена закрытия за 21 день, такая, что она выше всех цен закрытия за предшествующий 21 день. Вторая волна считается завершенной, когда зафиксирована наименьшая цена закрытия за 13 дней, такая, что она ниже всех цен закрытия за предшествующие 13 дней. И, наконец, третья волна начинается, когда реали-  [c.75]

Для идентификации волн можно использовать и другие числа Фибоначчи. Последовательность не обязательно должна начинаться с числа 13. Например, числа 21, 34, 55 и так далее позволяют выбрать более долгосрочную перспективу, но уж если выбрано первое чисзк), то все последующие должны подчиняться закономерностям числового ряда, а число дней, в которое регистрируется ценовой минимум, должно составлять 0,618 от числа дней, необходимых для регистрации ценового максимума (см. рис 4.3).  [c.77]

Эта книга — о всестороннем и модульном подходе к торговле, который я нахожу разумным и высокоэффективным. Она — о ПРАКТИЧЕСКОМ применении чисел Фибоначчи на инвестиционных рынках. Чтобы успешно реализовывать стратегии, основанные на числах Фибоначчи, нужно иметь солидную базу и структурированный контекст. Книга содержит 15 глав, насыщенных информацией, всеобъемлющий набор Приложений и список рекомендуемой литературы, а также ориентирующую статью в виде Предисловия. Технические приемы с использованием чисел Фибоначчи не раскрываются до ГЛАВЫ 8, пока не будет должным образом проделана работа по укладке фундамента знаний. Если вы решите скакать вперед галопом, надеюсь, вами предварительно сформулирован всесторонний контекст использования мощной техники ведущих индикаторов (leading indi ator te hniques), называемых здесь Уровнями ДиНа-поли.  [c.1]

Вы используете 7-дневный осциллятор, 7×5 и 25×5 Смещенные Скользящие Средние, однако 7 и 25 не являются числами Фибоначчи. Почему же вы предпочитаете их  [c.137]

Более подробно числа Фибоначчи мы будем рассматривать в главе, посвященной теории волн Эллиота. Однако уже сейчас я хотел бы упомянуть, что этот ряд, универсальность которого явно носит какой-то мистический характер -13,21, 34, 55 и так далее — прекрасно подходит для построения средних скользящих — и не только на дневных графиках, но и на недельных. Число «21», на основе которого строят одно из довольно распространенных средних скользящих (о котором мы уже упоминали, когда рассказывали о дневных графиках), также входит в последовательность Фибоначчи. Тринадцатинедельное среднее скользящее, которое используют, анализируя недельные графики, одинаково хорошо подходит для работы на рынках ценных бумаг и товарных активов. Мы еще вернемся к этой теме и более подробно рассмотрим проблемы использования последовательности Фибоначчи в главе 13 (см. рис. 9.9 а-г).  [c.232]

Рис.9.9в Пример комбинации тринадцати- и тридцатичетырехдневного средних скользящих (числа Фибоначчи). Обратите внимание, насколько уверенно они сдерживали восходящую тенденцию, наметившуюся еще в конце июля. Совсем недавно цены пошли вниз и пересекли обе кривые средних скользящих, указывая на возможный перелом тенденции. Третья кривая, которая находится значительно ниже линии цен, — стосорокачетырехдневное (тридцатинедельное) среднее скользящее.

В следующей главе, посвященной временным циклам, мы подробно расскажем о значении временного аспекта в рыночном прогнозировании, а пока будет достаточно сказать, что числа Фибоначчи проявляются повсюду, даже в анализе циклов. В качестве иллюстрации можно привести один из наиболее известных долгосрочных экономических циклов -пятидесятичетырехлетний цикл Кондратьева. Примечательно, что этот цикл очень близок к одному из чисел Фибоначчи — 55. Влияние цикла Кондратьева уверенно проявляется на большинстве товарных рынков.  [c.352]

Лучшими работами, посвященными теории волн Эллиота и числам Фибоначчи, являются «Избранные работы Р. Эллиота» под редакцией Р. Прехтера и «Принцип волн  [c.354]

Рис. 13. 40 Пример недельного графика. В ходе тринадцатимесячной коррекции вниз (число Фибоначчи ) цены прошли почти 38% расстояния предыдущего роста и затем снова стали подниматься. Обратите внимание на классическую коррекцию А-В-С, в которой волна С подразделяется на пять меньших волн.

При построении периодов Фибоначчи используется правило числового ряда Фибоначчи, где расстояние между указанньми вертикальными линиями является суммой предыдущих двух расстояний (аналогично числам Фибоначчи, где 5+8=13,8+13=21 и т.д.).  [c.134]

Он основан на пропорциях золотого сечения. А само золотое сечение очень тесно связано в математике с числами Фибоначчи. Поэтому-то никто и не удивляется, что подход получил название метода проекций и откатов Фибоначчи. www.fx iub.org  [c.n$, кото­рое можно полу­чить из соот­ноше­ния Кас­сини и рекур­рент­ного соот­ноше­ния. Для $n=6$ полу­ча­ется равен­ство $8\cdot 2-5\cdot 3=1$, на кото­ром осно­ван «тре­уголь­ник Гард­нера».

Таким обра­зом, софизмы постро­ены на том, что размеры фигур и частей, из кото­рых они состав­ляются, суть нескольких под­ряд идущих чис­лах Фибо­наччи. Опи­ра­ясь на эти соот­ноше­ния можно постро­ить ана­логич­ные софизмы и для фигур больших разме­ров. В вари­анте Лойда надо не забы­вать про чёт­ность, а в вари­анте Гард­нера — если желать, чтобы площадь соби­ра­лась в квад­рат­ную клетку, при­дётся уве­ли­чи­вать коли­че­ство частей, из кото­рых состав­лен основ­ной прямо­уголь­ник.

Татьяна Мельничук | Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — код природы

Леонардо Фибоначчи (1170-1250 г.г.)

Фибоначчи (Леонардо из Пизы) — итальянский математик. Он стал первым великим математиком средневековой Европы. Рожденный в Пизе в богатой купеческой семье Фибоначчи пришел в математику благодаря практической потребности установления деловых контактов. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая своего отца в деловых поездках. До нас дошли сведения о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными. От арабских математиков Леонардо узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой на тот момент в арабском мире. В одном из своих трудов «Книга вычислений» Фибоначчи описал индо-арабскую систему счисления и преимущества ее использования по сравнению с римской.

Невозможно представить современную математику без использования десятичной системы счисления и арабских цифр, начало использования которых в Европе было положено именно Фибоначчи. Являясь пизанским банкиром, торговавшим в Тунисе и занимавшимся там ссудами и откупом налогов и таможенных сборов, Леонардо Фибоначчи применил к банкирскому счетоводству арабские цифры, ознакомив, таким образом, с ними Европу.

Числовая последовательность, которая названа в его честь, была открыта в ходе решения задачи о кроликах, излагаемой Фибоначчи в своей книге «Liber abacci» (1202 год, рукопись книги сохранилась до наших дней):

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Несложно убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев будет равно:

Иными словами, число пар кроликов представляет собой последовательность, каждый член которой равен сумме двух предыдущих. Эта последовательность известна как ряд Фибоначчи, а числа, образующие её, называют числами Фибоначчи. Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Например, можно разделить линию на два сегмента так, что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом. Этот коэффицент пропорциональности, приблизительно равный , известен как золотое сечение. В эпоху Возрождения заметили, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, является наиболее гармоничной с эстетической точки зрения. Число также называют числом Фи.

Последовательность Фибоначчи повсеместно встречается в природе. Например, закономерности этой последовательности сопровождают рост раковины моллюска, шишки хвойного дерева, листьев и ветвей растений, цветка подсолнуха, тела ящерицы, появление морских волн, строение головного мозга и других органов человека, строение галактик, пирамид в Гизе и Мексике.

Наглядное представление о числах Фибоначчи я предлагаю почерпнуть из короткого иллюстративного видеоролика:

Вернуться назад…

Числовые паттерны Фибоначчи — рисунок

→ Версия для печати

Вот, для справки, последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Мы уже знаем, что вы получите следующий член в последовательности, добавив перед ним два члена. Но давайте рассмотрим эту последовательность немного дальше.

Сначала поговорим о делителях. Позвольте мне спросить вас: какое из этих чисел делится на 2?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Каждое третье число, верно? А 2 — третье число Фибоначчи.Ладно, может это совпадение. Как насчет тех, которые делятся на 3?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Каждое четвертое число, а 3 — четвертое число Фибоначчи. Ладно, это могло быть совпадением. А как насчет 5?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Каждый пятый номер. А 8?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…

Каждое шестое число.Теперь это похоже на совпадение? Фактически, можно доказать, что этот паттерн продолжается вечно: n-е число Фибоначчи делится поровну на каждое n-е число после него! Круто, а?

Хорошо, теперь возведем в квадрат числа Фибоначчи и посмотрим, что произойдет.

Последовательность Фибоначчи заключается в добавлении последовательных членов, поэтому давайте добавим последовательные квадраты и посмотрим, что мы получим:

Получаем числа Фибоначчи! Фактически, мы получаем каждое второе число в последовательности!

Итак, добавляем по два квадрата за раз.Что происходит, когда мы добавляем более длинные строки? Три, четыре или двадцать пять?

На первый взгляд полученные числа не выглядят такими уж особенными. Но посмотрите, что происходит, когда мы их множим:

И мы получаем больше чисел Фибоначчи — фактически последовательные числа Фибоначчи. Ладно, это слишком много совпадений. Давайте спросим, ​​почему возникает такая закономерность. У нас есть квадраты чисел, поэтому давайте нарисуем квадраты.

Это квадрат со стороной 1.2 = 1. Рисуем рядом еще одну:

Теперь верхний край фигуры имеет длину 1 + 1 = 2, поэтому мы можем построить на нем квадрат со стороной 2:

Теперь длина самого правого края равна 1 + 2 = 3, поэтому мы можем добавить на его конец квадрат со стороной 3.

Теперь длина нижнего края 2 + 3 = 5:

И это делает крайний левый край 3 + 5 = 8:

И мы можем это сделать, потому что работаем с числами Фибоначчи; квадраты очень удобно сочетаются друг с другом.Мы могли бы добавлять квадраты по спирали наружу столько, сколько захотим. Но мы остановимся на этом и спросим себя, какова площадь этой формы. Что ж, мы построили его, добавив кучу квадратов, и мы не перекрывали ни один из них и не оставляли между ними промежутков, поэтому общая площадь — это сумма всех маленьких областей: то есть. Но получившаяся форма также является прямоугольником, поэтому мы можем найти ее площадь, умножив ее ширину на длину; ширина, а длина…

… и площадь становится произведением чисел Фибоначчи.Это прекрасная визуальная причина той закономерности, которую мы видели ранее в числах! Если мы обобщим то, что мы только что сделали, мы можем использовать обозначение, которое является числом Фибоначчи, и мы получим:

Еще одна вещь: у нас есть группа квадратов на диаграмме, которую мы сделали, и мы знаем, что четверть окружностей очень хорошо вписываются в квадраты, поэтому давайте нарисуем группу четвертей окружностей:

И готово! У нас есть так называемая спираль Фибоначчи. Это очень красиво. Но это еще не все, что можно сказать об истории: подробнее читайте на странице, посвященной природе Фибоначчи.

Более того, мы даже не рассмотрели все числовые паттерны в последовательности Фибоначчи. В частности, есть такая, которая заслуживает целой страницы…

чисел Фибоначчи

числа Фибоначчи «Наччи» в «Фибоначчи» рифмуется с «пятнистостью». Он был также известен как Леонардо Пизанский.

В своей книге Liber abaci , написанной в 1202 году, Фибоначчи поставил эту проблему:

Сколько пар кроликов будет произведено в год, начиная с одного пара, если каждый месяц каждая пара приносит новую пару, которая становится продуктивной со второго месяца?

Есть два вида пар: продуктивные. и молодые.Сначала у нас есть одна продуктивная пара. В следующем месяце у нас будет один продуктивный пара и одна молодая пара. В следующем месяце у нас две продуктивные пары и одна молодая пара. Мы можем составить таблицу того, что происходит.

Продуктивные пары	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377
Молодые пары	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

Количество молодых пар равно количеству продуктивных пар в предыдущего месяца (видите две восьмерки, две тринадцать, две дванадцать и так далее?).Количество продуктивных пар равно общему количеству пары в предыдущем месяце, потому что молодые пары становятся продуктивными, а продуктивные пары остаются продуктивными (13 в верхнем ряду равны сумме 8 и 5 в предыдущем столбце).

Каков ответ на проблему Фибоначчи?

Числа в любой из двух строк таблицы называются числами Фибоначчи . Первое число Фибоначчи — 1, четвертое — 3, седьмое — 13.Число 0 иногда называют нулевым числом Фибоначчи .

Чтобы сгенерировать числа Фибоначчи, начните с чисел 0 и 1,

0 1
затем напишите их сумму рядом с ними 0 1 1
затем запишите сумму двух последних чисел, 1 и 1, рядом с этим 0 1 1 2
и так далее: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Каждое число представляет собой сумму двух предыдущих чисел: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5.Продолжая таким образом, вы можете расширить эту последовательность Числа Фибоначчи бесконечно. Каковы следующие два числа Фибоначчи после 377?

Число 1 появляется дважды в последовательности, но никакое другое число не появляется. Обратите внимание, что Числа Фибоначчи 2, 3, 5, 13, 89 и 233 — простые числа, число 144 = 12 · 12 — квадрат, а числа 21 = (7 · 6) / 2 и 55 = (11 · 10) / 2 — треугольные числа.

Дроби Фибоначчи

Никакие два последовательных числа Фибоначчи не имеют общего множителя.Итак, дроби 0/1 1/1 1/2 2/3 3/5 5/8 8/13 13/21 21/34 34/55
все в самых низких условиях. Если вам нравится играть с дробями, что мало кто делает, вы можете перейти от каждой дроби к следующей, используя формулу Например, если вы рассчитываете
вы получите 8/13 (числитель и знаменатель умножьте на 8).

Можете ли вы определить, что такое фракция Фибоначчи?

Как насчет этого?

Золотая середина

Существует закономерность дробей Фибоначчи, которая становится очевидной, если мы их записываем. как десятичные дроби.Здесь они указаны с точностью до четырех знаков после запятой. 3/3 0,6000

1/1	=	1,0000
1/2	=	0,5000
2/3	=	0,6667
5/8	=	0,6250
8/13	=	0,6154
13/21	=	0.6190
21/34	=	0,6176
34/55	=	0,6182
55/89	=
			0,6180	0,6181
144/233	=	0,6180
233/377	=	0,6180

По мере того, как мы идем все дальше и дальше по последовательности дробей Фибоначчи, их десятичные дроби цифры располагаются.Если бы мы отслеживали двадцать десятичных цифр и много выходили дальше в последовательности мы обнаружим, что номер устанавливается на 0,61803398874989484820.

Что это за число 0,61803 …? Это одно из самых удивительных чисел во Вселенной. Мы видим это в мистическая пентаграмма, которую мы строим, беря пять равноотстоящих точек по кругу и присоединяясь к ним всеми возможными способами:

У красных линий одна длина, у зеленых линии другой.Длина красной линии, деленная на длину зеленой линии. составляет 0,61803 ….

См. Фибоначчи Рона Нотта домашняя страница

Расчеты Фибоначчи в Java с высокой точностью

Числа Фибоначчи: секретная формула цветов

В этом математическом коде содержится ключ к природе?

Если вы посмотрите на подсолнечник достаточно долго, вы увидите, что его центр состоит не только из тысяч случайно сгруппированных семян.Как если бы вы смотрели на одну из тех трехмерных картинок (вы видите на ней вазу с цветами?), Вы в конечном итоге увидите узор, состоящий из нескольких спиралей по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Но это далеко не просто красивая модель, она следует научной формуле, основанной на особой последовательности чисел, известной как числа Фибоначчи.

Что такое числа Фибоначчи?

Названный в честь итальянского математика 13 века Леонардо Пизанского, известного как Фибоначчи, каждое число в последовательности создается путем сложения двух предыдущих.Он начинается 1 1 2 3 5 8 13 21 и продолжается вечно. В 19 веке выяснилось, что последовательность обычно наблюдалась среди структур природного мира, от спиралей шишки до семян подсолнечника.

Последовательность Фибоначчи также тесно связана с золотым сечением — числом, которое снова и снова возникает в человеческой культуре на протяжении тысяч лет.

Почему природа любит науку

Все дело в эффективности. В случае подсолнечника числа Фибоначчи учитывают максимальное количество семян на семенной головке, поэтому цветок использует свое пространство для оптимального эффекта.По мере роста отдельных семян центр семенной головки может добавлять новые семена, выталкивая их по периферии наружу, чтобы рост мог продолжаться бесконечно.

Роза любым другим узором…

Числа Фибоначчи также проявляются в спирали цветения розы. На эту фирменную спираль не просто приятно смотреть — как и голова подсолнуха, ее форма выполняет важную функцию. Эта композиция, известная как «золотая спираль», позволяет максимально компактно удерживать лепестки (просто подумайте о размере бутона розы по сравнению с его полностью раскрытым цветком).

Фактически, эффект Фибоначчи может применяться ко многим видам цветов в зависимости от количества их лепестков. Вот лишь несколько:

• 3 лепестка: лилия, ирис
• 5 лепестков: лютик, шиповник, живокость, коломбина
• 8 лепестков: дельфиниумы
• 13 лепестков: амброзия, календула кукурузная, цинерария
• 21 лепесток: астра, черноглазая сьюзан, цикорий
• 34 Лепестка: подорожник, питетрум
• 55, 89 Лепестки: маргаритки michelmas, семейство сложноцветных

Итак, в следующий раз, когда вы будете восхищаться букетом цветов, присмотритесь к нему поближе, и вы сможете увидеть чудо науки, а также красоту природы.

чисел Фибоначчи (последовательность)

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 год , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , …

Числа Фибоначчи (Первый 14 перечислены выше) являются последовательность чисел, рекурсивно определяемых формулой

F 0 знак равно 1
F 1 знак равно 1
F п знак равно F п — 2 + F п — 1 куда п ≥ 2 .

Каждый член последовательности после первых двух — сумма двух предыдущих членов.

1 + 1 знак равно 2 , 1 + 2 знак равно 3 , 2 + 3 знак равно 5 , 3 + 5 знак равно 8 , 5 + 8 знак равно 13 и так далее

Эта последовательность чисел была впервые создана Леонардо Фибоначчи в 1202 .Это обманчиво простая серия с почти безграничными приложениями. Математики были очарованы им почти 800 годы. Бесчисленные математики добавили кусочки к информации о последовательности и о том, как она работает. Это происходит в природе в виде спиралей из листьев и семян. Он играет значительную роль в искусстве и архитектуре.

Когда вы находите соотношение последовательных чисел в последовательности Фибоначчи и делите каждое на предыдущее, вы обнаруживаете, что значение становится все ближе и ближе к 1.61538 … , что является близким приближением Золотое сечение , точное значение которого 1 + 5 2 . Золотое сечение — это отношение длины к ширине Золотой прямоугольник . Обе эти увлекательные темы требуют дальнейшего изучения с вашей стороны.

Последовательность Фибоначчи | Серии | Спираль | Номер | Код

Святость проистекает из того, насколько безобидны, но все же влиятельны эти числа.Новое число в шаблоне можно создать, просто сложив два предыдущих числа.

Математика — это изучение закономерностей. Хотя все шаблоны, как правило, соответствуют строгим правилам логики, лишь некоторые из них способствуют творчеству. Для меня абсурдно, как одно-дюймовое уравнение может мгновенно завладеть вашей рукой и привести к рисованию самых изысканных фигур. Замечательно, как эти сложные фигуры сводятся к трем символам и двум параллельным линиям. Я использую термин «обладать», потому что в данный момент мы слепо выполняем то, что говорят уравнения, и, доверяя пророчеству, мы начинаем отмечать точки, которые вначале кажутся несвязанными.

Однако мы продолжаем уступать. Инструменты звенят, и неприятная линейка отказывается поднимать, пока отпечаток на бумаге не станет по существу набором бесконечных точек; черные точки, оставленные карандашом, и белые точки, заклеванные компасом. Бесконечные точки открываются быстро и послушно выравниваются, как того требует логика. В то время как минималист наслаждается кругом, абстракционист наслаждается многогранником.

Затем есть числовые шаблоны, последовательность чисел, которые периодически повторяются.Человеческие существа — существа, ищущие закономерности. Фактически, мы настолько искусны в соединении точек, что эти шаблоны не являются исключительными для точек, но также распространяются на контексты. Появление узора или фигуры с тисками или достоинствами коррелирует с их появлением. Они были движущей силой культов во множестве обществ.

Символ Иллюминатов и Ух ты! signal (Фото: Quintendp099 и NAAPO / Wikimedia Commons)

Есть элемент благочестия, который люди давно ассоциируют с определенными фигурами и группами, такими как Иллюминаты .С другой стороны, ученые и математики предпочитают связывать с такими паттернами некую интеллектуальную загадку. Рассмотрим Wow! Сигнал, — комбинация из алфавитов , неожиданно полученная радиотелескопом «Большое ухо» в Огайо среди чисел, что указывает на внеземную активность.

Тем не менее, существует также набор чисел, который вызывает не просто тайну, но святость , поскольку он появляется в местах, о которых нельзя было ожидать. Рассмотрим этот узор — 13-3-2-21-1-1-8-5 — , нарисованный убитым хранителем музея Жаком Соньером в качестве подсказки для Тома Хэнкса в «Код да Винчи ».

Что такое числа Фибоначчи?

Подсказка была небольшой беспорядочной частью чисел из последовательности Фибоначчи. Святость проистекает из того, насколько безобидны, но влиятельны эти числа. Новое число в шаблоне можно создать, просто сложив два предыдущих числа. Начиная с 0 и 1 (изначально Фибоначчи перечислял их, начиная с 1 и 1, но современные математики предпочитают 0 и 1), мы получаем:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144… 610,987,1597…

Мы можем найти любую n-ю цифру в последовательности, используя следующее выражение: xn = xn-1 + xn-2

Фибоначчи был известен как самый талантливый западный математик Среднего века. Возраст.Первоначально рожденный как Леонардо Пизано, имя Фибоначчи было придумано французским историком. Имя, которое сейчас довольно популярно в каждом доме, является сокращением от «Филлиус Боначчи», что переводится как «сын Боначчо», где Боначчо относится к своему отцу.

Леонардо Пизано, широко известный как Фибоначчи. (Фотография предоставлена ​​д-ром Мануэлем из немецкой Википедии / Wikimedia Commons)

Фибоначчи был чрезвычайно очарован индуистско-арабской математикой. Европейцы в то время продолжали использовать обширный набор римских чисел, в то время как индуисты и арабы наслаждались достоинствами индуистско-арабской системы счисления — числами с основанием 10 в диапазоне от 0 до 9 — на протяжении нескольких поколений.Он решил донести эти идеи до Европы, опубликовав их в своей очень уважаемой работе Liber Abaci.

Книга стала легендой. Однако его популярность в конечном итоге сократилась до двух вкладов: во-первых, системы счисления, без которой развитие современной математики было бы невозможным; во-вторых, гипотетическая, нереальная проблема разведения кроликов. Числа Фибоначчи впервые были предложены как решение этой проблемы.

Тайна чисел Фибоначчи

Однако кажется, что в абстрактной математике есть несоответствие.Выполнение абстрактной математики похоже на подсчет треугольников в Лувре. Конечно, это весело, но какая польза от этого? Однако расследовать это в нашей природе. Нельзя игнорировать предрасположенность к формированию паттернов, будь то математическая или поведенческая. Несмотря на тщетность, наше увлечение узорами достаточно убедительно, чтобы искать их.

Рассмотрим периодов Пизано , полученных из последовательности Фибоначчи. Период Пизано, названный в честь самого Фибоначчи, представляет собой набор чисел, которые циклически повторяются.Числа — это остатки, полученные от деления чисел Фибоначчи и положительного действительного числа.

Можно разделить последовательность на на любое число , чтобы получить такой циклический шаблон. Например, когда числа делятся на 7, появляется период из 16 чисел. Точно так же длина периода равна 20, когда делитель равен 5. Даже деление на 1/3 приводит к длинной ленте повторяющихся идентичных фрагментов. Однако математики не открыли общей формулы, которая предсказывала бы длину одного периода, когда последовательность делится на определенное число.

Еще одно бушующее недоумение — бесконечные прямоугольные треугольники, скрытые в последовательности. Начиная с 5, каждое второе число в последовательности представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, длинная сторона которого равна сумме всех сторон предыдущего треугольника, а более короткая сторона — разность между пропущенным числом и более короткой стороной предыдущего. треугольник. Наглядное объяснение поможет лучше понять эти треугольники.

Что это за колдовство?

Полезность абстрактной математики была основным аргументом в дебатах, ставящих под вопрос, была ли математика изобретена или открыта.Существуют теории, которые иллюстрируют высочайший уровень математического гения и строгости, но полностью изолированы от реального мира. Например, Ньютон изобрел исчисление , в частности, , чтобы определить уравнение траектории, по которой Земля двигалась вокруг Солнца. Конечно, вычисления оказались прибыльными и во множестве других областей, но можем ли мы сказать то же самое о Гипотезе Римана ?

Однако есть редкие случаи, когда применима весьма эзотерическая абстрактная математика.Например, Риман разработал свои абсурдные концепции криволинейной геометрии в 1850-х годах, которые казались неприменимыми до тех пор, пока Эйнштейн не использовал их, чтобы заново открыть для себя законы гравитации в своей Общей теории относительности . Непредсказуемость этих математических браков до сих пор беспокоит нас.

То же самое и с мистической природой чисел Фибоначчи. Несмотря на то, что они были обнаружены в средние века, они были обнаружены и открыты заново, к всеобщему недоумению, в местах, которых мы никак не ожидали.Наше увлечение числами Фибоначчи простирается до такой степени, что их особенностям посвящен целый журнал, который называется «Квартальный отчет Фибоначчи ».

Рассмотрим треугольник Паскаля. Когда игрок посоветовался с Паскалем относительно вероятности исхода игральной кости и характера ставок, он, , изобрел теорию вероятности для решения этих проблем. Треугольник Паскаля — это аккуратный треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Треугольник действует как таблица, к которой обращаются при расширении биномиального уравнения.

Треугольник Паскаля. (Фото: RDBury / Wikimedia Commons)

Однако, если бы вы нарисовали диагонали, движущиеся вниз по треугольнику, и суммировали числа, расположенные на каждой отдельной диагонали, тогда серия чисел, приравненная к каждой диагонали, представляет, как вы могли догадаться, числа Фибоначчи. Теория вероятности была основана через 400 лет после публикации Liber Abaci .

Или рассмотрим множество Мандельброта, математическую функцию, которую можно ограничить красивой диаграммой, нарисованной на комплексной плоскости.Схема выглядит как лист в форме сердца с крошечными бутонами по краям. Эти бутоны покрыты невероятно тонкими шипами. Диаграмма представляет собой фрактал , структуру, каждая часть которой состоит из самого . Это означает, что если вы продолжите увеличивать масштаб, вы обнаружите, что структура повторяется в бесконечном цикле.

Диаграммы множеств Мандельброта. (Фотография предоставлена ​​Вольфгангом Бейером с программой Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

При увеличении изображения бутонов по краям мы видим, что бутон увеличивается до размера исходного листа, и на его краях появляются три новых бутона.Если бы кто-то продолжал увеличивать масштаб, он стал бы свидетелем того, как эта процессия продолжается и продолжается вечно. Однако по мере того, как мы заглядываем все глубже и глубже, мы замечаем, что количество шипов на каждой новой почке увеличивается. Увеличение числа имитирует определенный образец; это последовательность Фибоначчи! Кто мог это предсказать?

Эта последовательность также используется в экономике и при отслеживании родословной самцов пчел. Он широко используется в информатике, где он используется для генерации практически случайных чисел с помощью алгоритмов, называемых генераторами псевдослучайных чисел.Я использую «ощутимо», потому что сгенерированные числа не являются на самом деле случайными; они всегда зависят от предыдущего ввода.

Он также используется в алгоритмах сортировки, в которых площадь делится на пропорции, которые являются двумя последовательными числами Фибоначчи, а не двумя равными частями. Это превращает поиск места в простейшие математические операции — сложение и вычитание. В то время как двоичная сортировка (деление на две равные части) требует использования умножения, деления и сдвига битов.Последовательность также используется для получения различных других важных математических тождеств. Однако его наиболее важное применение находится в наших садах.

Что такое спираль Фибоначчи?

Греки всегда размышляли, существует ли фактическое описание красоты, врожденного свойства или сущности , как они ее называли, которая не оставляла бы места для субъективности. Например, треугольник можно определить как любое трехстороннее тело, в котором сумма всех трех углов, образованных между этими сторонами, должна составлять не более или менее 180 градусов.Рост другой стороны между двумя вершинами, даже небольшой, приводит к тому, что тело перестает быть треугольником. Может ли быть подобный исключительный критерий для оценки красоты ромашки?

Парфенон. (Фото: Flickr)

Греки в конце концов открыли эту сущность. По их мнению, самый красивый способ разделить линию на две части — разделить их в таком соотношении, чтобы более длинная часть, разделенная на более короткую, была равна целому, разделенному на более длинную часть.Они назвали это золотым сечением , , и его значение составляет 1,618…

Следовательно, они основывали свое искусство и архитектуру на этом соотношении. Примером может служить архитектура Парфенон, , стороны которого находятся в золотом сечении. Даже художники эпохи Возрождения были в сговоре друг с другом по поводу использования этого соотношения. Множество их произведений искусства полагаются на соотношение, чтобы усилить их эстетическую привлекательность.

Какое отношение имеет это заветное отношение к числам Фибоначчи? Кеплер однажды заметил, что «как 5 равно 8, так и 8 к 13 практически, а как 8 равно 13, так и 13 к 21 почти».Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи примерно равно * начинающимся медленным хлопкам * золотому сечению! Это связывает числа Фибоначчи с одной из самых узнаваемых спиралей в Интернете.

Квадраты чисел Фибоначчи можно записать так:

1,1,4,9,25,64,169,441…

Ничего загадочного? Сложим их вместе:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Посмотрите поближе, и вы ‘ Я заметил, что 6 — это произведение 2 и 3, 15 — произведение 3 и 5, а 40 — произведение 5 и 8.Становится очевидной супружеская связь между числами Фибоначчи и золотым сечением — два числа, составляющие эти продукты, являются последовательными числами Фибоначчи! Теперь давайте наглядно проведем вышеприведенное суммирование. Каждое возведенное в квадрат число может быть представлено квадратом, сторона которого равна тому же количеству единиц, которое возводится в квадрат.

Итак, квадрат единицы представлен квадратом со стороной, равной единице. Затем этот квадрат добавляется к следующему квадрату в последовательности — другому квадрату со стороной 1.Затем прямоугольник 1 × 2 добавляется к квадрату единиц стороны два, который затем добавляется к квадрату единиц стороны три, и так далее. Мы понимаем, что продукты на самом деле были областями этих появляющихся прямоугольников.

Поскольку произведением были последовательные числа Фибоначчи, можно понять, что соотношение двух сторон любого прямоугольника является золотым сечением! Когда количество сумм приближается к бесконечности, отношение сторон действующего растущего прямоугольника приближается к точному значению отношения.Кривая, исходящая из центра и проходящая через углы каждого квадрата, постепенно превращается в спираль — золотую спираль , постоянно отклоняющуюся под углом, называемым золотым углом .

Золотая спираль в раковине наутилуса (Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) и сосновой шишке. (Фото: Крис 73 / Wikimedia Commons и Pixabay)

Золотую спираль можно найти во множестве мест в природе, от формы нашей галактики до раковины наутилуса.Он определяет расположение шишек и плодов ананаса. Мне больше всего нравится его появление в расположении семян, загроможденных в центре подсолнечника. Однако использование термина «беспорядок» было бы беззастенчивым упущением из виду, с какой тщательностью природа потратила на организацию этих семян.

Семечки подсолнечника расходятся под золотым углом. (Фото: Реми Джуан / Wikimedia Commons)

Статьи по теме

Статьи по теме

Семена не выровнены, как спицы колеса; они постепенно отклоняются наружу.Угол отклонения — золотой угол. Кажется, что природа добровольно выбрала это соотношение, потому что разделение круга на иррациональное число не привело к тому, что ни одно семя не имело соседа под тем же углом от центра. Это привело к высокоэффективной упаковке, почти не оставившей места для отрицательного пространства. Количество спиралей, спросите вы? 55 в одну сторону, 89 в другую. Конечно, оба числа Фибоначчи!

Posamentier, Alfred S., Lehmann, Ingmar: 9781591024750: Amazon.com: Книги

«Это прекрасное вступление…Вы можете в конечном итоге удивиться и скептически ».

— Леон М. Ледерман, лауреат Нобелевской премии

« Математика в этой книге — восторг: удивительная, проницательная и всеобъемлющая … — невероятно спекулятивно ».

— New Scientist

«… работа, которая, хотя и нацелена на широкую аудиторию и не предполагает знания математики за пределами уровня предвычисления средней школы, но успевает развлечь всю аудиторию … Педагоги, а также математически любопытные, рекомендуется взять этот объем.Обсуждение чисел Фибоначчи в природе, искусстве, архитектуре и музыке очень тщательное… настоятельно рекомендуется ».

— Выбор

«Авторы вдохнули жизнь в то, что можно было бы считать довольно сухим предметом, продемонстрировав, как в обычных предметах используются числа Фибоначчи… здесь много математических операций, но они выполняются постепенно. , это не так сложно понять, и это понимание ведет к еще большему пониманию всего, от цветника до классической музыки.В целом, это интересное, хотя и сложное чтение для непрофессионала и золотая жила для математиков ».

-Monsters and Critics

«… авторы представили убедительную и хорошо разработанную книгу, которая вполне могла бы сделать преобразование некоторых жестких математических фобий… элегантная книга, которая усиливает их аргументы в пользу математики. «королева наук».

— Обновление образования

«… восхитительно… доступно для всех, кто увлекается математикой в ​​старшей школе.Учителя математики от средней школы до колледжа найдут эту книгу интересной для чтения и полезной в классе. Авторы рассматривают больше свойств, взаимосвязей и приложений чисел Фибоначчи, чем большинство других источников… Мне понравилось читать эту книгу… ценное дополнение к математической литературе ».

— Учитель математики

Альфред С. Позаментьер — декан педагогического факультета и профессор математического образования в колледже Милосердия в Доббс-Ферри, Нью-Йорк.Ранее он в течение сорока лет занимал те же должности в Городском колледже Городского университета Нью-Йорка. Он опубликовал более пятидесяти пяти книг в области математики и математического образования, в том числе Пи: биография самого загадочного числа в мире (совместно с Ингмаром Леманном).

Ингмар Леманн окончил математический факультет Университета Гумбольдта в Берлине. В течение многих лет он возглавлял Берлинское студенческое математическое общество для одаренных учеников средних школ, с которым он тесно сотрудничает и сегодня.Он является соавтором с Альфредом С. Позаментьером книг «Тайны треугольников », «Великолепное золотое сечение » и трех других книг.

день Фибоначчи! — Математика перед сном

Одна из самых забавных вещей в числах — это узоры, которые они образуют. Вы можете сказать: «Хорошо, мой образец — 1, 4, 7, 10…», и тогда ваш друг может угадать следующее число 13, потому что вы продолжаете добавлять 3. Или вы можете сказать «1, 3, 9, 27…» что дальше? Один из самых интересных паттернов — это ряд Фибоначчи: вы начинаете с 0,1, и каждое число всегда представляет собой два последних числа, сложенных вместе, поэтому 0 + 1 дает нам 1, а затем 1 + 1 равно 2.Затем вы складываете 1 + 2, чтобы получить 3. Тогда 2 + 3 дает 5. Затем вы получаете 8, 13, 21, 34… и так далее. Вот почему сегодня День Фибоначчи, потому что дата — 23 ноября (1-1-2-3). Мы празднуем числа Фибоначчи, потому что многие объекты в природе приобретают формы, движимые ими. Раковины улиток закручиваются вокруг этих чисел, как вы видите на этой картинке, и семена в середине подсолнуха, и даже волосы на вашей голове! Как мы увидим, сегодня не единственный хороший день для празднования этих крутых цифр.

Маленькие: Можете ли вы вспомнить набор чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8? Посмотрим, сможешь ли ты сказать это в ответ!

Маленькие дети: Что больше: прыжок с 3 на 5 или прыжок с 5 на 8? Бонус: Какое следующее число в этом шаблоне: 1, 3, 5, 7, 9…?

Старшие дети: Какое будет следующее число Фибоначчи после 34? Бонус: Для любого числа Фибоначчи, начиная с 3, что больше, в 2 раза больше этого числа или следующего числа Фибоначчи?

Нет предела: Если мы посмотрим только на однозначные числа Фибоначчи, сколько дат в этом году имели некоторый набор последовательных чисел Фибоначчи в правильном порядке? (Просто посмотрите на месяц и день, и именно в таком порядке.)

Ответов:
Маленьких: Попробуйте повторить 1, 1, 2, 3, 5, 8!

Маленькие дети: Прыжок с 5 на 8. Прыжки становятся все больше. Бонус: 11, потому что вы добавляете 2.

Большие дети: 55. Бонус: Удвоение числа Фибоначчи всегда даст вам большее число, чем следующее число Фибоначчи.Поскольку каждое число добавляется к предыдущему, чтобы образовалось следующее, и поскольку число перед ним всегда меньше, ваше новое число не может полностью удвоить самое последнее число. 5 нужно добавить к 3, чтобы получилось 8, так что получается меньше 2 × 5 (10). 8 нужно добавить к 5, чтобы получилось 13, что меньше 16. Поскольку числа становятся действительно большими, каждое число примерно в 1,6 раза больше предыдущего.

Нет предела: 10 дат: 1/1, 1/2, 1/12, 1/23, 2/3, 3/5, 5/8, 11/2, 11/23 и 12 / 3.Кстати, в 2058 году у нас будет потрясающая дата 23.11.58!

Лаура Билодо Овердек — основатель и президент Фонда математики перед сном. Ее цель — сделать математику такой же увлекательной для детей, как она была в детстве. Ее мама заставила Лору выпекать, прежде чем она могла ходить, а отец заставил ее использовать электроинструменты в очень небезопасном возрасте, измеряя при этом длину, ширину и углы.