Воскресенье , 4 Декабрь 2022

Числами фибоначчи: Ошибка 404: страница не найдена

Содержание

Линии чисел Фибоначчи и их использование – Финансовая энциклопедия

Что такое Линии чисел Фибоначчи и их использование?

Числа Фибоначчи используются для создания технических индикаторов с использованием математической последовательности, разработанной итальянским математиком, обычно называемым «Фибоначчи», в 13 веке.Последовательность чисел, начинающаяся с нуля и единицы, создается путем сложения двух предыдущих чисел.Например, ранняя часть последовательности – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и так далее.1

Затем эту последовательность можно разбить на коэффициенты, которые, по мнению некоторых, дают представление о том, куда пойдет данный финансовый рынок.

Последовательность Фибоначчи важна из-за так называемого  золотого  сечения 1,618 или его обратной величины 0,618. В последовательности Фибоначчи любое данное число примерно в 1,618 раз больше предыдущего, без учета первых нескольких чисел. Каждое число также составляет 0,618 от числа справа от него, опять же без учета первых нескольких чисел в последовательности.

Золотое сечение широко распространено в природе, где оно описывает все, от количества жилок на листе до магнитного резонанса спинов в кристаллах ниобата кобальта.

Ключевые моменты

  • Числа и линии Фибоначчи создаются соотношениями, найденными в последовательности Фибоначчи.
  • Общие числа Фибоначчи на финансовых рынках: 0,236, 0,382, 0,618, 1,618, 2,618, 4,236. Эти соотношения или проценты можно найти, разделив определенные числа в последовательности на другие числа.
  • Хотя это официально не числа Фибоначчи, трейдеры могут также использовать 0,5, 1,0 и 2,0.
  • Цифры отражают, как далеко цена может зайти после очередного ценового движения. Например, если акция движется с 1 доллара до 2 долларов, к этому могут быть применены числа Фибоначчи. Падение до 1,76 доллара представляет собой откат на 23,6% от движения цены в 1 доллар (округлено).
  • Два распространенных инструмента Фибоначчи – это коррекция и расширение. Уровни коррекции Фибоначчи измеряют, насколько далеко может зайти откат .
    Расширения Фибоначчи измеряют, насколько далеко может зайти импульсная волна .

Формулы для чисел и уровней Фибоначчи

У чисел Фибоначчи нет конкретной формулы, это скорее числовая последовательность, в которой числа имеют определенные отношения друг с другом.

Как рассчитать уровни восстановления Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи может использоваться по-разному для получения уровней восстановления Фибоначчи или уровней расширения Фибоначчи . Вот как их найти. Как их использовать, обсуждается в следующем разделе.

Для коррекции Фибоначчи на графике необходимо выбрать две ценовые точки, обычно максимум и минимум колебания . После того, как эти две точки выбраны, числа / линии Фибоначчи рисуются в процентах от этого движения.

Если акция вырастет с 15 до 20 долларов, то уровень 23,6% составит 18,82 доллара, или 20 долларов – (5 долларов x 0,236) = 18,82 доллара. Уровень 50% составляет 17,50 долларов, или 15 долларов – (5 долларов х 0,5) = 17,50 долларов.

Уровни расширения Фибоначчи также выводятся из числовой последовательности. По мере развития последовательности разделите одно число на предыдущее, чтобы получить коэффициент 1,618. Разделите число на два разряда слева, и получится 2,618. Разделите число на три слева, и получится 4,236.

Расширение Фибоначчи требует трех ценовых точек. Начало движения, конец движения, а затем точка где-то посередине (откат).

Если цена вырастет с 30 до 40 долларов, и эти два ценовых уровня являются точками один и два, то уровень 161,8% будет на 16,18 долларов (1,618 x 10 долларов) выше цены, выбранной для точки три. Если третий пункт равен 35 долларам, уровень расширения 161,8% составляет 51,18 доллара (35 долларов + 16,18 доллара).

Уровни 100% и 200% не являются официальными числами Фибоначчи, но они полезны, поскольку проецируют движение, аналогичное (или кратному) тому, что только что произошло на ценовом графике.

Что вам говорят числа и линии Фибоначчи?

Некоторые трейдеры считают, что числа Фибоначчи играют важную роль в финансах . Как обсуждалось выше, последовательность чисел Фибоначчи может использоваться для создания соотношений или процентов, которые используют трейдеры.

К ним относятся: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8%, 78,6%, 100%, 161,8%, 261,8%, 423,6%.

Эти проценты применяются с использованием множества различных методов:

  1. Коррекции Фибоначчи. Это горизонтальные линии на графике, обозначающие области поддержки и сопротивления .
  2. Расширения Фибоначчи. Это горизонтальные линии на графике, указывающие, где может достигнуть сильная ценовая волна.
  3. Дуги Фибоначчи .
    Это похожие на компас движения, возникающие из максимума или минимума, которые представляют области поддержки и сопротивления.
  4. Веера Фибоначчи . Это диагональные линии, построенные с использованием максимума и минимума, которые представляют области поддержки и сопротивления.
  5. Часовые пояса Фибоначчи .  Это вертикальные линии в будущее, предназначенные для предсказания основных движений цен.

Уровни коррекции Фибоначчи являются наиболее распространенной формой технического анализа, основанного на последовательности Фибоначчи. Во время тренда можно использовать откаты Фибоначчи, чтобы определить, насколько глубоким может быть откат. Импульсные волны – это более крупные волны в направлении тренда, а откаты – это более мелкие волны между ними. Поскольку это меньшие волны, они будут составлять процент от большей волны. В это время трейдеры будут следить за соотношением Фибоначчи от 23,6% до 78,6%. Если цена останавливается около одного из уровней Фибоначчи, а затем начинает двигаться обратно в трендовом направлении, трейдер может открыть сделку в трендовом направлении.

Уровни Фибоначчи используются как ориентиры, возможные области, в которых может развиваться торговля. Цена должна подтвердить, прежде чем действовать на уровне Фибоначчи. Заранее трейдеры не знают, какой уровень будет значительным, поэтому им нужно подождать и посмотреть, какой уровень соответствует цене, прежде чем открывать сделку.

Дуги, вееры, расширения и часовые пояса – это схожие концепции, но они по-разному применяются к диаграммам. Каждый из них показывает потенциальные области поддержки или сопротивления на основе чисел Фибоначчи, примененных к предыдущим ценовым движениям. Эти уровни поддержки или сопротивления можно использовать для прогнозирования того, где цена

может перестать падать или расти в будущем.

Разница между числами Фибоначчи и числами Ганна

веер Ганна и квадрат Ганна. В веере Ганна, например, используются углы в 45 градусов, что Ганн считал особенно важными. Работа Ганна в основном вращалась вокруг циклов и углов. С другой стороны, числа Фибоначчи в основном связаны с отношениями, полученными из последовательности чисел Фибоначчи. Ганн был трейдером, поэтому его методы были созданы для финансовых рынков. Методы Фибоначчи не были созданы для торговли, но были адаптированы к рынкам трейдерами и аналитиками.

Ограничения использования чисел и уровней Фибоначчи

Использование исследований Фибоначчи является субъективным, поскольку трейдер должен использовать максимумы и минимумы по своему выбору. Выбранные максимумы и минимумы повлияют на результаты, которые получит трейдер.

Еще один аргумент против методов торговли числами Фибоначчи состоит в том, что этих уровней так много, что рынок обязательно отскочит или изменит направление около одного из них, что делает индикатор значимым в ретроспективе. Проблема в том, что трудно понять, какое число или уровень будут важны в реальном времени или в будущем.

Числа Фибоначчи — Справочник химика 21

    Рассмотрим теперь алгоритм поиска, использующий числа Фибоначчи. Порядок его выполнения при поиске минимума складывается из следующих этапов  [c.509]

    Двадцатое число Фибоначчи уже больше 10 000 (см. табл. [c.435]

    Начав с листа О , видим, что лист 8 окажется в затененной ориентации по отношению к нему. Чтобы добраться до листа 8 , начиная с нулевого, нужно трижды обогнуть стебель. Отношеие двух чисел, а именно 3/8, показывает, что любой новый лист встречается через каждые 3/8 части стебля. Отношение 3/8 характерно для филлотаксиса (расположение листьев на стебле растения), так же как и значения 1/2, 1/3, 2/5 и даже 5/13. Почти ничего неизвестно об истоках филлотаксиса. Давно было замечено, что числа встречающиеся в этих характеристических соотношениях, таковы I, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. .., а это не что иное, как числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член является суммой двух предыдущих. Числа Фибоначчи можно также найти, рассматривая снизу спиралевидное построение сосновых шишек. На рис. 8-16 можно видеть сосновую шишку в двух аспектах. Вид снизу показывает существование 13 левых и 8 правых спиралей из чешуек. Такие спирали с точными числами Фибоначчи обнаружены и в других растениях. Семечки подсолнечника можно рассматривать как спрессованное множество, расположенное вокруг стебля. На рис. 8-17 дано несколько примеров. Вероятно, больше всего поражает то, что продолжение характеристических соотношений в расположении листьев окончательно приводит к чрезвычайно важному иррациональному числу 0,381966.

.., выражающему золотое сечение  [c.373]


    За кажущейся простотой операции деления в крайнем и среднем отношении скрыто множество удивительных математических свойств и множество форм выражения золотого сечения [66]. Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. [c.60]

    Как известно, два первых числа Фибоначчи определены как 1. а последующие есть сумма двух предыдущих. Результат задан как вектор-строка чисел Фибоначчи. [c.74]

    Другим примером служит вычисление чисел Фибоначчи, которые играют важную роль при решении проблем оптимизации. Числа Фибоначчи рассчитывают по следующим формулам  [c.142]

    Для полученного значення N находится такое число Фибоначчи чтобы выполнялось неравенство  [c.509]

    Числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например, О и 1, 1 и 3 или ] и 4 и т.

п.  [c.61]

    Числа Фибоначчи являются членами геометрической прогрессии вида [c.61]

    ТАБЛИЦА 14 Числа Фибоначчи [c.505]

    Указанный процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности  [c.507]

    Более совершенную процедуру поиска экстремума унимодальной функции одного переменного дает метод Кифера — Джонсона [7]. Ими было показано, что, выполнив п опытов (или вычислений), можно локализовать оптимум в Рп части первоначального интервала, где Рп — я-е число Фибоначчи. Первые два числа Фибоначчи равны Ро = Р = , а последующие определяются рекуррентным соотношением [c.435]

    В последнее время в теории распознавания введено понятие кластер и кластерный анализ . Под термином кластер понимается множество точек в пространстве признаков, не пересекающееся с другим множеством, поэтому в нашем случае этот термин является синонимом класс . Однако между кластерным анализом и классификацией имеется некоторая разница. Классификацию можно вести по разным параметрам, например классифицировать катализаторы по активности, селективности или механической прочности. Кластерный же анализ определяет границы между естественными группами реализаций, не пересекающимися, как указывалось, во всем пространстве рассматриваемых признаков. При такой терминологии определение естественной границы классов по алгоритмам без учителя есть кластерный анализ. Методам кластерного анализа посвящен ряд работ [12—14]. Простейшим, возможно не самым экономичным, алгоритмом кластерного анализа при дихотомии является построенный на процедуре поиска экстремума унимодальной функции Кифера — Джонсона [15], использующий числа Фибоначчи  [c.110]

    ОТОЯ в ток ке направлении, что и предыдущий, но е последовательным уменьшением числе Фибоначчи нахахдои шаге по рис. 5.15 пер- вый шаг окезалоя удачным и выполнен переход в. точку [c.64]

    Природа дает множество примеров расположения однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи [67], в областях биологии, астрономии, пропорций человеческого тела, искусства, архитектуры и др, Наличие закона золотой пропорции находится в наиболее фундаментальных областях естествознания. Известно, что ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Чем больше в ядре атома протонов, тем больше в нем и нейтронов. Но с возрастанием номера элемента количество нейтронов превосходит количество протонов. Их число возрастает в таблиие элементов и у урана в ядре содержится 92 протона и 146 нейтронов, число [c.61]


    Многое написано о симметрии, например, в музыке Белы Бартока [1]. Однако пока неизвестно и, возможно, мы не узнаем об этом никогда, сознательно ли он применял требования симметрии, или же он чисто интуитивно приходил к числам Фибоначчи и золотому сечению, которые так часто встречаются в его музыке. Другой вопрос, остающийся без ответа, состоит в том, как эта симметричность способствует привлекательности музыки Бартока и насколько большая часть этой привлекательности обязана нашему врожденному стремлению к симметрии. Сам Барток всегда отказывался обсуждать техническую сторону процесса сочинения музыки и лишь любил повторять В нашем творчестве мы следуем за природой .[c.11]

Фибоначчи числа — Энциклопедия по машиностроению XXL

Природа дает множество примеров расположения однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи. В структ ре многих растений можно обнаружить два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом — против. Числа спиралей того и другого типов обычно являются числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55 [59]. Но проявление чисел Фибоначчи и золотой пропорции не останавливается на живой природе, они применимы практически во всех областях знания, начиная с архитектуры и кончая планетными расстояниями.[c.76]
При применении метода чисел Фибоначчи должно быть зафиксировано число точек N, в которых производится вычисление критерия оптимальности.  [c.289]

Золотое сечение и числа Фибоначчи.  [c.144]

Члены прогрессии an-a -q», где п 1, 2, 3, 4, 5, 6… являются числами Фибоначчи an=an,2+an-i, если q будет корнем квадратного уравнения q =l+q. Это  [c.146]

Природа дает нам многочисленные примеры структур, описываемых золотой пропорцией и числами Фибоначчи, рассмотренных далее.  [c.147]

В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом — против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие справа снизу налево вверх. Вместе с тем они же составляют три спирали, идущие слева снизу направо вверх. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе обычно их бывает 8 и 13.  [c.147]

Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам Фибоначчи. Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило четного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно чаще, чем с числом строк 13. Эго же справедливо и для интервала 20 — 22 строки [5].  [c.162]

Содержание в различных почвах фосфора, калия и азота, а также продуктивность растительности образуют зеркально-симметричный ряд, который также подчиняется золотой пропорции. Даже по отражательной способности света почвы делятся на ряд, характеризуемый числами Фибоначчи [5].  [c.163]

Известно, что геологическая эволюция Земли носила циклический характер. В истории развития планеты выделено несколько геологических эр и периодов, отвечающих 70, 225, 600, 950, 1700, 2600, 3500 и 4500 миллионов лет [5]. Эти переломные моменты характеризуют переход в качественно новое состояние. Указанные числа близки числам Фибоначчи 1, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, развернутым из настоящего в прошлое [5]. Они отражают основную фундаментальную закономерность эволюции нашей планеты, гармонию ее самоорганизации.  [c.164]

Далее В.Д. Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382, а диастолическое 0,618 от среднего давления крови в аорте. Кроме того, работа сердца в отношении объемов желудочков оптимизирована по правилу золотого сечения. По мнению В.Д. Цветкова, организация сердечного цикла в соответствии с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной эволюции млекопитающих, в которой организм стремился обеспечить себя при минимальной затрате энерг ии.  [c.167]

Числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например, 0 и 1, 1 и 3 или 1 и 4 и Т. П.  [c.75]


Числа Фибоначчи являются членами геометриче-А Со В ской прогрессии вида Оп=  [c.75]

Числа Фибоначчи являются членами геометрической прогрессии вида а = где и=1. 2, 3,. .., если q будет корнем квадратного уравнения  [c.254]

Несколько эффективней метода дихотомии так называемый метод Фибоначчи, в основу которого положена особая числовая последовательность, применявшаяся математиком XII века Фибоначчи. Этот метод сравнительно недавно разработан американским математиком Кифером [26]. Как и метод дихотомии, метод Фибоначчи выражается правилом деления каждого очередного интервала неопределенности, но не на две, а на три части, и не приращением А/ (х), а результатом одного вычисления в отличие от метода дихотомии, но так же, как при способе направленного перебора, число вычислений в каждом конкретном случае применения метода Фибоначчи колеблется в зависимости от непредвиденных сочетаний обсчитываемых точек и точки минимума х на каждом шаге поиска. Поэтому в отношении метода Фибоначчи применим только минимаксный принцип оптимальности, что обязательно надо иметь в виду, рассматривая изложенное ниже обоснование метода.  [c.158]

Заметим, что поиск методом Фибоначчи, таким образом, можно начать, задавшись длиной остаточного интервала неопределенности или числом вычислений. Если это затруднительно, можно воспользоваться методом золотого сечения, который характеризуется примерно такой же эффективностью (см. [26]).  [c.161]

Величину с откладываем от точки В на линии АВ. Число с=0,618 а получается из следующего ряда дробей (ряд Фибоначчи)  [c.30]

К бесконечной десятичной дроби Ф можно прийти различными путями. Так, если брать число Ф с различной Точностью в виде отношения двух простых чисел, как это и принято на практике, то окажется, что все эти числа составят ряд, известный под названием ряда Фибоначчи (Ламэ) О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,  [c. 69]

Развиваются двоичные системы, веса разрядов к-рых находятся не в естественном (2), а в более сложном соотношении, образуя, напр., ряд Фибоначчи (или золотую пропорцию ) [1]. Число N в коде Фибоначчи представляется соотношением  [c.397]

Согласно методу чисел Фибоначчи, используют числа Фибоначчи последовательность которых образуется по правилу при Rg = R =l, т. е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. .. Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициент а равен отношению R.JR., начальное значение i определяется из условия, что / .должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину В -А) Е, где Е — заданная допустимая погрешность определения экстремума. Так, если (В-А)/Е = 100, то начальное значение i = 12, поскольку R= 144, и а = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет а = 34/89 = 0,3820 и т. д.  [c.160]

Самоподобие эволюционных процессов и числа Фибоначчи  [c. 152]

Следует отметить аналогию между золотым отношением, универсальным законом Фейгенбаума и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, например  [c.153]

Метод Фибоначчи — это оптимальный последовательный метод, т.е. метод, обеспечивающий максимальное гарантированное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Он основан на использовании чисел Фибоначчи F , задаваемых рекуррентной формулой Fjj = I + 9 для n > 2 и начальными значениями Fq = 1, F, = 1.  [c.139]

Особенностью этого ряда является то, что каждое последующее число Фибоначчи равно сумме двух предыдущих (N 2)  [c.207]

Метод золотого сечения свободен от недостатка, присущего методу Фибоначчи, связанного с необходимостью назначения числа испытаний N. Но по эффективности метод золотого сечения в 1,17 раза хуже метода Фибоначчи. Метод золотого сечения отличается от метода Фибоначчи также процедурой проведения первых двух испытаний  [c.208]

Другим уникальным свойством чисел Фибоначчи является то, что с ростом их номеров отнощения последующего к предыдущему, например, а(о / ад = 55/34 = 1,6176…., аи / = 89/55 = 1,6182. .. стремятся к золотому числу, то есть lim а,/ a +i = Ф = 1,618034…  [c.27]

Природа дает множестпо примеров распололсепия однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи. В структуре многих растений можно обнаружить два семейства спиралей. В одно.м из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, з в другом — против. Числа спиралей того и другого типов обычно являются числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские  [c.254]


За кажупдейся простотой деления отрезка на части по указанному алгоритму скрыто множество математических свойств и многообразия выражения пропорции золотого сечения ( золотой пропорции ). Прежде всего следует отметить аналогию между золотой пропорцией и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. За начало такого ряда можно принять любые два числа, например, О и 1, 1 и 3 и т.п.  [c.145]
Рисунок 3.3 — Рост дерева в соответствии с правилом Фибоначчи [2J Пусть некоторое дерево растет так, что каждая новая ветвь в первый год только тянется вверх или в сторону, а затем, начиная со второго года дает по одному боковому побегу (см. рисунок 3.3), Легко заметить, что у двухлетнего дерева имеегся (олько одна ветвь, у трехлетнего — две, у четырехлегнего число ветвей увеличивается до трех, у пятилетнего — до пяти, у шестилетно о — до восьми и т.д. в соответствии с последовательностью Фибоначчи, поскольку число ветвей равно сумме ветвей, которые были год назад, и вновь появившихся побегов.
Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и в их структуре — числе строк в стихах, числе стихов в произведении. Некоторые стихи построены по схеме 5 8, 5 3, 3 8, 5 8, 8 8. У А.С. Пушкина есть стихотворения с числом строк 13 и 21, то есть с нечетным числом строк, что явно не соответствует распространенным канонам стихосложения. Числа Фибоначчи определяют во мнотих случаях и внутреннюю композицию стихотворений число стихов и число строк в них.  [c.162]

Указанные соотношения обеспечивают резонанс планет Солнечной системы, ее устойчивость [5]. К. Бутусов установил также, что ряд параметров планет (масса, объем, орбитальный момент, ускорение силы тяжести) пропорциональны числам Фибоначчи или производным им числам Люка.  [c.165]

При применении метода Фибоначчи для отыскания точки А,, при которой 5оп(Х ) достигает минимума, прежде всего зададимся длиной остаточного интервала неопределенности S (т ) пусть 2 ост ( i ) = 0,04. Для того чтобы определить число вычислений, при So T ( г ) = 0,04 и при S (1) = 5,0, в соответствии с (8.10),  [c.165]

Л = а 1ф (и — 1)-1-а ,ф (л —2)+. . . +Яоф (0), (4) где ф(га) — числа Фибоначчи, связанные соотиощекием ф п) = ф л —1)+ф(п —2), ф(0) 1, ф(1) = 2. Разложение (4) числа N неоднозначно. Для любого N существует код, в к-ром не встречается двух следуй щи.х подряд нулей, а также код, в к-ром по соседствуют единицы. Эти, а также др. структурные особенности кодов Фибоначчи и золотых кодов делают их удобными для построения самокорректирующихся преобразователей, запоминающих и вычислит, устройств, сервоприводов с цифровым управлеписм и т. п.  [c.397]

Методы Фибоначчи и золотого сечения позволяют достичь наилучшей точности при ограниченном числе вычислений значений функций ц>(х) благодаря сокращению числа вы-, числений до одного на каждом шаге после вы-. бора начального отрезка foo, йо1г содержащего точку X, Методы имеют единую схему -  [c.131]

Известно множество примеров своеобразной упорядоченности структур как живой, так и неживой природы, заключающейся в особом расположении однородных элементов, описываемом числами Фибоначчи. Это явление было известно еще Кеплеру и обсуждалось многими гениальными естествоиспытателями. Великим поэтом Гете, который, будучи естествоиспытателем, также интересовался этой проблемой, данный вид структурного упорядочения был назван филлотаксисом. Явление филлотаксиса тесно связано с самоподобием процессов образования и эволюции равновесных и неравновесных структур.  [c.152]

Очевидно, что свойство самоподобного преобразования структур заложено в растениях генетическим кодом. Поэтому сами структуры обычно обладают свойством самоподобия, или, в более общем случае, свойством самоаффинности. Это позволило предположить, что некоторые инварианты, которые мы наблюдаем в макроскопическом масштабе, связаны с золотым отношением, сохраняющимся в микроскопических масштабах вплоть до атомного уровня. Примером этого могут служить химические соединения, в стехиометрии которых встречаются числа Фибоначчи. Названию «золотое сечение» (или «золотое число») мы обязаны Леонардо да Винчи. Его также называли «божественным». Эти эпитеты отражали обнаруженную универсальность феномена, подтвержденную в дальнейшем законами физического и биологического миров.  [c.154]

Золотая пропорция отражает наивысшее проявление самоподобия множеств [18]. Развитие синергетики придало новую жизнь золотому числу в научных исследованиях после его многовекового триумфального шествия в архитектуре и живописи. Значимость золотой пропорции в решении фундаментальных проблем современной науки была сформулирована в [18-21] По существу мы имеем дело с глобальным антиэнтропий-ным направленным процессом организации, несущим универсальный алгоритм (Быстров М.В. [19]), Золотая пропорция представляет симметрию во многих явлениях окружающего нас мира. Золотое сечение и числа Фибоначчи, представляя гармоничность оптимизации систем, выражают в то же время постоянство и изменчивость структур живой и йеживой природы. Особые свойства золотой пропорции позволяют ввести это, гово-  [c. 25]


Числа Фибоначчи — это… Что такое Числа Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: :

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко заметить, что .

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

  • В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
  • В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
  • Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
  • В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц будет равна . В это время только те кролики, которые жили в месяце , являются способными к размножению и производят потомков, тогда пар прибавится к текущей популяции . Таким образом общее количество пар будет равно:

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:

,

где  — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи[2].

И более общие формулы:

  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
, а также ,
где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. . Следствия:
  • Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни и .
  • Отношения являются подходящими дробями золотого сечения и, в частности,
  • Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
    .
  • В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[3] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
    , , , .
  • Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена
на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[4]
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:
    1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
    • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т.  д.
  • Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом.[5]
  • Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[6]
  • Число Фибоначчи равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних нулей. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а — начинающихся с единицы.

Вариации и обобщения

В других областях

Следует отметить, что существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространенный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[7][8].

В природе

В культуре

  • Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал анаграмму на основе последовательности Фибоначчи.
  • Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку[14] и главном вокзале Цюриха[15].
  • В фильме «Двадцать одно» (англ. 21) последовательность Фибоначчи представлена в виде надписи на торте.
  • «Ряд Фибоначчи» — дополнительное название песни 2012 года «Новый сигнал из космоса» российской рок-группы «Сплин».
  • В java-игре Doom RPG для мобильных телефонов в «Проходе» после прохождения 7 сектора есть секретная дверь, кодом которой являются числа Фибоначчи
  • Числам Фибоначчи посвящён один их шуточных лимериков Джеймса Линдона[16]:

     Плотная пища жён Фибоначчи
     Только на пользу им шла, не иначе.
     Весили жёны, согласно молве,
     Каждая — как предыдущие две.

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Применение чисел Фибоначчи в наше время – Collège Jules Ferry

Навигация по странице

Попробуем объединить теорию Золотого сечения и известного ряда итальянского математика. Подрисуем рядом такую же фигуру с длиной стороны, равной сумме двух предыдущих сторон. Аналогичным образом рисуем квадрат пятого размера. И так можно продолжать до бесконечности, пока не надоест.

Этот ряд имеет несколько математических нюансов, которые обязательно нужно рассмотреть. Он, приближаясь медленнее и медленнее (асимптотически), стремится к некоему пропорциональному соотношению. Другими словами, представляет собой число с непредсказуемой и бесконечной последовательностью десятичных чисел в дробной части.

Какие-то нас привлекают больше, какие-то меньше, а некоторые и вовсе не нравятся. Замечено, что симметричный и пропорциональный объект гораздо легче воспринимается человеком и вызывает чувство гармонии и красоты. Цельный образ всегда включает в себя части различного размера, которые находятся в определенном соотношении друг с другом.

ТАЙНЫ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

Такого типа пропорцию можно встретить абсолютно везде — и в природе, например в структуре ДНК, и в произведениях великих художников. группам крови отвечает отношениям чисел 8/ 21 /34. В состав крови человека входят красные кровяные тела (эритроциты), белые кровяные тела (лейкоциты) и тромбоциты. Эти три типа кровяных тел содержатся в пропорции 62/ 32 /6. Отношения числа эритроцитов к двум остальным телам крови отвечает золотой пропорции.

Последовательность чисел Фибоначчи

Отсюда вытекает ответ на вопрос о том, что называют Золотым сечением. Данное понятие означает совершенство соотношений целого и частей в природе, науке, искусстве и т. С математической точки зрения рассмотрим следующий пример. Возьмем отрезок любой длины и разделим его на две части таким образом, чтобы меньшая часть относилась к большей как сумма (длина всего отрезка) к большей. Его часть а будет равна 0,618, вторая часть b, выходит, равна 0,382.

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел. Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении листьев на стеблях растений, лепестков на цветке розы, в спиралевидном найти числа фибоначчи применение в ютюбе расположении семян в сосновой шишке, головке подсолнечника, ананасе и кактусе. И эта закономерность математически выражается числами Фибоначчи и золотой пропорцией! И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единому закону – «закону золотого сечения» – и раскрыть и объяснить этот фундаментальный закон природы во всех его проявлениях и есть главная задача науки.

Если заглянем подальше, то увидим последовательность Фибоначчи в бесконечных галактиках. Даже человек, вдохновляясь от природы и перенимая ее формы, создает предметы, в которых прослеживается вышеупомянутый ряд.

Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1.618. В геометрии золотой http://x1l.ru/volny-bollindzhera-v-torgovle-na-foreks/ спиралью называется логарифмическая спираль, скорость роста которой равна числу Фи – золотой пропорции или золотому коэффициенту Фибоначчи.

‌Спираль Фибоначчи также является аппроксимацией Золотой спирали и строится подобно последней, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов. Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т. д. Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи можно легко трактовать закономерность проявлений «Золотых» чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет.

Числа и коэффициенты последовательности Фибоначчи, золотое число Фи и золотое сечение очень широко используются в геометрии и имеют тесную связь с другими геометрическими фигурами, называемыми «золотыми». Для начала рассмотрим геометрические характеристики, так называемого, «золотого прямоугольника», который имеет следующее геометрическое определение.

Числовой ряд фибоначчи золотое сечение Последовательность фибоначчи и принципы золотого сечения. Пояснение о золотом сечении

Если включить фантазию, то полученный рисунок можно проассоциировать с раковиной моллюска. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи – найти числа фибоначчи применение в гугле это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире. Все окружающие нас предметы мы различаем по определенным критериям.

  • Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов.
  • ‌Спираль Фибоначчи также является аппроксимацией Золотой спирали и строится подобно последней, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины.
  • Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д.
  • Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет.

Как вы уже поняли, они также являются обратно пропорциональными. Полученные числа называются https://fxsteps.info коэффициентами Фибоначчи. А теперь объясним, для чего мы выполняли эти вычисления.

Волновая теория Эллиотта и Числа Фибоначчи

Таким образом, мы соблюдаем условие Золотого сечения. Получаем уже известные нам коэффициенты Фибоначчи. По такому же принципу строятся золотой треугольник, золотой прямоугольник и золотой кубоид. Стоит также отметить, что пропорциональное соотношение частей тела человека близко к Золотому сечению.

Например, соотношение любого элемента ряда варьируется около цифры 1,618, то превосходя, то достигая его. Если мы поделим элементы через один, то получим 2,618 и 0,382.

Подобные целочисленные последовательности

Для определения последовательности необходимо знать три его элемента, которые идут друг за другом. Для Золотой последовательности же достаточно и двух. Так как она является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Пересчитаем лепестки некоторых цветов – ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи – это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире.

Прямоугольник называется «золотым», если в нем отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции. Как выбрать брокера forex в 2020 Таким образом, число 0,618 (или 1,618) известно как золотой коэффициент, или золотая середина.

«Золотая спираль» Прямоугольник

Главное, чтобы величина стороны каждого последующего квадрата равнялась сумме величин сторон двух предыдущих. Получаем серию многоугольников, длина сторон которых является Основы биржевой торговли числами Фибоначчи. Проведем плавную линию через углы наших многоугольников и получим… спираль Архимеда! Увеличение шага данной фигуры, как известно, всегда равномерно.

Когда мы ведём числовую последовательность в порядке увеличения, то отношений каждого числа к последующему стремится к значению 0.618. При ведении последовательности в порядке убывания, отношение каждого числа к предыдущему стремится к усреднённому значению 1.618. Каждое отдельное число в последовательности имеет связь с другим числом, расположенным через одно.

Наряду с закономерностью Фибоначчи прослеживаются принципы данной теории. Закономерность природы такова, что она должна иметь свою точку отсчета, от чего отталкиваться для создания чего-то нового. Отношение первых элементов ряда Фибоначчи далеки от принципов Золотого сечения. Однако чем дальше мы его продолжаем, тем больше это несоответствие сглаживается.

Если присмотреться, то спираль Архимеда (где-то явно, а где-то завуалированно) и, следовательно, принцип Фибоначчи прослеживаются во многих привычных природных элементах, найти числа фибоначчи применение в википедии окружающих человека. Например, все та же раковина моллюска, соцветия обычной брокколи, цветок подсолнечника, шишка хвойного растения и тому подобное.

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью, с которой их часто путают. Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, у которого отношение между длиной и шириной равно золотой пропорции. Этот прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный прямоугольник и его, в свою очередь, разделить тем же образом. В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618.

Что такое Числа Фибоначчи — Узнай Что Такое

Числа Фибоначчи — это последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Следующее число можно посчитать, сложив два числа перед ним.

Т. е. 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; …

Более формальное определение ряда Фибоначчи можно показать следующим равенством:

Более длинный список последовательности чисел Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,…

Запомнить его довольно просто: нужно только помнить, что первые два числа — это 0 и 1, и начать складывать. И за этим занятием можно просидеть сутками.

«Золотое число» или «Золотое сечение»

Если разделить два последовательных числа друг на друга (например 55 разделить на 34), всегда получится приблизительно 1,618 (обозначается как Φ = 1,618, читается как «фи», это буква греческого алфавита).

1,618 называется «Золотое число» или «Золотое сечение«.

55 / 34 = 1,6176

89 / 55 = 1,61818

377 / 233 = 1,618

Использование золотого сечения для вычисления чисел Фибоначчи

Можно вычислить любое число Фибоначчи, используя золотое сечение следующими способами

Формулой

Например, можно попробовать посчитать для n = 10 (внимание, это будет одиннадцатое число в ряду!)

Получился такой ответ:

Умножением предыдущего числа на золотое сечение

Этот способ работает для чисел выше 1. Можно рассчитать число Фибоначчи, умножив предыдущее число на золотое сечение (1,618), а затем округлив полученный результат.

Например:

13 x 1,618 = 21,034 ≈ 21

55 x 1,618 = 88,99 ≈ 89

377 x 1,618 = 609,986 ≈ 610

Золотая спираль Фибоначчи

Это спираль, которая выглядит следующим образом:

Числа Фибоначчи — последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Как можно видеть на изображении, тут представлен числовой ряд Фибоначчи как спираль. Она начинается в центре с двух квадратов 1×1, за ними следуют квадраты 2×2, 3×3, 5×5 и так далее.

Числа Фибоначчи в природе

Фотография «Алоэ многолистное» (Aloe polyphylla), на фото можно увидеть спираль Фибоначчи в природе. «Спираль ракушки», фотограф Muffett68 Heidi; ещё один пример спирали Фибоначчи в природе.

В этом видео «ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ УДИВИТЕЛЬНАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ» ещё больше примеров чисел Фибоначчи в природе и в мире вокруг нас.

Числа Фибоначчи в архитектуре

В строениях древней архитектуры мы зачастую можем ощущать некую гармонию пропорций. И это неслучайно, ведь на протяжении многих веков архитекторы пользуются этим магическим числом золотого сечения. Число 1,618 можно заметить и в творчестве средневековья, и в современных произведениях архитектурного искусства.

Здание SOMISA в Буэнос-Айресе, Аргентина; архитектор Марио Роберто Альварес, окончание строительства 1977 г.

Пример использования золотого числа в древней архитектуре:

Пантеон в Париже

Любопытные факты

Давайте ещё раз посмотрим на последовательность чисел Фибоначчи:

n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597

Каждое n-е число кратно

Если внимательно посмотреть на цифры, можно рассмотреть удивительную закономерность:

  • посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 6-ой, 9-ый, 12-ый… Каждый третий элемент делится на 2!
  • посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 8-ой, 12-ый, 16-ый… Каждый четвёртый элемент делится на 3!
  • посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 10-ый, 15-ый… Каждый пятый элемент делится на 5!

Первые 6 цифр Фибоначчи — 1/89

Если посчитать на калькуляторе 1 : 89 будет ответ 0,011235955… Заметили, что первые 6 цифр после запятой — ряд Фибоначчи?

День Фибоначчи 23/11

День Фибоначчи — 23 ноября (11/23; в американском формате дат месяц идёт первым, а день вторым), так как в нём присутствуют цифры «1, 1, 2, 3», которые являются частью последовательности. 23 ноября можно всех поздравлять с Днём Фибоначчи!

Смотрите также значение Натуральных чисел, Числа Пи и Экспоненты.

Замечательные свойства чисел Фибоначчи — СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1°f1 + f2 + … + fn = fn+2 — 1.(1)

Доказательство.

f1 = f3 — f2
f2 = f4 — f3
fn-1 = fn+1 — fn
fn = fn+2 — fn+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f1 + f2 + … + fn = fn+2 — f2,и так как f2 = 1, получим (1).

2°f1 + f3 + f5 + … + f2n-1 = f2n.

3°f2 + f4 + … + f2n = f2n+1 — 1.

Свойства 2° — 3° доказываются аналогично 1°.

4°f12 + f22 + … + fn2 = fn·fn+1.(2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

fn·fn+1 — fn-1fn = fn(fn+1 — fn-1) = fn2     (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f12 = f1·f2,
f22 = f2·f3 — f1·f2,
f32 = f3·f4 — f2·f3,
fn2 = fn·fn+1 — fn-1·fn.
Складывая эти равенства почленно получаем (2).
5°. Показать, что   fn+m = fn-1·fm + fn·fm+1,(3)
где fn обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.

Доказательство. Зная общий вид члена fn (см. (2)) можно подставив его в показать, что имеет место (3) равенство. Докажем (3 ) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.

Для m = 1, равенство (3) примет вид

fn+1 = fn-1·f1 + fn·f2,что очевидно. При m = 2 формула (3) также очевидна. Действительно,fn+2 = fn-1f2 + fnf3 = fn-1 + 2fn = fn-1 + fn + fn = fn+1 + fn.

Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (3) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (3) верно и для m = k + 2.

Таким образом, пусть верны равенства

fn+k = fn-1fk + fnfk+1,
fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2.
Суммируя почленно последниие равенства, получим равенствоfn+k+2 = fn-1·fk+2 + fn·fk+3,которое представляет (3) при m = k + 2.

6°f2n = fn-1fn + fn·fn+1.

Доказательство следует из (3) при m = n.

7°. Член f2n делится на fn.

Доказательство. Из 6° следует

f2n = fn(fn-1 + fn+1),откуда следует, что f2n  fn.

8°

9°

Свойства 8° — 9°, являющиеся прямыми следствиями 6°, предлагается доказать самостоятельно.

10°fn2 = fn-1fn+1 + (-1)n+1(4)

Доказательство. Будем доказывать равенство (4) индукцией по n. При n = 2 равенство (4) преобразуется в справедливое равенство

f22 = f1·f3 — 1,

Предположим, что равенство (4) справедливо для n и докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть справедливо равенство

fn2 = fn-1·fn+1 + (-1)n+1.Прибавим к обеим частям последнего равенства fn·fn+1. В результате получимfn2 + fn·fn+1 = fn-1·fn+1 + fn·fn+1 + (-1)n+1,илиfn(fn + fn+1) = fn+1(fn-1 + fn) + (-1)n+1,и так как fn+2 = fn + fn+1 (см. определение последовательности Фибоначчи), заключаем чтоfnfn+2 = fn+12 + (-1)n+1,илиfn+12 = fn·fn+2 + (-1)n+2.Следовательно (4) справедливо и для n + 1.

11°. Показать, что если n делится на m, то fn делится на fm.

Доказательство. Пусть n  m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно fn делится на fm. Предположим, что fmk делится на fm. Рассмотрим fm(k+1). Из равенства fm(k+1) = fmk+m на основании соотношения (3) получим

fm(k+1)2 = fmk-1fm + fmk·fm+1.Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на fm. Второй член делится на fm согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на fm, и значит, fm(k+1)  fm. Свойство 11° доказано.

чисел Фибоначчи — определение, правила, типы, примеры

Числа Фибоначчи — это особые виды чисел, которые образуют особую последовательность. Эта последовательность — одна из самых известных математических формул. Вы можете найти числа Фибоначчи в структурах растений и животных. Эти числа также называют универсальным правилом природы и секретным кодом природы.

В этой статье давайте узнаем о числах Фибоначчи, их последовательности с правилами и решенных примерах.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи представляют собой последовательность целых чисел, расположенных как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ,… Вот несколько интересных фактов о числах Фибоначчи:

Как показано ниже, числа Фибоначчи можно представить в виде спирали, если мы построим квадраты с такой шириной. На данном рисунке мы видим, как квадраты аккуратно сочетаются друг с другом. Например, 5 и 8 в сумме дают 13, 8 и 13 в сумме дают 21, и так далее.

Формула Фибоначчи

Числа Фибоначчи следуют определенной схеме. Чтобы найти числа Фибоначчи в последовательности, мы можем применить формулу Фибоначчи.Связь между последовательным числом и двумя предыдущими числами может использоваться в формуле для вычисления любого конкретного числа Фибоначчи в ряду с учетом его положения.

Формула для поиска чисел Фибоначчи

Формула для вычисления (n + 1) -го числа в последовательности чисел Фибоначчи может быть задана как,

\ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)

где,
n> 1
F \ (_ {n-1} \) — n th Число Фибоначчи
F \ (_ {n-2} \) — (n — 1) th Число Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи даны как:

  • Первое число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_0 \) = 0, а второе число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_1 \) = 1
  • Числа Фибоначчи
  • подчиняются правилу, согласно которому \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \), где n> 1
  • Третье число Фибоначчи задается как \ (F_2 = F_ {1} + F_ {0} \).Как известно, \ (F_0 \) = 0 и \ (F_1 \) = 1, значение \ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
  • Последовательность чисел Фибоначчи выглядит как 0, 1, 1, 2 и так далее.

Правило для чисел Фибоначчи, если его объяснить простыми словами, гласит, что каждое число в последовательности является суммой двух чисел, предшествующих ему в последовательности.

Как мы можем вычислить числа Фибоначчи?

Давайте посчитаем числа Фибоначчи, используя правило из приведенного выше раздела.Последовательность задается как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Давайте посмотрим, как появляются первые десять членов в последовательности. Если свести расчет в таблицу, получим:

n Срок \ (F_ {n-1} \) \ (F_ {n-2} \) \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \) , (для n> 1)
0 Первая \ (F_0 \) = 0
1 Второй \ (F_ {0} \) = 0 \ (F_1 \) = 1
2 Третий \ (F_1 \) = 1 \ (F_0 \) = 0 \ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
3 Четвертый \ (F_2 \) = 1 \ (F_1 \) = 1

\ (F_3 \) = 1 + 1 = 2

4 Пятая \ (F_3 \) = 2 \ (F_2 \) = 1 \ (F_4 \) = 2 + 1 = 3
5 Шестой \ (F_4 \) = 3 \ (F_3 \) = 2 \ (F_5 \) = 3 + 2 = 5
6 Седьмой \ (F_5 \) = 5 \ (F_4 \) = 3 \ (F_6 \) = 5 + 3 = 8
7 восьмой \ (F_6 \) = 8 \ (F_5 \) = 5 \ (F_7 \) = 8 + 5 = 13
8 Девятая \ (F_7 \) = 13 \ (F_6 \) = 8 \ (F_8 \) = 13 + 8 = 21
9 Десятый \ (F_8 \) = 21 \ (F_7 \) = 13 \ (F_9 \) = 21 + 13 = 34

Из приведенной выше таблицы мы можем сделать вывод, что:

  • В последовательности, образованной числами Фибоначчи, первый член всегда равен 0, а второй член всегда равен 1.
  • Результат, полученный в столбце 4 , , представляет собой суммирование значений в столбце 2 и 3 -й столбец , которые представляют два предыдущих числа.

Согласно некоторым старым определениям, значение \ (F_ {0} \) = 0 опускается, поэтому список чисел Фибоначчи начинается с \ (F_ {1} \) = \ (F_ {2} \) = 1. \ (F_ {n} \) = \ (F_ {n-1} \) + \ (F_ {n-2} \) действительно для n> 2. Но согласно исходному определению числа Фибоначчи начинаются с \ (F_ {1} \) = 1 и \ (F_ {2} \) = 2.

Список чисел Фибоначчи

Используя формулу чисел Фибоначчи и метод поиска последовательных членов в последовательности, образованной числами Фибоначчи, описанных в предыдущем разделе, мы можем сформировать список чисел Фибоначчи, как показано ниже,

\ (F_0 \) = 0 \ (F_ {10} \) = 55
\ (F_1 \) = 1 \ (F_ {11} \) = 89
\ (F_2 \) = 1 \ (F_ {12} \) = 144
\ (F_3 \) = 2 \ (F_ {13} \) = 233
\ (F_4 \) = 3 \ (F_ {14} \) = 377
\ (F_5 \) = 5 \ (F_ {15} \) = 610
\ (F_6 \) = 8 \ (F_ {16} \) = 987
\ (F_7 \) = 13 \ (F_ {17} \) = 1597
\ (F_8 \) = 21 \ (F_ {18} \) = 2584
\ (F_9 \) = 34 \ (F_ {19} \) = 4181

Свойства чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи используются во многих компьютерных алгоритмах, таких как кубы Фибоначчи, структура данных кучи Фибоначчи и метод поиска Фибоначчи.Давайте посмотрим на различные свойства чисел Фибоначчи в зависимости от положения числа выше и ниже нуля.

Первые 10 чисел Фибоначчи в последовательности могут быть представлены как:

\ (F_0 \) \ (F_1 \) \ (F_2 \) \ (F_3 \) \ (F_4 \) \ (F_5 \) \ (F_6 \) \ (F_7 \) \ (F_8 \) \ (F_9 \)
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
  • Последовательность чисел Фибоначчи может быть расширена до отрицательного индекса n также путем изменения рекуррентного отношения \ (F_ {n-2} \) = \ (F_ {n} \) — \ (F_ {n-1} \)
  • Это дает последовательность чисел Негафибоначчи, которая имеет соотношение \ (F _ {- n} \) = (-1) n + 1 × \ (F_ {n} \)

Таким образом, для чисел Фибоначчи двунаправленная последовательность выглядит так:

\ (F _ {- 5} \) \ (F _ {- 4} \) \ (F _ {- 3} \) \ (F _ {- 2} \) \ (F _ {- 1} \) \ (F_ {0} \) \ (F_ {1} \) \ (F_ {2} \) \ (F_ {3} \) \ (F_ {4} \) \ (F_ {5} \)
5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5

Из приведенной выше таблицы видно, что числа Фибоначчи ниже нуля такие же, как числа Фибоначчи выше нуля, с той лишь разницей, что они следуют паттерну + — + -.Интересно отметить, что числа Фибоначчи используются при планировании покерных игр.

Отношение чисел Фибоначчи к золотому сечению

Если взять любые два последовательных числа Фибоначчи, их отношение будет очень близко к 1,618034. Возьмем случайный пример двух последовательных чисел:

  • Пусть A = 13, B = 21 и разделим B на A. Получаем 21 ÷ 13 = 1,625.
  • Это соотношение последовательных чисел Фибоначчи известно как золотое сечение.

Мы можем вычислить любое число Фибоначчи, используя это золотое сечение по следующей формуле: \ (F_ {n} \) = ((ɸ) n — (1 − ɸ) n ) ÷ √5. Здесь ɸ = 1,618034.

Вычислим \ (F_ {6} \) = ((1.618034) 6 — (1− 1.618034) 6 ) ÷ √5. Когда этот расчет выполняется с помощью калькулятора, мы получаем значение \ (F_ {6} \) как 8.00000033, которое при округлении до ближайшего целого числа становится 8.

Числа Фибоначчи в природе

Мы можем найти числа Фибоначчи повсюду в природе.Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

  • Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, следуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
  • Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
  • Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
  • Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Одним из практических применений концепции чисел Фибоначчи является то, что она применялась при построении Великой пирамиды в Гизе.

Статьи по теме:

Проверьте следующие страницы, связанные с числами Фибоначчи

Важные замечания о числах Фибоначчи:

Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении чисел Фибоначчи

  • Концепция чисел Фибоначчи применима только для целых и десятичных чисел с финансовой точки зрения.
  • Последовательность чисел Фибоначчи также применима к числам ниже нуля.
  • Первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда 1.

Часто задаваемые вопросы о числах Фибоначчи

Почему числа Фибоначчи так важны?

Числа Фибоначчи находят множество практических приложений в компьютерных технологиях, музыке, финансовых рынках и во многих других областях. Числа Фибоначчи существуют в природе в различных формах и образцах.

Является ли 0 числом Фибоначчи?

Да, 0 — это число Фибоначчи, и это первое число Фибоначчи. Обозначается F \ (_ 0 \).

Бесконечны ли числа Фибоначчи?

Да, список Фибоначчи состоит из бесконечных чисел Фибоначчи, где каждое число вычисляется простым сложением двух чисел, стоящих перед ним. Каждое число в последовательности чисел Фибоначчи представлено как F \ (_ n \).

Есть ли формула для поиска чисел Фибоначчи?

Да, есть формула для нахождения чисел Фибоначчи.Числа Фибоначчи следуют этой формуле, согласно которой F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где F \ (_ n \ ) является (n + 1) -м членом и n> 1. Первое число Фибоначчи выражается как F \ (_ 0 \) = 0, а второе число Фибоначчи выражается как F \ (_ 1 \) = 1.

Как рассчитать числа Фибоначчи?

Рядов Фибоначчи в зависимости от их положения в ряду можно рассчитать, используя общую формулу для чисел Фибоначчи, заданную следующим образом: F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {( n-2)} \), где F \ (_ n \) — это (n + 1) -й член и n> 1.

Какова формула для нахождения чисел Фибоначчи?

Формула для нахождения (n + 1) -го члена в последовательности, образованной числами Фибоначчи, может быть задана как F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где n> 1.

Каковы применения чисел Фибоначчи?

Числа Фибоначчи имеют различные приложения в области математического и финансового анализа. Мы используем числа Фибоначчи в вычислительном анализе времени выполнения алгоритма Евклида, чтобы найти HCF.Кроме того, многие закономерности в природе можно изучать с помощью чисел Фибоначчи.

Каковы первые 10 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Здесь мы видим, что первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда равно 1.

Что такое числа Фибоначчи в природе?

Мы можем найти числа Фибоначчи повсюду в природе. Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

  • Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, следуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
  • Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
  • Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
  • Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Каковы первые 20 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Является ли 33 числом Фибоначчи?

Нет, 33 не является числом Фибоначчи, поскольку его нет среди первых 10 чисел Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

Список чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой каждое число является суммой двух предыдущих чисел, начиная с 0 и 1. То есть F n = F n-1 + F n-2 , где F 0 = 0, F 1 = 1 и n≥2. Последовательность, образованная числами Фибоначчи, называется последовательностью Фибоначчи.

Ниже приводится полный список первых 10, 100 и 300 чисел Фибоначчи.

Первые 10 чисел Фибоначчи

1. 1

2. 1

3. 2

4. 3

5. 5

6. 8

7. 13

8. 21

9. 34

10. 55

Первые 100 чисел Фибоначчи

Первые 100 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи, указанные выше, и числа в этом разделе.

11. 89

12. 144

13. 233

14. 377

15. 610

16. 987

17. 1597

18. 2584

19. 4181

20. 6765

21. 10946

22. 17711

23. 28657

24. 46368

25. 75025

26. 121393

27. 196418

28. 317811

29. 514229

30. 832040

31. 1346269

32. 2178309

33. 3524578

34. 5702887

35. 65

36. 142

37. 24157817

38. 369

39. 63245986

40. 102334155

41. 165580141

42. 2676

43. 4334

44. 701408733

45. 11340

46. 1836311903

47. 2971215073

48. 4807526976

49. 7778742049

50. 12586269025

51. 20365011074

52. 32951280099

53. 533162

54. 86267571272

55. 139583862445

56. 225851433717

57. 365435296162

58. 5

729879

59. 956722026041

60. 1548008755920

61. 2504730781961

62. 4052739537881

63. 6557470319842

64. 10610209857723

65. 17167680177565

66. 277778
288

67. 440212853

68. 72723460248141

69. 1176660994

70. 14135

71. 308061521170129

72. 498454011879264

73. 806515533049393

74. 13049695447

75. 2111485077978050

76. 3416454622

7

77. 55270884757

78. 894437

79. 14472334024676221

80. 23416728348467685

81. 3788

73143906

82. 613057611591

83. 9

530497

84. 160500643816367088

85. 2596954962585

86. 420196140727489673

87. 6798638612258

88. 1100087778366101931

89. 17799704714189

90. 28800671816120

91. 4660046610375530309

92. 7540113804746346429

93. 12200160415121876738

94. 19740274219868223167

95. 3146349905

96. 51680708854858323072

97. 83621143489848422977

98. 135301852344706746049

99. 2185834555169026

100. 354224848179261

5

Первые 300 чисел Фибоначчи

Первые 300 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи вверху и числа внизу.

101. 573147844013817084101

102. 26078999176

103. 1500520536206896083277

104. 24278399975082453

105. 33764606871165730

106. 63563069846248183

107. 10284720757613717413913

108. 16641027750620563662096

109. 268508234281076009

110. 43566776258854844738105

111. 70476708

14114

112. 11405250552219

113. 1845518257096366333

114. 298611126818977066

2

115. 483162952612010163284885

116. 7817740787230203437

117. 126420429973322

118. 20467111114739846236

119. 3311648143516982017180081

120. 535835

640871840

121. 86700073985078051921

122. 1402836665349881

123. 22698374052006863956975682

124. 367267407055057799443

125. 514757512643212875125

126. 96151855463018422468774568

127. 155576970220531065681649693

128. 2517288256835450424261

129. 4073057950553832073954

130. 6521587630041982498215

131. 10663404174

595814572169

132. 17253750340637797070384

133. 27

456571051233611642553

134. 45170

6503

408712937

135. 7308805952221443105020355490

136. 118258964478718349764227

137. 1

0240000814417

138. 309605988479651130578784

139. 500953012480583

327

1

140. 81055

6023504197206408605

141. 131151201344081895336534324866

142. 212207101440105399533740733471

143. 3433583027841872275058337

144. 55556540422424040157

145. 898700847998

145

146. 14544832772683678306641953

147. 23534128182412526729525974

148. 380725356630

4051

149. 6161314747715278029583501626149

150. 996771886214405760200

151. 16130531424

1415797

6349

152. 260997481020802012313146549

153. 42230279526998466217810220532898

154. 6833002762

51019822533679447

155. 1105603071560237632754212345

156. 17887851831682574552878

157. 28413985495088042104137

158. 468340976726457153752543329995929

159. 7577

6677311331372100066

160. 122613259532174702095995

161. 198340612247806074196061

162. 321005680077252479807762

163. 51023518027157495786850488117

164. 8404037832974134882743767626780173

165. 135980188564040239554477268290

166. 2200205668963322104048463

167. 35600075545958458963222876581316753

168. 57602132235424755886206198685365216

169. 2077813832148494266681969

170. 150804340016807970735635273952047185

171. 24400654779815850643429154

172. 388781499

20699623170776339

173. 638817435613139723893

174. 10336283234281826463595560281832

175. 167244575

798401322275677325

176. 270607408246956586

510069157

177. 437851984151094

731459856482

178. 7084593051851684960989

179. 114631137654

695340528626429782121

180. 1854770768862121521399707760

181. 3001082145496345306671478281

182. 4855852354401197208056692241

183. 78569251472817058687522

184. 127127879743834334146972278486287885163

185. 205697230343233228174223751303346572685

186. 332825110087067562321196029789634457848

187. 5385223404303007

4197810

030533

188. 871347450517368352816615810882615488381

189. 14098697

66120355596518914

190. 2281217241465037496128651402858212007295

191. 36

03241270663869808526209

192. 597230427387774413556976533504

193. 96633

2775010025382

13

194. 156356955801681948495

195. 25298645864568558938

43678652930

196. 402466626840596168752972961528246147

197. 662338685486281758142155705206899077

198. 1071686518197123268775128666735145224

199. 1734025211727978131596850372843714301

200. 28057117291400376113038677189525

201. 45397363079531972969696974106126

202. 734544867157818090804423351

203. 11885185613231260464322058718078597177

204. 134284809667114773

80528

205. 311158198980407018609457261637705

206. 5034645418285014325766435419644478339818233

207. 81462274080811865756065370647467555938

208. 131808728263740988376321015125807374171

209. 2132710023446318334949703857732749

210. 34507973060837282187130130089

04280

211. 55835073295300465536628086585786672357234389

212. 046356137747723758225621187571439538669

213. 146178119651438213260386312206974243796773058

214. 236521166007575960984144537828161815236311727

215. 382695742445308500351360584785

216. 615166652286753878632978742612

217. 1001732560430062378984332481297

218. 16211401889444701881625761731807571877809

219. 26230597798754175087863660165740874359106

220. 424420011530998769694897548446236915

221. 686726004162770520573530820632896021

222. 1111146015651519242503960837766832936

223. 17978720198565577104981084195586024127087428957

224. 290355503362256

1038089984964854261893

225. 47068

406893

23367600

416

226. 7615095723016188013062717659795952743

227. 1232279814636412409806505442003148737643593

228. 19623732135425994777207997205533596336

229. 3226150438368547835801863050000354271239929

230. 522002106210068326179680117059857997559804836265

231. 8446171500469759866426342507997

6076194

232. 136661569

65434023659954738809

233. 2211236406303

569697448739956988653

234. 3577855662560

16389595131472399888618372

235. 5786886482052733837248289822497765

236. 4773142572650897733199603711116327

237. 1515603980020363157044787953361427680642

238. 2452298753171627354524749708213060471519

239. 3967320068205816087409539877834488152161

240. 6420201486372307428873111802307548623680

241. 103881042195729

8510518382775401680142036775841

242. 1680830570508835412295811648513482449585399521

243. 271964098234125

175362

244. 44004715631463510006072428645041207574883

245. 71201125556981885570496343807632829750245

246. 11520584118844547883025206568772452674037325128

247. 1864069667454273644225850958407065116260306867075373

248. 301612807284325284439633888712980

0501

249. 4880197746707675420206973287771475874

250. 7896325826131730503843328268675876375

251. 1277652357225860370338031898659556447352249

252. 20672849396309531977283828825123228624

253. 33447198119568135680673266381570580873

254. 541222223710376587766765795712337614833512066497

255. 875715953430188544580333863041781581743565882643

256. 141671405651323470996587541177077199867

257. 2213057075367635217958320643832225

258. 370957113188033180550019974897721781807

259. 6002246438282072486201966702345

321836561403380341

260. 97118387459933

476499882895811608739584170445

261. 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786

262. 254250268855077154966468137802204040571721231

263. 41140004431885883343305337966369517

264. 66565481317383995215174655533821309

265. 1077058218325748971295527236265

266. 174271875204170666730810232096414595406105821258513

267. 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778

268. 4562496698826256442296767726320573532642782291

269. 73822750969857820743614345655804844306069

270. 112024982038516658206764366228700177088360

271. 147124301527978205

645802411885151124650213

272. 3127181

098577852566778114465198482789

273. 50598866273507679698697498369964413630219877218

274. 8187068542288310017538806375350811413714795418360007

275. 13246955169647541425218505072845811378128425638237225

276. 214340237111442757311448200241126227

221056597232

277. 346809788815833975816521049546284341699716466457

278. 561150025935110733127968741056961814867751431689

279.

9814751026371787089444

333694

786514446266146

280. 146

406862188148382197697835

281. 237706965543724518668151016

87896643963981

282. 3846172346400157540

75

31898

476841731898333719576864360661213863366454327287613

285. 16279

60149980002442288124893

7612517456

289. 11167167493

31459954180972843628817512046429889

290. 18068856563237938

9586633513160724057165685643384754471413803636207598822186175234

292. 4730488062040367814077406780444287863801323259

293. 7654075684158845383489763407680649

23167812677324720666693997649

600

чисел Фибоначчи — Barcodes Inc.

чисел Фибоначчи

Выражение «числа Фибоначчи» относится к последовательности чисел, которую изучил человек по имени Леонардо Пизанский по прозвищу «Фибоначчи». Он был первым итальянцем, изучившим последовательность чисел Фибоначчи, и он также был тем, кто распространил систему последовательности по Европе в начале 13 -го -го века. Фибоначчи также опубликовал книгу Liber Abaci , которая сделала эту последовательность широко известной.Сегодня он известен как один из величайших — если не величайший — математиков средневековья.

Фибоначчи родился в 1170 году. Его отца звали Гульельмо и прозвали Боначчо (что означает «добродушный»), а его мать, которая умерла, когда ему было всего девять лет, звали Алессандра. Фибоначчи получил свое знаменитое прозвище только спустя годы после его смерти. «Фибоначчи» происходит от слова filius Bonacci, что означает сын Боначчо.

Фибоначчи часто путешествовал со своим отцом, которому принадлежал торговый пост в порту под названием Бугия в Северной Африке.Именно там Фибоначчи изучил индуистско-арабскую систему чисел. Индо-арабская система, естественно, более эффективна, чем римские цифры, и Фибоначчи был вдохновлен путешествовать по Средиземному морю, обучаясь у бесчисленных блестящих арабских математиков. К 1200 году он завершил свои обширные путешествия, а в 1202 году, когда ему было всего 32 года, он опубликовал все, что узнал, в Liber Abaci .

Название книги переведено на Книга расчетов или Книга Абак , и это был первый раз, когда кто-либо за пределами арабского мира познакомился с индуистско-арабской системой счисления.Сам Фибоначчи заслужил большое уважение после того, как книга была опубликована, и он даже подружился с императором Фредериком II. Сам император увлекался наукой и математикой. Фактически, Фибоначчи был настолько уважаем, что в 1240 году он был удостоен особого жалованья от Пизанской республики. Фибоначчи умер в Пизе где-то после 1240 года, и этот год, кажется, последний раз, когда он появлялся в исторических записях.

Хотя сам Фибоначчи не открыл чисел Фибоначчи (они были названы в его честь), он использовал их в Liber Abaci .Цифры восходят к древней Индии и довольно часто использовались в метрических науках. Фибоначчи представил эти числа Европе в своей книге, таким образом изменив представление о математике.

Саму последовательность Фибоначчи можно объяснить следующим образом: каждое число в последовательности является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Следовательно, последовательность начинается с 0, а затем продолжается следующим образом: 1, 1, 2, 3, 5, 8 и т.д. так называемое «золотое сечение», ставшее основой пропорций живописи эпохи Возрождения.Соотношение получается 1: 1,618, которое художники использовали для пропорции своей работы, потому что они считали, что это намного более эстетично. Это же соотношение снова и снова встречается в природе, поэтому для ученых интересно изучать последовательность органически.

Вот несколько исчерпывающих веб-сайтов, чтобы узнать о числах Фибоначчи:

Хотя современные историки часто не обращают на него внимания, решение Фибоначчи ввести числовую последовательность Фибоначчи в западный мир сильно повлияло на изучение как математики, так и природы впоследствии.Последовательность можно найти как в искусственных предметах, таких как картины, этикетки со штрих-кодом, так и в природе.


Популярные товары

Последовательность Фибоначчи — Математика может быть интересной!

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Математика? В самом деле, мы должны говорить о математике? Какое это может иметь отношение к Tyler Arboretum или природе? Что ж, давайте возьмем минутку и посмотрим, сможем ли мы найти математику в природе и, может быть, в то же время повеселиться.Да, я поместил слова «математика» и «развлечение» в одно предложение.

Приведенные выше числа имеют шаблон, который просто начинается с нуля и прибавляется к нему следующее последовательное число (1), чтобы получить результат 1. Затем продолжайте прибавлять 1 + 1, чтобы получить 2, затем 1 + 2 = 3. , то 2 + 3 = 5 и так далее. Хорошо, это достаточно просто. У нас есть список чисел, которые имеют закономерность и могут продолжаться бесконечно. Человеком, который идентифицировал эту последовательность, был Леонардо Пизанский, математик, родившийся в 12 веке, известный как «Мастер Фибоначчи».

А теперь давайте посмотрим, как растут растения. Растениям не имеет смысла складывать листья друг на друга, поскольку это блокирует солнечный свет и ограничивает способность воды перемещаться по стеблю, чтобы достичь корней. Когда растение образует свои листья по спирали вверх по стеблю, это обеспечивает оптимальное рассеивание солнечного света и воды. К тому времени, когда лист оказывается прямо над другим листом, он достаточно далеко вверх по стеблю, чтобы не мешать листу, находящемуся прямо под ним. Если вы посчитаете эти листья по мере того, как они поднимаются по спирали вверх по стеблю, перекрывающийся лист будет 3-м (вяз), 5-м (вишня) или 8-м (груша).Не забудьте начать с 0 и отсчитывать оттуда. Давайте продолжим идею спиралей.

Взгляните на эхиноцвет, изображенный ниже. Под таким углом легко заметить спиральный узор в центре. А как насчет георгина? Если бы вы посчитали спиральные лепестки слева направо, вы бы получили одно из чисел, перечисленных выше, в данном случае 8. Считайте в обратном направлении, и вы получите еще одно число Фибоначчи. Теперь посмотрите на шишку и посчитайте отдельные прицветники по мере того, как они закручиваются по спирали к кончику.Пройдя в одном направлении, вы увидите, что прицветники постепенно поднимаются вверх. В обратном направлении склон поднимается круче. Но сумма каждого пути спиралевидных прицветников дает число Фибоначчи.

Конечно, эта нумерация не всегда отображается в природе, но вы найдете ее больше, чем вы думаете. Посмотрите на семена подсолнечника. Они плотно упакованы в спираль, и если вы их посчитаете, вы увидите числа Фибоначчи, идущие в каждом направлении — 55 по часовой стрелке и 34 или 89 против часовой стрелки.Посмотрите на ананас, артишок, кувшинки, гвоздики. Снова и снова вы найдете одни и те же числа.

Даже если вы посмотрите на цветы, которые не образуют спирали, вы часто обнаружите, что общее количество лепестков является числом Фибоначчи. У ириса 3 лепестка, у флоксов 5, у дельфиниумов 8, у цинерарий 13 и у черноглазых сьюзан 21. Список можно продолжить.

Находитесь ли вы на заднем дворе или рядом с Тайлером, присмотритесь, и вы начнете видеть эти спирали и обнаруживать количество этих лепестков.Не упустите возможность увидеть такие формы, как круги (ягоды или кольца дерева), звезды (листья сладкой жевательной резинки или сердцевина яблока) и даже квадраты (квадратный стебель мяты или семенная капсула Ludwigia alternifolia. , обычно называемый семенным ящиком — изображенный ниже и найденный у Тайлера). Хотя эти формы не имеют ничего общего с Фибоначчи, дети в вашей жизни могут искать последовательности или фигуры Фибоначчи, в зависимости от их уровня мастерства, наслаждаясь прогулкой с Тайлером. Видеть? Математика может быть интересной!

Узнайте больше о последовательности Фибоначчи в природе.

Последовательность Фибоначчи — Science NetLinks

Назначение

Чтобы оценить и исследовать числовой образец; искать доказательства математических закономерностей в природе.


Контекст

На этом уроке студенты исследуют последовательность Фибоначчи. Они будут определять закономерность среди чисел Фибоначчи, искать приложения этих чисел и исследовать способы, которыми этот узор может быть связан с объектами и формами как в естественном, так и в созданном мире.

Наука и техника — это богатые и особенно важные условия для познания ценности математики и развития навыков решения математических задач, но они не единственные. ( Benchmarks for Science Literacy , p. 32.) В этом уроке используются примеры из искусства и архитектуры, а также природы, чтобы укрепить идеи, сформулированные в центральных тестах. В 3–5 классах учащихся следует поощрять к математическому описанию самых разных вещей — в терминах чисел, форм и операций.В средней школе у ​​учащихся должна быть возможность размышлять о природе паттернов и отношений чисто абстрактно.


Мотивация

В ходе обсуждения попросите учащихся привести примеры шаблонов и некоторые причины, по которым их может быть полезно изучить. Скажите студентам, что они будут исследовать числовой образец и его отношение к окружающему миру.

Напишите на доске следующую числовую последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, _.Предложите учащимся взглянуть на эту серию чисел и дать им возможность угадать следующее число в этой серии. Попросите студентов объяснить образец или правило, которым они следуют. Вы можете перейти к следующему занятию, прежде чем показывать учащимся правильный номер.


Разработка

Скажите студентам, что последовательность Фибоначчи — это серия чисел, разработанная Леонардо Фибоначчи как средство решения практической задачи: Фибоначчи хотел определить скорость, с которой пары кроликов будут воспроизводиться.

Порекомендуйте учащимся ознакомиться с учебной таблицей «Последовательность Фибоначчи» для студентов, которая проведет их через некоторые онлайн-исследования последовательности Фибоначчи и ее появления в природе. Некоторые инструкции по использованию этих ресурсов перечислены здесь:

  • Кролики Фибоначчи, найденные на веб-сайте «Числа Фибоначчи» и «Золотое сечение в природе», содержат текст и иллюстрацию, относящуюся к последовательности Фибоначчи. Вы можете распечатать страницу и использовать текст и иллюстрацию для создания рабочего листа ученика с изображением проблемы с кроликом.Раздайте лист ученикам и попросите их поработать с партнером, чтобы нарисовать следующие 1-2 линии кроликов. Попросите учащихся записать и поделиться своим методом решения проблемы.
  • «Медоносные пчелы и семейные деревья» — еще один пример последовательности Фибоначчи.
  • Лепестки на цветах показывает, сколько лепестков на многих растениях является числом Фибоначчи.

Теперь предложите учащимся изучить «Решить загадку спирали морских ракушек». После того, как учащиеся разберутся с головоломкой, попросите их поработать с партнером, чтобы получить следующие два (или более) числа в серии, что позволит учащимся при желании использовать калькуляторы.Делитесь результатами всем классом. Создайте классную диаграмму первых десяти чисел последовательности Фибоначчи для будущего использования.

Попросите студентов ответить на эти вопросы в студенческом листе «Последовательность Фибоначчи»:

  • Чем может быть полезно знание этого числового шаблона?
  • Какие вещи могут представлять числа в последовательности Фибоначчи?

Скажите учащимся: Иногда модели и отношения изучаются просто потому, что они интересны, а иногда потому, что они помогают решать практические задачи.Числовые модели также могут быть изучены применительно к миру, в котором мы живем, чтобы помочь нам лучше понять его. Например, многие числа в последовательности Фибоначчи могут быть связаны с тем, что мы видим вокруг.

Снова обратитесь к разделу «Решить загадку спирали морских ракушек». Предложите студентам нарисовать «идеальную» спираль на чистом листе бумаги. Разрешите учащимся разместить свои рисунки и объяснить стратегию, которую они использовали для создания спирали.

Один из примеров золотой спирали можно найти на морской ракушке.Предложите учащимся найти другие природные примеры золотой спирали в морской ракушке, сосновой шишке, ананасе или цветной капусте. Для получения дополнительной информации о разработке этого упражнения перейдите в «Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе». Позвольте учащимся исследовать внешний мир и искать примеры чисел Фибоначчи в расположении семян и листьев, цветах и ​​других природных объектах.

Попросите учащихся еще раз вернуться к своим ответам на следующие вопросы, добавив или уточнив свои ответы на основе того, что они узнали о закономерностях в природе:

  • Чем может быть полезно знание этого числового шаблона?
  • Какие вещи могут представлять числа в последовательности Фибоначчи?

Оценка

Следующие упражнения могут быть использованы для оценки понимания учащимися:

  • Попросите учащихся записать свои ответы на следующие вопросы: Зачем изучать шаблоны? Приведите пример того, как может быть полезно понимание числового шаблона.
  • Попросите учащихся построить золотую спираль по своему выбору. Затем попросите их написать о стратегии, которую они использовали для построения спирали, и о том, как это соотносится с числами Фибоначчи.
  • Иногда математики изучают закономерности в формах и числах, потому что они объясняют, как устроен мир, или потому, что помогают решать практические задачи. Можете ли вы подумать, как мы можем использовать последовательность Фибоначчи таким образом?
  • Возьмите естественный объект, который может быть связан с последовательностью Фибоначчи.Нарисуйте набросок и напишите объяснение того, как он соотносится с одним или несколькими числами Фибоначчи.

Расширения

Чтобы получить дополнительный урок «Природа математики» для 6–8 классов, перейдите на урок Science NetLinks, озаглавленный «Поиск удовлетворительных решений».

На уроке «Освещение» «Золотое правило» студенты исследуют последовательность Фибоначчи, исследуют, как соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи создает золотое сечение, и находят реальные примеры золотого сечения.На этом уроке учащиеся будут использовать электронные таблицы и программы для построения геометрических эскизов для изучения чисел.

Для получения дополнительных примеров того, как числа Фибоначчи могут быть связаны с объектами в созданном мире, перейдите в Золотое сечение в искусстве, архитектуре и музыке.

Перейти к более простым головоломкам Фибоначчи для упражнений, в которых учащиеся манипулируют такими объектами, как кирпичи (заменяйте блоки и ведите себя как практическое занятие), домино и стулья, чтобы находить числовые шаблоны и решать головоломки.Ответом на все головоломки являются числа Фибоначчи.

Биографические сведения об итальянском математике Леонардо Пизано, более известном под псевдонимом Фибоначчи, можно найти на странице Леонардо Пизано Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи для визуального макета на сайте Art Studio Chalkboard объясняет, как последовательность Фибоначчи используется в композиции.


Отправьте нам отзыв об этом уроке>

Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе и искусстве

Как числовые ряды меняют то, как мы наблюдаем красоту


Иван Черный Квадратная волна .Искусство часто связано с числами Фибоначчи

Тысячелетиями мы пытались решить мир , который мы видим, и воспроизвести его , используя математические формулы , или сформировать его с помощью математики. Мы уже знаем, что древнеегипетская архитектура была построена с исключительной точностью, и мы знаем, что врачи доказали реальность с помощью чисел.

Существует математическая последовательность, которая вдохновляла человечество на протяжении веков и являлась отличительным признаком для определения красоты: числа Фибоначчи .Эти числа образуют последовательность, в которой следующее число прогрессии является суммой двух предыдущих, начиная с 1 и 1. Это означает, что если вы сложите 1 + 1 = 2, то 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5. и так далее. В итоге вы получите такую ​​последовательность:

.
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21… 55… 1597 и так далее.

Что-то, что заинтриговало как художников, так и ученых, заключается в том, что , если вы разделите номер серии на предыдущий в строке, чем больше, тем лучше, у вас будет число, близкое к золотому сечению , то есть иррациональное число.

𝜑 = 1/2 (1 + 5) = 1,6180339….

Другими словами: две величины находятся в золотом сечении , если их соотношение совпадает с отношением их суммы к большему из двух величин . Соотношение, которое может удовлетворить это утверждение, — это бесконечное число, указанное выше.

Последовательность Фибоначчи была описана около 1202 года итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным как Фибоначчи , но она уже была известна в Индии и использовалась в поэзии и математике. Хотя мы не знаем, когда впервые было использовано золотое сечение, мы точно знаем, что мы используем его геометрическое представление , поскольку по крайней мере 300 г. до н.э. , когда Евклид впервые упомянул его .Со временем мы начали распознавать соотношение и числовую последовательность повсюду, от утверждений геометрии до математических соотношений, от искусства до архитектуры, от биологии до музыки. Иногда доказательства ясны и очевидны, иногда это предположение.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе…

Вы, возможно, слышали, что золотое средство можно найти везде в природе , обычно поддерживаемое последовательностью Фибоначчи.В этом утверждении есть доля правды, но на самом деле неверно ! Мы можем найти числа Фибоначчи во многих природных узорах, например, в полосах зебры или цветении артишока, но — это просто эволюционная уловка . Поскольку неправильная форма часто дает больше шансов выжить (если ваши листья расположены нерегулярно, они будут получать больше солнца, как это удобно!), Природа нашла самый ленивый способ решить эту проблему! Это может происходить по-разному: некоторые формы правильные, некоторые неправильные.Самый простой способ покрыть поверхность — использовать шестиугольники, как в глазах стрекоз, в то время как для выращивания прочной оболочки, чтобы покрыть ваше тело, требуется меньше энергии, если оно имеет спиралевидную форму!

Эти спирали на самом деле являются более ошибочными и считаются созданными с использованием золотого сечения. Они могут показаться золотой спиралью, но это всего лишь приближение к древнему соотношению .


Полосы зебры следуют последовательности Фибоначчи. Фото Рона Дофина
Раковина наутилуса на самом деле не имеет отношения к золотому сечению.Фото Шона Лоу

… в искусстве …

Пропорции можно найти в архитектуре или искусстве, например, в поэзии или музыке . Например, Поликлет использовал соотношение, разработанное для создания того, что он считал красотой, — Канона Поликлета. Поэзия обычно имеет каноническую метрику как праксис, как и большинство музыкальных жанров. Некоторые люди думают, что Парфенон Фидия имеет пропорцию, вычисленную с золотым сечением, но это, похоже, еще один миф. Это небольшая ошибка, поскольку древние греки любили пропорции, и вполне вероятно, что архитектор применил математику для ее построения.

В эпоху Возрождения художники начали исследовать золотую середину и другие соотношения, так как после гуманизма интерес к красоте в мире возрос. Пачоли Divina Proportione , первая книга, объясняющая золотое сечение, была проиллюстрирована Леонардо да Винчи . Он впервые назвал это соотношение как sectio aurea , что, конечно же, означает золотое сечение!

От Пита Мондриана до Жака Вийона , от Ле Корбюзье до Марио Ботта ; бесчисленное количество художников использовали последовательность Фибоначчи в своем искусстве.Эти произведения искусства вызвали растущий интерес к математическим принципам. Важность математики в искусстве возросла, став обязательной для некоторых художников, таких как Марио Мерц, чьи работы в основном связаны с числами Фибоначчи.



Пит Мондриан часто использовал золотое сечение для создания своих картин. Фото Эрнеста Ойеха

Еще один художник, очарованный этой сценой, — Иван Черный, кинетический скульптор, который использует серию для моделирования своих скульптур в гипнотической, многофигурной волне.Кажется, что в большинстве его работ нет серий, но когда вы вращаете их, , вы увидите, что перед вашими глазами образуются золотые спирали !

В музыке мы также можем найти некоторые другие примеры использования золотого сечения или чисел Фибоначчи. Бела Барток, вероятно, использовал последовательность в своей «Музыке для струнных, ударных и Селесты » и других композициях, так же как Эрик Сати в своих произведениях « Trois sonneries de la Rose + Croix ». Даже Клод Дебюсси, композитор изображений и знаменитого Clair de Lune , разделил части своего Ноктюрна № 1 , также называемого числами Фибоначчи «Nuages» .



Сдвиг тактов в произведении Бартока Музыка для струнных, ударных и Селесты

… Везде!

Золотое сечение и числа Фибоначчи произвели впечатление на великие умы, а подарил нам одни из самых красивых произведений искусства, которыми мы можем наслаждаться сегодня . Не имеет значения, есть ли у нас в основном приближения или адаптации этих математических свойств, но поскольку даже природа предпочитает несовершенство для решения своих проблем, результаты этих исследований часто удивительны.Итак, проявите любопытство к инновациям и математике, чтобы вы могли увидеть иную красоту за вещами . Вселенная вращается по спирали, в то время как маленькие произведения искусства Ivan Black вращаются внутри маленькой комнаты, и, вращаясь, мы идем все дальше и дальше с великолепными идеями, вдохновленными окружающей средой!

Мы верим в искусство и науку , поэтому мы организовали кампанию на Kickstarter в поддержку нового проекта Ivan Black Square Wave , чтобы он стал реальностью! Теперь, когда кампания закончилась, на Indiegogo можно приобрести собственную квадратную волну.

7245954

05480

84548003
41661816

283. 622324

6070574410635

3070626544377175485625797

284. 1006

82378002127889637318404077436298120

286. 2636210644692

67

497896533243271110084140201023

287. 42654784246173

853713953114433

288. 6

1029
99637980
781310139745345

291. 2

954512095813

294. 123845785297973041

3538016392

295. 200386689975542405708165665757608500558774338041350112205

296. 324232475273515447634024717

538876233052554697128188128597

297. 524614

53343116499586482964847336113269538240802

298. 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399

299. 13734708057716311543202577171027

45700275212767467264610201

300. 22223224462

455297398

Список чисел Фибоначчи

2 0 0212853 7 7 497 04714189 816120 46349905 5834555169026 26078999176 3764606871165730 0552219 096366333 87230203437 20429973322

640871840 8051921 99443 14757512643212875125 50424261 0553832073954
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765
21 10946
22 17711
23 28657
24 46368
25 75025
26 121393
27 196418
28 317811
29 514229
30 832040
31 1346269
32 2178309
33 3524578
34 5702887
35 65
36 14
37 24157817
38 369
39 63245986
40 102334155
41 165580141
42 2676
43 4334
44 701408733
45 1134
46 1836311903
47 2971215073
48 4807526976
49 7778742049
50 12586269025
51 20365011074
52 32951280099
53 533162
54 86267571272
55 139583862445
56 225851433717
57 365435296162
58 5

729879
59 956722026041
60 1548008755920
61 2504730781961
62 4052739537881
63 6557470319842
64 10610209857723
65 17167680177565
66 277778
288
67 44
68 72723460248141
69 1176660994
70 14135
71 308061521170129
72 498454011879264
73 806515533049393
74 1304969544
75 2111485077978050
76 3416454622

7
77 55270884757
78 89443
79 14472334024676221
80 23416728348467685
81 3788

73143906

82 613057611591
83 9

530

84 160500643816367088
85 2596954962585
86 420196140727489673
87 6798638612258
88 1100087778366101931
89 177997
90 28800671
91 4660046610375530309
92 7540113804746346429
93 12200160415121876738
94 19740274219868223167
95 31
96 51680708854858323072
97 83621143489848422977
98 135301852344706746049
99 218
100 354224848179261

5

101 573147844013817084101
102
103 1500520536206896083277
104 24278399975082453
105 3
106 63563069846248183
107 10284720757613717413913
108 16641027750620563662096
109 268508234281076009
110 43566776258854844738105
111 70476708

14114
112 1140525
113 1845518257
114 298611126818977066

2
115 483162952612010163284885
116 78177407
117 1264
118 20467111114739846236

119 3311648143516982017180081
120 535835
121 8670007398507
122 1402836665349881
123 22698374052006863956975682
124 3672674070550577
125 5
126 96151855463018422468774568
127 155576970220531065681649693
128 25172882568354
129 407305795
130 65
21587630041982498215 131 10663404174

595814572169 132 172537503
40637797070384 133 27

456571051233611642553 134 45170

6503

408712937 135 7308805952221443105020355490 136 118258964478718349764227 137 1

0240000814417 138 309605988479651130578784 139 500953012480583

327

1 140 81055

6023504197206408605 141 131151201344081895336534324866 142 212207101440105399533740733471 143 3433583027841872275058337 144 55556540422424040157

145 898700847998

145 146 14544832772683678306641953 147 23534128182412526729525974 148 380725356630

4051 149 6161314747715278029583501626149 150 996771886214405760200 151 16130531424

1415797

6349 152 260997481020802012313146549 153 42230279526998466217810220532898 154 6833002762

51019822533679447 155 1105603071560237632754212345 156 17887851831682574552878

157 28413985495088042104137 158 468340976726457153752543329995929 159 7577

6677311331372100066 160 122613259532174702095995 161 198340612247806074196061 162 321005680077252479807762

163 51023518027157495786850488117 164 8404037832974134882743767626780173 165 135980188564040239554477268290 166 2200205668963322104048463 167 35600075545958458963222876581316753 168 57602132235424755886206198685365216 169 2077813832148494266681969 170 150804340016807970735635273952047185 171 24400654779815850643429154 172 388781499

20699623170776339 173 638817435613139723893 174 10336283234281826463595560281832 175 167244575

798401322275677325 176 270607408246956586

510069157 177 437851984151094

731459856482 178 7084593051851684960989 179 114631137654

695340528626429782121 180 1854770768862121521399707760 181 3001082145496345306671478281 182 4855852354401197208056692241 183 78569251472817058687522 184 127127879743834334146972278486287885163 185 205697230343233228174223751303346572685 186 332825110087067562321196029789634457848 187 5385223404303007

4197810

030533 188 871347450517368352816615810882615488381 189 14098697

66120355596518914 190 2281217241465037496128651402858212007295 191 36

03241270663869808526209 192 597230427387774413556976533504 193 96633

2775010025382

13 194 156356955801681948495 195 25298645864568558938

43678652930 196 402466626840596168752972961528246147 197 662338685486281758142155705206899077 198 1071686518197123268775128666735145224 199 1734025211727978131596850372843714301 200 28057117291400376113038677189525 201 45397363079531972969696974106126 202 734544867157818090804423351 203 11885185613231260464322058718078597177 204 134284809667114773

80528 205 311158198980407018609457261637705 206 5034645418285014325766435419644478339818233 207 81462274080811865756065370647467555938 208 131808728263740988376321015125807374171 209 2132710023446318334949703857732749 210 34507973060837282187130130089

04280 211 55835073295300465536628086585786672357234389 212 046356137747723758225621187571439538669 213 146178119651438213260386312206974243796773058 214 236521166007575960984144537828161815236311727 215 382695742445308500351360584785 216 615166652286753878632978742612 217 1001732560430062378984332481297 218 16211401889444701881625761731807571877809 219 26230597798754175087863660165740874359106 220 424420011530998769694897548446236915 221 686726004162770520573530820632896021 222 1111146015651519242503960837766832936 223 17978720198565577104981084195586024127087428957 224 290355503362256

1038089984964854261893 225 47068

406893

23367600

416

226 7615095723016188013062717659795952743 227 1232279814636412409806505442003148737643593 228 19623732135425994777207997205533596336 229 3226150438368547835801863050000354271239929 230 522002106210068326179680117059857997559804836265 231 8446171500469759866426342507997

6076194 232 136661569

65434023659954738809 233 2211236406303

569697448739956988653 234 3577855662560

16389595131472399888618372 235 5786886482052733837248289822497765 236 4773142572650897733199603711116327 237 1515603980020363157044787953361427680642 238 2452298753171627354524749708213060471519 239 3967320068205816087409539877834488152161 240 6420201486372307428873111802307548623680 241 103881042195729

8510518382775401680142036775841 242 1680830570508835412295811648513482449585399521 243 271964098234125

175362 244 44004715631463510006072428645041207574883 245 71201125556981885570496343807632829750245 246 11520584118844547883025206568772452674037325128 247 1864069667454273644225850958407065116260306867075373 248 301612807284325284439633888712980

0501 249 4880197746707675420206973287771475874 250 7896325826131730503843328268675876375 251 1277652357225860370338031898659556447352249 252 20672849396309531977283828825123228624 253 33447198119568135680673266381570580873 254 541222223710376587766765795712337614833512066497 255 875715953430188544580333863041781581743565882643 256 141671405651323470996587541177077199867 257 2213057075367635217958320643832225 258 370957113188033180550019974897721781807 259 6002246438282072486201966702345

321836561403380341 260 97118387459933

476499882895811608739584170445 261 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786 262 254250268855077154966468137802204040571721231 263 41140004431885883343305337966369517 264 66565481317383995215174655533821309 265 1077058218325748971295527236265 266 174271875204170666730810232096414595406105821258513 267 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778 268 4562496698826256442296767726320573532642782291 269 73822750969857820743614345655804844306069 270 112024982038516658206764366228700177088360 271 147124301527978205

645802411885151124650213 272 3127181

098577852566778114465198482789 273 50598866273507679698697498369964413630219877218 274 8187068542288310017538806375350811413714795418360007 275 13246955169647541425218505072845811378128425638237225 276 214340237111442757311448200241126227

221056597232

277 346809788815833975816521049546284341699716466457 278 561150025935110733127968741056961814867751431689 279

9814751026371787089444

333694

786514446266146

382197697835 87896643963981 234640015754075

31898

476841731898333719576864360661213863366454327287613 7960149980002442288124893

7612517456 31459954180972843628817512046429889 389586633513160724057165685643384754471413803636207598822186175234 44287863801323259 8415884538348976340768064923167812677324720666693997649

600

32255589801 53405766997246569401 59202 6782440387231570435521120801226748728603 98048006246675396881836888835835456250887805 674087279480253341004213 67042882457037855453867

541580961500624834

7664524306411063027344644012296052

15744
1307480151388995540805885743676803342307750

10
3766984 7

9783999746

04827980338677164658343636350711365 72296177350244602806380313370817060034433662955746 968 837515373701551266171274762645882856660007766287685838

233546680671759717

86035161737710269882076744 9958516953560889687585055544814387110373721783701039712563836461 62415412537 72121378113841488282573748675897

702869

41995397525733283997563353 730587277003684941594651986354051298 01934426082110771478868396165064389712381433442805665949 16040477277346061001150551747313536651721489822265466351650895155331483420627822050363241320227149 48059620247186224655464787456599977150048405830397583511583383173698 82896745747556617040

629728156537497147783134532682971279633874824703400847
605742325617686422714184223787621325371804787975116607001677217386408086574545 35157778632870095711096472956851261232789975392 5144151869475

3666525329

4988556514543075266 96270869815

5388209600595
43295331551041039850875277735478970212675861 664972646680301
  • 886006082825705568550397282263736256618568054872

    276456
  • 090 672710279766007365350054862712234027279063340671850216306414615 5647510004531000816 8661142424746936387148481050277231359

    0278505235
    784521759541079809807343500449731514800545696516184354 113263267045377674100517887360125535240613651188143555961293 248496927

    738232

    395578470112093600651613859972830080739980541065544674812034151699525 017884974410332069524504824747437757 11671367242642568888059521972447641960096626730209862495495139761419003338502567674860704207521875880725617741165091729683723821683646575039 58654148470614228607188542545712321 4571765687471298045056272620241556736056598071113

    3316448136748569816469602261360
    661502196779697987984279570098768737999681 30703425204209650825540787157763668286722 64525398620852721837288327

    522266860485
    5223448196587026008519571475871366403246165227815

    955865434248

    0126124673754415197134377356858377684398584776122426514875869658031322 7733

    6995117
    71348807054284272752352079971127752695 7873047734872321602858257776409 278644461828854545510225266420076246736828229104 5168184084529951973646671835537213025106017041525333156522800379742496995285687643305513 2430558698043540
      27711750121668968517028834617
    867212420203612317308197211964554628215486203974898255803242740333222721700974747 22418118800644244550843954060878383589974763114877 14507047424958541261636423

    78176515507039697978098326060883324529
      014158235458328176574447204501
    24561697880139724382870407283025658769730726410896255716228632

    5576588762225212

    280 146

    406862188148
    7245954

    05480

    281 23770696554372451866815101684548003
    282 384617
    41661816
    283 622324

    6070574410635

    3070626544377175485625797
    284 1006
    285 16282378002127889637318404077436298120
    286 2636210644692

    67

    497896533243271110084140201023
    287 42654784246173
    853713953114433
    288 61029
    99637980
    289 11167167493
    290 180688565632379
    781310139745345
    291 2
    292 47304880620403678140774067804
    293 76540756954512095813
    294 123845785297973041
    3538016392
    295 200386689975542405708165665757608500558774338041350112205
    296 324232475273515447634024717538876233052554697128188128597
    297 524614

    53343116499586482964847336113269538240802
    298 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399
    299 13734708057716311543202577171027

    45700275212767467264610201
    300 22223224462455297398
    301 3595706583560961765665172189096721430
    302 581811569836004006455863409

    5
    303 9413

    04258756745327122380628816531140136771503422

    304 15232024648785
    305 24645
    306 3987795824799770715342824788687062628452272409956636682999616408
    307 645238

    20

    13
    308 104401850095207205720836975836208006537863817087422250120621
    309 1681
    310 2733275623

    7962175339332

    27162783750745455

    311 44225333398004061429732838340729878012027363723832270745251370289
    312 715580
    313 1157834259997705138603733635095356961600163955231274253486033
    314 1873415186015369662

    050

    03127018958366040781

    255601777
    315 303124
    316 4
  • 463202844446442404046536715720760753273372111614880764689587
  • 317 7935

    804151

    1268819610710140145037958273777397
    318 128405787100699637303619708866360684958036398351225665283
    319 207764111482996299
    4016312244381
    320 336170714981814467266618721
    321 5432862
    322 8801063578447437644962364569698707634360652047981718378070013667111
    323 14240420007076730617258541

    3310440740965418798778412503676622857

    324 23041483585524168262220964201807510161746678049676
    325 3728126008988794709585328515842582885574652003523597719057202793 710331628801582080400216977309835

    8191481318411
    97248469 9 2208383548178457877971125378 7052577397027048760650064287 9582076538340523204057883748564461804139827012485584265375821470059547275563626601596378617 4332983767008266122326250025

    71330617623242503763837163697569

    5056141186 02705962802847667687312219838755 7982452831610787275979941 823543267

    87451727078530049
    18696 9553053830206986267617333 124753544283208071611158730370 8738609

    85
    56675811270724156046060366007401579619729620032399913965376796162239653346274 287472237566026650176124155306760699 858

    80525788530383
    0340352157363956747779735020510630442448224088410550266867672 75344530596552032828841802208

    954317
    2683016564135

    5052760867
    98965643334199512556443301668334686724228058421786214659279 2687163766241 0807879784223082815600558

    960222363027055371
    611761 1163973003235747281 359042 68587646043973612216714255778679457850
  • 557106323
  • 8314396321289661861705964346476314037053 5268485385173632397412668844557261755

    45794

    056096305838013295371573764256526437182762229865607320618320601813254535 10665389766178449653686710164582374234640876
    9
    6324155771
    03077366

    5
    326 6032338717812506714170035489
    327 976052

    7259660211798033088126751067867832379396728424115618
    328 157
    329 25553396871957699

    599615168526968045177668282378663871074029

    330 413462646668428032346
    502248750418536685577487386752440
    331 6689966153880050315310000812417454153067665172467745519645952
    332 1082455643306387709666381338067665311237542082678
    333 1751455877444438095408
    334 2833711580483175021682
    335 4585371016
    16555438621189665
    336 7418798436041953952
    337 120046571733668678522013
    338 1
    339 3142860050322513397452764420977285345179605163
    340 50852543833066829834000968538
    341 82281144336295989585340713815384441479925
    342 133133688161941
    9
    343 21541483250565880
  • 823961697112332308004185787677533306771798637
  • 344 348548520675021628424024078524038024981674
    345 56396335318068043742870647469374
    346

    18738557020658527305532177872831

    2
    33303
    347 147647522703638250328143702765414066256447061152438732346449273
    348 23889871008
    24600775406852615482576
    349 3865462327
    9
    350 62544420551641549772118411775146743317264399613414425
    351 10119

    674

    4455661557

    64594

    352 1637436118556957035551514898
    353 264
    106973
    354 4286863412788815
    355 69362

    02067484

    20056656577535480158459697980006966974645
    356 112231541198094

    357 1815
    4134387820089804440720816962
    358 2
    359 47542043773469822074736802716674938214170165571
    360 76272010
    8856889799947628313150135520
    361 124466686493577163446
    362 20132136887790

    398401153680

    711883

    363 3258580157072680796737099989600679

    0543858378803176
    364 527249344
    365 853107360628224
    8389878465365
    366 138035670554

    972023682511333365056485008428559688935571688
    367 22334640661774067356412331

    80099530453510206838235072028
    368 36138207717265885328441519836863123286695

    0773021050058862406562749608741

    369 5847284837
    370
    371 15308353457

    14
    372 247657165162871144454296462
    25552426864 1950058706960328526257210057 081863640

    51397897095281987215864

    16276395611672634812623217532334953370871042781100759813050465314516137773128706 027513961847653300991 820623609

    3302538007088755326533087070104115801862234837985426429697
    250913

    3
    1855325

    59833079730688

    552534355121389997818506160385 54700
    458
    1 538441546859 68982806567444246559718305231073036073662367607266895781713447129573977026513112503052179 00120313016182700871671813432662649

    7032018665867029

    518282323883797538 172646700230387886496582950

    27269995

    9747181418684399715449 9816304226 2507703843833044921725904032323901 98420482075533324200114456086

    73859680384188513887852280667477

    5589

    3288357273105850430052

    52458453873038805350010305956237047668459967175299828294

    1622060571486570203288606148368113
    0866346341100471798141202716788473868012052434540095604389734410310117100993231614705027473665635425809 37897403506601582233728503897328404875170713295408147807

    8803

    4808313527516756 6483285796031145081313881068747042976026364355327919832689122 0720837444180148455636386781458440 00804865993479882

    6745641698262341374422501624715052810558177873467034642304
    1555074410636524312658020849224588813861431765074245955118399664162441967250186097733500962925 60522744162776
    24872978549698643278230438281167130254

    771430968

    75814474353818480155099772027274872062700839632115897362723 31336580553102500982006762370817324861 530106989610677051864224840112714676838107706466485315685753214360043615 006095621755678778467019711275

    345066202834769955134424689676262369

    6305984 4503581717836

    213602522595460257280496774780497748874337 2408255859550518752770954506578238315485816563618848330572272442690 5777983501058621635817027
    373 40077886504699741
    5366789883567055193
    374 64847382561864

    2103841307952468235140971448551986170838835

    375 104646467530632231274619718410203796555123147644873726135009824265250
    376 16977265162842955156516706443541444007616135110406430062085480136081475307
    377 27469749318230287562876411

    17307595766156998135811615145

    0557
    378 4444705723234237498833973519982

    9

    379 71417
    421
    380 116363418416980850249

    458115

    7885844897005805709880172285
    381 18828075583602596462866526311206253798143
    382 3046446623702101344371677622680083495718260601596
    383 492
    384 79757008057644623350300078764807
    385 12

    498782682332568833813028150124678356721

    386 2088065579356607183460067622034481129314

    52

    05451576515858
    387 3378561078141810898640668413704378180483483258553487263501
    388 54666266575004712503014380608848285252407554440171882480313121677
    389 884518773564275036335317142808498833476705778259666107
    390 1431181430
    391 231570021287864401

    84587055058551781
    392 37468816521
    393 6062581865071657021061835667682186

    756275532029576

    394 980
    35620342487725314342549664567
    395 158720453823363270441268014971

    53774755868578035057243596666433462105
    396 25681508899600997067167

    76732670057816501755462864741983775449688983126672

    397 41553554281411129703

    882387027651133206312776412602212507675416588777

    398 6723506318153832117846495310336150586778266794
    399 10878861746347564528976199228

    448449957054778126951202749393

    400 1760236806450139664682269453575345044216019675
    401 28481229810848961175798814609956153800887823048

    47719564596
    402 460835978753503578226215883073872246385764472086797082873203188542544616448248343576
    403 7456482768619
    404 120648425561549676821042070382

    8838690

    53
    405 19521325324774899581
    809678530
    406 315861678807264050462284137442187749626267807325447529650630896453338689583
    407 511074
    408 826208341850557696
    409 1338011542
    410 2164
    71658725122483505
    411 3502959696713134360221349745023264740213996898337220585156640002180223

    4

    412 566705028747108822605166054984687178
    413 6754721600

    0361026162876320893182123

    1537729562617689

    6638302133
    414 14838775397718883781985870778234261677649785478087562461150

    034324707146225186

    415 24009642
    3986302488658167666629995398430467886660501606381297085
    416 38848418342653776635075351818097286564231462144387516445455584776
    417 6285806128758866
    418 1017064796302424461232401846760575980150446009550749868752158484205015423343632508381159
    419 1645645401115611405017534017

    58577397657624573049761120640548215334513341070281
    420 266271020548073561734645202210075507480
    421 43083556146573460502197440
    516807254861118540126591721
    422 69710658201397823

    95421954168
    766242120743734566536003303316754926039973161
    423 1127
    424 18250487254
    668043
    425 2952997374407167053506
    426 47780395
    427 773103046344134
    428 125057

    4526817442243356

    429 202401005213503038261717710761833288791898297827974563682846371475316218754
    430 32747925
    431 5298
    432 85738441679868820532214654639846172206133759

    4

    5

    6
    55270820177
    433 13872771278047838271141861031862463
    568353
    434 2244661544603472032436332649584708114319787957314032873538930
    435 3631
    436 5876600217011727885140235566262089802627279984
    437
    3888
    438 1538513317116435242215574822797483742085515437
    439 248
    440 4027881710228340703858581327006242248463104566968766454459757728482657089672204355
    441 65172495098135102433647404982700073500075401759827878315356483347951218369680224170989749666
    442 10545131220041850332182527

    1243002480702845751
    37240666353891

    425662871

    443 17062380729855361106232354

    62437564983011245350735841267167528500506

    444 27607511
    40458606953841075408
    445 446698
    7237738973730515477305006718754667074636645528022516256487945
    446 722774046296497854662108306212056471121727445630

    0

    6247398828598662
    447 116
    797851329548624
    448 18
    5040188769479613217501281456451614651
    449 3061719954503055431384808371720811128543235373849713167479
    450 4953967011875066473162524
    80600
    451 8015687004359611503716838773315321255830369979
    9
    452 129696540162346779768798546356686

    4586049
    758
    453 209853410205
    454 339549
    455 54
    456 8889533102243955473348126805
    457 14383566715167548133361

    54952008707730339588148687335

    65896974634068647640876549937

    458 232730998245572382676325989
    478883
    459 37656666539760318706278554172258460770081225762406046396575728927

    83

    460 60636435308927

    97992066
    175324644464121
    461 98586432

    340798547375217128018143

    462 15951619
    463 25810263217257901427023415820835483307041235886067265438236978045389770250

    14952317

    464 41761883144104640251481165251188398565719518456624120477965205524606115754507996484677228773
    465 675721463613626307764954354853466062146

    342621846755865696522105056783
    466 102
    1
    63
    467 17658668294472036221881612406823370310271420068369574875775892
    468 28624020537229717283244863695841661785992398704536965075971
    469 46314638123

    74636

    3180298230299

    4023270833292

    99517511955245765178459925
    470 745577362702465168971
    471 121253296785055132210628998331
    472 1961446197556957565577275
    007197467505024573547039776939
    473 3174452522312526894671792511
    474 5136372076774502461257608570234468481668075116373246321641499386
    475 831082459

    2
    476 13447196675861531814197166417245678868

    6962757679871062
    477 21758021274
    588982
    478 35205217
    479 5696323
    808122

    15134884313127297
    480
    481 14964023274012782751205730214806364865071120
    482 24130015357889614840807962620028350471127717432616107768784245116628412612170589947041
    483 3

    8499812235496863547467733049854286466198839959870

    484 63173200356011969803729735884

    80673265589795452673441480303628721313666802004216758598573763
    485 102216385354134324778078468
    44
    486 1653895857101462
    487 26760597106428061
    488 432995556774426

    31236105187857407389973522

    235520810632382557083997728981
    489 7006015278387075333187248717655232848696066716357168446685359555050818763462119969522887130023714
    490 1133597084613134447271848482284302996604835986413056004
    491 183419861245184198053540498323105204426580487728496070230
    492 2967795697064976427862421836334141336150
    493 48019
    494 77697

    5817

    31541702671811498282273632999
    495 1257178431609861324476841221710208862943226285057685657105280618664254204672140130
    496 2034157432268040808108382
    497 32

    86387725852241460

    498 53254
    06
    99648074089624
    499 861682238450732788312165664788095
    500 13
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *