Factoring: Факторинг в Москве ✓ финансовые услуги банков 💰 и коммерческих факторинговых компаний на торговые операции

Хммм … похоже, нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :

Потому что 4x ² равно (2x) ² , а 9 равно (3) ² ,

Итак имеем:

4x ² — 9 = (2x) ² — (3) ²

А это можно получить по формуле разности квадратов:

(a + b) (a − b) = a ² — b ²

Где a — 2x, а b — 3.

Итак, давайте попробуем это сделать:

(2x + 3) (2x − 3) = (2x) ² — (3) ² = 4x ² — 9

Да!

Таким образом, множители 4x ² — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :

Ответ: 4x ² -9 = (2x + 3) (2x − 3)

Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!

Помните эти личности

Вот список общих «идентичностей» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Об этом стоит помнить, поскольку они могут облегчить факторинг.

Подобных гораздо больше, но это самые полезные.

Совет

Факторная форма обычно лучше всего.

При попытке факторизации выполните следующие действия:

• «Вынести за скобки» любые общие термины
• Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, плюс другие, которые вы, возможно, знаете
• Продолжайте, пока вы больше не сможете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Другие примеры

Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w ⁴ — 16 = (w ² ) ² — 4 ²

Да, это разница квадратов

w ⁴ — 16 = (w ^{2 + 4) (w 2 — 4)}

И «(w ^{2 — 4)» — еще одно отличие квадратов}

w ⁴ -16 = (w ^{2 + 4) (w + 2) (w -2)}

Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

Удалить общий множитель «3u»:

3u ⁴ — 24uv ³ = 3u (u ³ — 8v ³ )

Тогда разница кубиков:

3u ⁴ — 24uv ³ = 3u (u ³ — (2v) ³ )

= 3u (u − 2v) (u ² + 2uv + 4v ² )

Это все, что я могу.

Пример: z

Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:

z ² (z − 1) — 9 (z − 1)

Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:

(z ² −9) (z − 1)

А z ² −9 — разность квадратов

(г-3) (г + 3) (г-1)

Это все, что я могу.

А теперь побольше опыта:

Калькулятор факторинга

Использование калькулятора

Калькулятор факторинга находит факторы и пары факторов положительного или отрицательного числа.Введите целое число, чтобы найти его множители.

Для положительных целых чисел калькулятор будет отображать только положительные множители, потому что это обычно принятый ответ. Например, вы получаете 2 и 3 как пару факторов из 6. Если вам также нужны отрицательные факторы, вам нужно будет продублировать ответ самостоятельно и повторить все факторы как отрицательные, такие как -2 и -3, как еще одну пару факторов из 6. С другой стороны, этот калькулятор даст вам отрицательные множители для отрицательных целых чисел.Например, -2 и 3 И 2 и -3 являются парами факторов -6.

Факторы — это целые числа, которые умножаются для получения другого числа. Исходные числа являются множителями номера продукта. Если a x b = c, то a и b являются делителями c.

Допустим, вы хотите найти множители 16. Вы найдете все пары чисел, которые при умножении дают 16. Мы знаем, что 2 и 8 являются множителями 16, потому что 2 x 8 = 16. 4 — это множитель 16, потому что 4 х 4 = 16.Также 1 и 16 делятся на 16, потому что 1 x 16 = 16. Факторы 16 равны 1, 2, 4, 8, 16.

Вы также можете думать о множителях в терминах деления: множители числа включают в себя все числа, которые делятся на это число без остатка. Рассмотрим число 10. Поскольку 10 делится на 2 и 5 без остатка, можно сделать вывод, что 2 и 5 делятся на 10.

В таблице ниже перечислены множители для 3, 18, 36 и 48. Важно отметить, что каждое целое число имеет как минимум два множителя: 1 и само число.Если число состоит только из двух факторов, это число является простым числом.

Примеры списков факторов

36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Как разложить числа на множители: факторизация

Калькулятор множителей учитывает числа пробным делением.Выполните следующие действия, чтобы использовать пробное деление для определения множителей числа.

1. Найдите квадратный корень из целого числа n и округлите до ближайшего целого числа. Назовем этот номер s .
2. Начните с цифры 1 и найдите соответствующую пару факторов: n ÷ 1 = № . Итак, 1 и n — факторная пара, потому что в результате деления получается целое число с нулевым остатком.
3. Сделайте то же самое с числом 2 и продолжите проверку всех целых чисел ( n ÷ 2, n ÷ 3, n ÷ 4 … n ÷ s ) до квадратного корня с округлением до с . Запишите пары факторов, в которых деление дает целые числа с нулевым остатком.
4. Когда вы достигнете n ÷ s , и вы записали все пары факторов, вы успешно разложили на множители число № .

Пример факторизации с использованием пробного отдела

Факторы 18:

• Квадратный корень из 18 равен 4,2426, с округлением до ближайшего целого числа 4
.
• Проверяя целочисленные значения от 1 до 4 для деления на 18 с остатком 0, мы получаем следующие пары факторов: (1 и 18), (2 и 9), (3 и 6). Множители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Факторы отрицательных чисел

Вся приведенная выше информация и методы обычно применимы к факторингу отрицательных чисел.Просто обязательно соблюдайте правила умножения и деления отрицательных чисел, чтобы найти все множители отрицательных чисел. Например, множители -6: (1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3). См. «Калькулятор решения математических уравнений» и раздел Правила операций умножения.

Калькуляторы сопутствующего факторинга

Смотрите наши Калькулятор общих факторов, чтобы найти все факторы набора чисел и узнать, какие факторы являются общими.

Калькулятор наибольшего общего делителя находит наибольший общий делитель (НОД) или наибольший общий делитель (НОД) набора чисел.

Посмотреть Калькулятор наименьшего общего знаменателя, чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, целых и смешанных чисел.

Расширенный факторинг

Вы всегда можете использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти два корня квадратного трехчлена.

Но часто можно проще найти корни с помощью факторинга.

Пример 1:

Разложите на множители трехчлен x3 + 7×2 + 10x.

Здесь x является общим для всех терминов, поэтому его можно вынести за скобки.

x3 + 7×2 + 10x = x (x2 + 7x + 10)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых равно 10, чтобы разложить на множитель x2 + 7x + 10.

Цифры 2 и 5.

х2 + 7х + 10 = (х + 2) (х + 5)

Следовательно, x3 + 7×2 + 10x = x (x + 2) (x + 5).

Пример 2:

Разложите на множители трехчлен x2y2−5xy2−24y2.

Здесь y2 является общим для всех членов, поэтому его можно вынести за скобки.

x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x2−5x − 24)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна −5, а произведение которых равно −24, чтобы разложить на множители x2−5x − 24.

Среди пар факторов −24 два числа, которые имеют сумму −5, — это −8 и 2.

Итак, x2−5x − 24 = (x − 8) (x + 2).

Следовательно, x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x − 8) (x + 2).

Пример 3:

Фактор, x4 + x2−30.

Здесь у вас есть многочлен порядка 4. Подставим x2 = X, чтобы получить эквивалентный квадратичный многочлен X2 + X − 30.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 1 и произведение которых равно −30, чтобы разложить на множители X2 + X − 30.

Среди пар факторов −30 два числа с суммой 1 — это −5 и 6.

Итак, X2 + X − 30 = (X − 5) (X + 6).

То есть x4 + x2−30 = (x2−5) (x2 + 6).

Вы можете использовать тождество a2 − b2 = (a + b) (a − b), чтобы уменьшить x2−5 как (x + 5) (x − 5).

Бином x2 + 6 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x4 + x2−30 = (x + 5) (x − 5) (x2 + 6).

Пример 4:

Разложите на множители многочлен x3−3×2 + 4x − 12.

Здесь ни один из вышеперечисленных способов не сработает!

Сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

x3−3×2 + 4x − 12 = (x3−3×2) + (4x − 12)

Здесь x2 является общим в первых 2 членах, а 4 — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(x3−3×2) + (4x − 12) = x2 (x − 3) +4 (x − 3)

Теперь вычтите множитель (x − 3).

x2 (x − 3) +4 (x − 3) = (x − 3) (x2 + 4)

Бином x2 + 4 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x3−3×2 + 4x − 12 = (x − 3) (x2 + 4).

Пример 5:

Разложите на множители многочлен 6×2 + 7xy + 2y2.

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов членов x2 и y2, а сумма равна коэффициенту среднего члена. То есть два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых 6 умножает на 2 или 12.

Среди пар факторов, состоящих из 12, два числа с суммой 7 — это 4 и 3.

Запишите средний член трехчлена, используя числа.

6×2 + 7xy + 2y2 = 6×2 + 4xy + 3xy + 2y2

Теперь у нас есть что-то похожее на пример 4.Итак, сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

6×2 + 7xy + 2y2 = (6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2)

Здесь 2x является общим в первых 2 членах, а y — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)

Теперь используйте свойство распределения.

2x (3x + 2y) + y (3x + 2y) = (3x + 2y) (2x + y)

Следовательно, 6×2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y) (2x + y).

См. Также факторизацию по группировке и неприводимые многочлены.

Факторинг

Чтобы разложить на множители разницу между двумя квадратами, (1) найдите квадратный корень из первого члена и квадратный корень из второго члена и (2) выразите свой ответ как произведение суммы величин из шага 1 умноженная на разницу этих количеств.

.

Чтобы разложить на множители многочлены, имеющие три члена вида ax ² + bx + c, (1) проверьте, можете ли вы разложить множители на множители (вычленить общие члены). Затем, если a = 1 (то есть первый член просто x ² ), используйте двойные круглые скобки и разложите первый член на множители. Поместите эти множители в скобки слева. Например,

( x ) ( x )

(2) Разложите последний член на множители и поместите множители в правые части круглых скобок.

Чтобы определиться со знаками чисел, сделайте следующее. Если знак последнего члена равен отрицательный, (1) найдите два числа (одно будет положительным числом, а другое — отрицательным числом), произведение которых является последним членом, а разница составляет , коэффициент (число перед) среднего члена и (2) дают большему из этих двух чисел знак среднего члена и напротив знака для другого множителя.

Если знак последнего члена положительный, (1) найдите два числа (оба будут положительными или оба будут отрицательными), произведение которых является последним членом, а сумма которых является коэффициентом среднего члена и (2) дайте обоим факторам знак среднего члена.

Пример 3

Фактор x ² — 3 x — 10.

Сначала проверьте, можете ли вы мономиально множить (вычленять общие термины). Поскольку это невозможно, используйте двойные скобки и разложите первый член на множители следующим образом: ( x ) ( x ). Затем разложите последний член, 10, на 2 раза по 5 (5 должно принимать отрицательный знак, а 2 должно принимать положительный знак, потому что тогда они будут суммировать коэффициент среднего члена, который равен –3) и сложите соответствующие знаки, выезд

( x -5) ( x + 2)

Умножение означает (внутренние члены) и крайних значений (внешние члены) для проверки.

Чтобы полностью проверить, умножьте множители вместе.

Пример 4

Фактор x ² + 8 x + 15.

( x + 3) ( x + 5)

Обратите внимание, что 3 × 5 = 15 и 3 + 5 = 8, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знаки обоих факторов — это +, знак среднего члена. Проверить,

Пример 5

x ² -5 x -14.

( x -7) ( x + 2)

Обратите внимание, что 7 × 2 = 14 и 7-2 = 5, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знак большего множителя 7 — -, а у другого множителя 2 — знак +. Проверить,

Если, однако, a ≠ 1 (то есть первый член имеет коэффициент — например, 4 x ² +5 x + 1), тогда потребуется дополнительный метод проб и ошибок.

Пример 6

Фактор 4 x ² +5 x + 1.

(2 x +) (2 x +) может работать для первого семестра. Но когда единицы используются как множители для получения последнего члена (2 x + 1) (2 x + 1), средний член получается как 4 x вместо 5 x .

Поэтому попробуйте (4 x +) ( x +). Теперь использование единиц в качестве множителей для получения последних членов дает (4 x + 1) ( x + 1). Проверка на средний срок,

Следовательно, 4 x ² + 5 x + 1 = (4 x + 1) ( x + 1).

Пример 7

Фактор 4 a ² + 6 a + 2.

Вынос 2 листа

2 (2 а ² + 3 а + 1)

Теперь множим как обычно, давая

2 (2 a + 1) ( a + 1)

Проверить,

Пример 8

Фактор 5 x ³ + 6 x ² + x .

Вынос листа x

x (5 x ² + 6 x + 1)

Теперь множим как обычно, давая

x (5 x + 1) ( x + 1)

Проверить,

Пример 9

Фактор 5 + 7 b + 2 b ² (небольшой поворот).

(5 + 2 b ) (1 + b )

Проверить,

Обратите внимание, что (5 + b ) (1 + 2 b ) неверно, поскольку дает неправильный средний член.

Пример 10

Фактор x ² + 2 xy + y ² .

( x + y ) ( x + y )

Проверить,

Пример 11

Фактор 3 x ² — 48.

Вынос 3 листа

3 ( x ² -16)

Но x ² — 16 — это разница между двумя квадратами, которая может быть дополнительно разложена на ( x + 4) ( x — 4). Следовательно, при полном разложении 3 x ² — 48 = 3 ( x + 4) ( x — 4).

Факторинг по группировке

Некоторые полиномы имеют биномиальные, трехчленные и другие полиномиальные множители.

Пример 12

Фактор x + 2 + xy + 2 y .

Поскольку мономиального множителя нет, вам следует попытаться переставить члены и поискать биномиальные множители.

x + 2 + xy + 2 y = x + xy + 2 + 2 y

Группировка дает

( x + xy ) + (2 + 2 y )

Теперь факторинг дает

x (1 + y ) + 2 (1 + y )

Использование распределительного свойства дает

( x + 2) (1 + y )

Вы можете переставить их по-другому, но все равно получите тот же факторинг.

Краткое изложение методов факторинга

Факторинг многочленов следует искать в следующем порядке.

1. Найдите наибольший общий фактор, если он существует.

2. Если есть два члена, ищите разницу в квадратных числах.

3. Если есть три члена, найдите образец, который применим к ax ² + bx + c .

4. Если имеется четыре или более термина, поищите какой-либо тип перегруппировки, который приведет к другому факторингу.

Примечание: Существуют многочлены, которые не могут быть факторизованы.

Пример 13

Фактор 2 x ² + 3 x + 5.

1. У этого многочлена нет общего множителя.

2. Этот многочлен не является разностью квадратных чисел.

3. Не существует комбинации (_ x ) (_ x ), дающей 2 x ² + 3 x + 5.

4. Так как терминов всего три, перегруппировка невозможна.

Следовательно, этот многочлен не факторизуем.

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение задач по математике»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени.Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности членов в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них. Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий множитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано.Другими словами, «Мы удалили все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

3 (х ² + 2xy + 3xy ² ).

Умножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x ³ + 6x ² + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра.Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву. Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x ³ + 6x ² + 18x = 6x (2x ² + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют.Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы изменим порядок членов, чтобы поместить третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно расположить термины.

Во всех случаях важно быть уверенным, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 дает 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» дает -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИНАЛА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Мысленно перемножьте два бинома.
2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена 1.
3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведений двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x ² + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (-4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Теперь у нас есть четыре произведения для любых двух биномов:

1. Первый семестр за первый семестр
2. Внешние условия
3. Внутренние условия
4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим рисунком.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Вы должны запомнить этот образец.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для разложения.

Сначала в скобках укажите проблему.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x ² .

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется проб и ошибок — по понятным причинам.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конечном итоге, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

1. Если знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть похож на знак среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, методом проб и ошибок может занять очень много времени.

Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает сократить количество попыток.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

Решение

Анализировать:

1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
4. Попробуйте несколько комбинаций.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты, разделенные знаком минус.

Особые случаи действительно упрощают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

1. Первый член — это полный квадрат.
2. Третий член представляет собой полный квадрат.
3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.

Решение

1. 25x ² — квадратный корень с главным квадратом = 5x.
2. 4 — точный квадратный корень с главным квадратом = 2.
3. 20x — это дважды произведение квадратного корня 25x ² и
4. 20x = 2 (5x) (2).

Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЯРЛЫКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ И ФАКТОРИРОВАНИЕ ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите ключевое число трехчлена.
2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск ключевого номера . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, который нужно разложить на множители, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.