Суббота , 2 Июль 2022

Factoring: Факторинг в Москве ✓ финансовые услуги банков 💰 и коммерческих факторинговых компаний на торговые операции

Содержание

Факторинг в Москве ✓ финансовые услуги банков 💰 и коммерческих факторинговых компаний на торговые операции

Совкомбанк Факторинг Контакты:

Адрес: ул. Кожевническая, д. 14 115114 Москва, Телефон:(495) 787-53-37, Телефон:(495) 995-21-31, Электронная почта: [email protected]

Адрес2: ул. Рокоссовского, д. 62, БЦ «ВолгоградСИТИ», оф. 15-21 400050 г. Волгоград, Телефон:(8442) 43-44-00, Электронная почта: [email protected]

Адрес3: ул.Свободы, д. 73, офис 311 394018 Россия, г.

Воронеж, Телефон:(473) 228-19-78, 228-19-79, Электронная почта: [email protected]

Адрес4: ул. Хохрякова, 10, оф. 504-505 620014 Свердловская область, г. Екатеринбург, Телефон:(343) 310-14-55, Электронная почта: [email protected]

Адрес5: ул. Рабочая, д. 2а, офис 29А (3952) 486 331 г. Иркутск, Телефон:(3952) 486 331, Электронная почта: [email protected]

Адрес6: ул. Декабристов, 85б, офис 409, 410 420034 г. Казань, Телефон:(843) 200-09-47, 200-10-35, Электронная почта: [email protected]

ru

Адрес7: Ленинский пр., д. 30, офис 508 236006 г. Калининград, Телефон:(4012) 53-53-87, Электронная почта: [email protected]

Адрес8: ул. Красная д. 152 г. Краснодар, Телефон:(861) 226-42-52, 226-45-54, Электронная почта: [email protected]

Адрес9: ул. Алексеева, д. 49, офис 6-14. 660077 г. Красноярск, Телефон:(391) 200-28-20, Электронная почта: [email protected]

Адрес10: ул. Нижегородская, 24 603000 г. Нижний Новгород, Телефон:(831) 288-02-89, Электронная почта: [email protected]

Адрес11: ул. Ленина, 52, офис 505 630004 г. Новосибирск, Телефон:(383) 212-06-18, 212-06-19, Электронная почта: [email protected]

Адрес12: ул. Николая Островского, 59/1 614007 г. Пермь, Телефон:(342) 211-50-28, Электронная почта: [email protected]

Адрес13: ул. Красноармейская, д. 200, 8 этаж, оф. 803 344000 г. Ростов-на-Дону, Телефон:(863) 263-88-30, Электронная почта: [email protected]

Адрес14: пр.К.Маркса, д.201 «Б» (бизнес-крепость «Башня») 443080 г. Самара, Телефон:(846)993-61-62, 993-61- 64, 993-61-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес15: ул. Восстания, 18, офисы 405-407 191014 Санкт-Петербург, Телефон:(812) 644-40-71, Электронная почта: [email protected]

Адрес16: ул.Танкистов, д.37, оф.304, 305 410019 г. Саратов, Телефон:(8452) 57-27-63, Электронная почта: [email protected]

Адрес17: ул. Крупской, д. 9, офис 727, 728, 729 450000 Республика Башкортостан, г. Уфа, Телефон:(347) 273-50-78, Электронная почта: [email protected]

Адрес18: ул. К. Маркса, д.38, офис 319 454091 г. Челябинск, Телефон:(351) 239-93-90, 239-93-91, 239-93-92, Электронная почта: [email protected]

Адрес19: ул. Республиканская, д.3, корпус 1, офис 404 150003 г.

Ярославль, Телефон:(4852) 58-11-88, Электронная почта: [email protected]

factoring

X5 Group взаимодействует с ведущими банковскими структурами, предоставляя поставщикам возможность сотрудничества на основе факторинга.

В компании применяется EDI-факторинг — электронный юридически значимый документооборот по факторинговым операциям на мультибанковой платформе FactorPlat и платформе​ Альфа Finance​. Эти платформы создают среду для трёхстороннего взаимодействия участников факторинговых сделок: поставщиков, Х5 Group и факторов.

FactorPlat

Система EDI-факторинга FactorPlat позволяет в автоматическом режиме осуществлять сделки по подтверждению и уступке прав требования на основании пакетов электронных документов по поставкам, а EDI-формат — провести быстрое подключение и интеграцию со всеми сторонами-участницами сделок.

Решение даёт возможность полностью отказаться от бумажного документооборота между всеми участниками факторинговой сделки: поставщиком, торговой сетью и фактором, что существенно влияет на снижение стоимости и повышение скорости бизнес-процессов. Контроль и юридическое оформление каждой сделки реализованы через автоматическую обработку документов. Инструмент является максимально удобным и доступным, а также обеспечивает индивидуальный подход и специальную пониженную стоимость факторинга от банков-факторов для поставщиков Х5, работающих в FactorPlat.

Как подключиться к платформе FactorPlat

По всем вопросам подключения вы можете обращаться к специалистам EDISOFT:

Отдел продаж
Т: +7 (812) 309-35-79;
8 (800) 777-78-01
E: [email protected]

или заполнить заявку на сайте.

Если вы подключены к другому провайдеру ЭДО, то обратитесь к своему провайдеру с запросом организации роумингового соединения с площадкой FactorPlat, либо свяжитесь со специалистами EDISOFT для подключения к площадке FactorPlat.

Как подключиться к платформе Альфа Finance

По всем вопросам подключения вы можете обращаться к специалистам Альфа-банка:

Юлия Чебыкина
T: +7 (495) 783- 51-59 доб. (011) 3144​
 +7 (905) 552-37-48 
E: ​[email protected]

Сергей Солотинский​​
T: +7 (495) 783-51-59 доб. (010) 2512​
E: [email protected]


​При подключении к системе FactorPlat или Альфа Finance партнёру X5 Group присваивается уникальный логин и пароль для работы в системе. Логин и пароль являются конфиденциальной информацией и не подлежат передаче третьим лицам.

Контакты X5 Group:
Адрес: РФ, 109029, г. Москва, Ср. Калитниковская ул., д. 28, кор. 4
Т: +7 (495) 662-88-88
E: [email protected]

Global Factoring Network присоединилась к системе онлайн-финансирования на платформе GetFinance

| Поделиться

Global Factoring Network (ООО «Глобал факторинг нетворк рус»), предложила своим клиентам финансирование в 100% дистанционном формате на мультифакторной платформе GetFinance.

Это уже 20-я факторинговая компания, подключившаяся к платформе и осуществляющая с ее помощью выдачу финансирования компаниям любого масштаба — от микропредприятий до крупного бизнеса.

В рамках онлайн-факторинга финансируются контракты по 223-ФЗ, 615-ПП РФ, 44-ФЗ и коммерческие контракты — к GetFinance подключены 782 дебитора из 70 регионов. Выдача финансирования осуществляется за 24 часа, получить факторинг может компания из любой точки России.

Управляющий партнер Global Factoring Network Алексей Примаченко сказал: «Наша компания на сегодняшний день находится в стадии активного роста – так, 1 квартал 2021 года стал одним из самых успешных в истории деятельности, отмечена позитивная динамика по всех ключевым показателям деятельности, увеличивается факторинговый портфель, растет число активных клиентов. Рассчитываем, что подключение ГЛОБАЛ ФАКТОРИНГ НЕТВОРК РУС к GetFinance поможет вывести наш бизнес на новый технологический уровень, предложить клиентам из разных регионов выгодные и удобные условия финансирования, снизить издержки на оформление факторинговых сделок».

Егор Газетин, генеральный директор GetFinance, сказал: «Онлайн-факторинг – удобный инструмент для быстрого получения финансирования, пополнения оборотного капитала для компаний из разных сфер деятельности. Подключение Global Factoring Network к платформе – это в первую очередь новые возможности для клиентов, теперь у них появится доступ к большему числу предложений от различных факторинговый компаний».

Владимир Бахур

factoring — Wiktionary

Contents

  • 1 English
    • 1.1 Noun
      • 1.1.1 Translations
    • 1.2 Verb
  • 2 Portuguese
    • 2.1 Etymology
    • 2.2 Noun
  • 3 Spanish
    • 3.1 Noun

English[edit]

English Wikipedia has an article on:factoringWikipedia

Noun[edit]

factoring (plural factorings)

  1. A financial transaction whereby a business sells its accounts receivable to a third party (called a factor) at a discount.
  2. (mathematics) The process of factorization.
Translations[edit]

financial transaction

  • Armenian: ֆակտորինգ (hy) (faktoring)
  • Irish: fachtóireacht f
  • Polish: faktoring (pl) m
  • Portuguese: factoring (pt) m
  • Russian: факторинг (ru) (faktoring), разложение на множители (razloženije na množiteli), разложение на дроби (razloženije na drobi), представление в виде произведения (predstavlenije v vide proizvedenija)
  • Spanish: factoring m

Verb[edit]

factoring

  1. present participle of factor

Portuguese[edit]

Etymology[edit]

Unadapted borrowing from English factoring.

Noun[edit]

factoring m (plural factorings)

  1. (economics) factoring (financial transaction)

Spanish[edit]

Noun[edit]

factoring m (plural factorings)

  1. factoring

Факторинг по алгебре

Факторы

У чисел есть множители:

И выражения (например, x 2 + 4x + 3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (в Великобритании именуемый « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на умножение более простых выражений.

Пример: множитель 2y + 6

У 2y и 6 есть общий множитель 2:

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

2у + 6 = 2 (у + 3)

Таким образом, 2y + 6 было «учтено» в 2 и y + 3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий множитель 2

Но для правильного выполнения работы нам нужен наивысший общий множитель , включая все переменные

Пример: коэффициент 3y

2 + 12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Итак, мы могли бы иметь:

3 года 2 + 12 лет = 3 (год 2 + 4 года)

Но мы можем сделать лучше!

3y 2 и 12y также разделяют переменную y.

Вместе, что составляет 3 года:

  • 3y 2 — 3y × y
  • 12y — 3y × 4

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

3 года 2 + 12 лет = 3 года (y + 4)

Чек: 3y (y + 4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 + 12y

Более сложный факторинг

Факторинг может быть трудным!

Пока примеры были простыми, но факторизация может оказаться очень сложной.

Потому что нам нужно изобразить то, что мы умножили на , чтобы получить данное нам выражение!


Это все равно что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким восхитительным.
Это может быть сложно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Фактор

4x 2 — 9

Хммм … похоже, нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :

Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,

Итак имеем:

4x 2 — 9 = (2x) 2 — (3) 2

А это можно получить по формуле разности квадратов:

(a + b) (a − b) = a 2 — b 2

Где a — 2x, а b — 3.

Итак, давайте попробуем это сделать:

(2x + 3) (2x − 3) = (2x) 2 — (3) 2 = 4x 2 — 9

Да!

Таким образом, множители 4x 2 — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :

Ответ: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x − 3)

Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!

Помните эти личности

Вот список общих «идентичностей» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Об этом стоит помнить, поскольку они могут облегчить факторинг.

а 2 — б 2 = (а + б) (а-б)
a 2 + 2ab + b 2 = (а + б) (а + б)
a 2 — 2ab + b 2 = (а-б) (а-б)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 )
a 3 — b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2 )
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (а + б) 3
a 3 −3a 2 b + 3ab 2 −b 3 = (а-б) 3

Подобных гораздо больше, но это самые полезные.

Совет

Факторная форма обычно лучше всего.

При попытке факторизации выполните следующие действия:

  • «Вынести за скобки» любые общие термины
  • Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, плюс другие, которые вы, возможно, знаете
  • Продолжайте, пока вы больше не сможете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Другие примеры

Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

4 — 16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w 4 — 16 = (w 2 ) 2 — 4 2

Да, это разница квадратов

w 4 — 16 = (w 2 + 4) (w 2 — 4)

И «(w 2 — 4)» — еще одно отличие квадратов

w 4 -16 = (w 2 + 4) (w + 2) (w -2)

Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

4 — 24uv 3

Удалить общий множитель «3u»:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — 8v 3 )

Тогда разница кубиков:

3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — (2v) 3 )

= 3u (u − 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )

Это все, что я могу.

Пример: z

3 — z 2 — 9z + 9

Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:

z 2 (z − 1) — 9 (z − 1)

Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:

(z 2 −9) (z − 1)

А z 2 −9 — разность квадратов

(г-3) (г + 3) (г-1)

Это все, что я могу.

А теперь побольше опыта:

Калькулятор факторинга

Использование калькулятора

Калькулятор факторинга находит факторы и пары факторов положительного или отрицательного числа.Введите целое число, чтобы найти его множители.

Для положительных целых чисел калькулятор будет отображать только положительные множители, потому что это обычно принятый ответ. Например, вы получаете 2 и 3 как пару факторов из 6. Если вам также нужны отрицательные факторы, вам нужно будет продублировать ответ самостоятельно и повторить все факторы как отрицательные, такие как -2 и -3, как еще одну пару факторов из 6. С другой стороны, этот калькулятор даст вам отрицательные множители для отрицательных целых чисел.Например, -2 и 3 И 2 и -3 являются парами факторов -6.

Факторы — это целые числа, которые умножаются для получения другого числа. Исходные числа являются множителями номера продукта. Если a x b = c, то a и b являются делителями c.

Допустим, вы хотите найти множители 16. Вы найдете все пары чисел, которые при умножении дают 16. Мы знаем, что 2 и 8 являются множителями 16, потому что 2 x 8 = 16. 4 — это множитель 16, потому что 4 х 4 = 16.Также 1 и 16 делятся на 16, потому что 1 x 16 = 16. Факторы 16 равны 1, 2, 4, 8, 16.

Вы также можете думать о множителях в терминах деления: множители числа включают в себя все числа, которые делятся на это число без остатка. Рассмотрим число 10. Поскольку 10 делится на 2 и 5 без остатка, можно сделать вывод, что 2 и 5 делятся на 10.

В таблице ниже перечислены множители для 3, 18, 36 и 48. Важно отметить, что каждое целое число имеет как минимум два множителя: 1 и само число.Если число состоит только из двух факторов, это число является простым числом.

Примеры списков факторов

36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Как разложить числа на множители: факторизация

Калькулятор множителей учитывает числа пробным делением.Выполните следующие действия, чтобы использовать пробное деление для определения множителей числа.

  1. Найдите квадратный корень из целого числа n и округлите до ближайшего целого числа. Назовем этот номер s .
  2. Начните с цифры 1 и найдите соответствующую пару факторов: n ÷ 1 = . Итак, 1 и n — факторная пара, потому что в результате деления получается целое число с нулевым остатком.
  3. Сделайте то же самое с числом 2 и продолжите проверку всех целых чисел ( n ÷ 2, n ÷ 3, n ÷ 4 … n ÷ s ) до квадратного корня с округлением до с . Запишите пары факторов, в которых деление дает целые числа с нулевым остатком.
  4. Когда вы достигнете n ÷ s , и вы записали все пары факторов, вы успешно разложили на множители число .

Пример факторизации с использованием пробного отдела

Факторы 18:

  • Квадратный корень из 18 равен 4,2426, с округлением до ближайшего целого числа 4
  • .
  • Проверяя целочисленные значения от 1 до 4 для деления на 18 с остатком 0, мы получаем следующие пары факторов: (1 и 18), (2 и 9), (3 и 6). Множители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Факторы отрицательных чисел

Вся приведенная выше информация и методы обычно применимы к факторингу отрицательных чисел.Просто обязательно соблюдайте правила умножения и деления отрицательных чисел, чтобы найти все множители отрицательных чисел. Например, множители -6: (1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3). См. «Калькулятор решения математических уравнений» и раздел Правила операций умножения.

Калькуляторы сопутствующего факторинга

Смотрите наши Калькулятор общих факторов, чтобы найти все факторы набора чисел и узнать, какие факторы являются общими.

Калькулятор наибольшего общего делителя находит наибольший общий делитель (НОД) или наибольший общий делитель (НОД) набора чисел.

Посмотреть Калькулятор наименьшего общего знаменателя, чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, целых и смешанных чисел.

Расширенный факторинг

Вы всегда можете использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти два корня квадратного трехчлена.

Но часто можно проще найти корни с помощью факторинга.

Иногда вы даже можете использовать факторизацию, чтобы найти корни уравнения более высокого порядка, например, кубического или четвертого многочлена. Ниже мы покажем некоторые частные случаи и то, как их разложить на множители.

Пример 1:

Разложите на множители трехчлен x3 + 7×2 + 10x.

Здесь x является общим для всех терминов, поэтому его можно вынести за скобки.

x3 + 7×2 + 10x = x (x2 + 7x + 10)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых равно 10, чтобы разложить на множитель x2 + 7x + 10.

Цифры 2 и 5.

х2 + 7х + 10 = (х + 2) (х + 5)

Следовательно, x3 + 7×2 + 10x = x (x + 2) (x + 5).

Пример 2:

Разложите на множители трехчлен x2y2−5xy2−24y2.

Здесь y2 является общим для всех членов, поэтому его можно вынести за скобки.

x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x2−5x − 24)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна −5, а произведение которых равно −24, чтобы разложить на множители x2−5x − 24.

Среди пар факторов −24 два числа, которые имеют сумму −5, — это −8 и 2.

Итак, x2−5x − 24 = (x − 8) (x + 2).

Следовательно, x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x − 8) (x + 2).

Пример 3:

Фактор, x4 + x2−30.

Здесь у вас есть многочлен порядка 4. Подставим x2 = X, чтобы получить эквивалентный квадратичный многочлен X2 + X − 30.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 1 и произведение которых равно −30, чтобы разложить на множители X2 + X − 30.

Среди пар факторов −30 два числа с суммой 1 — это −5 и 6.

Итак, X2 + X − 30 = (X − 5) (X + 6).

То есть x4 + x2−30 = (x2−5) (x2 + 6).

Вы можете использовать тождество a2 − b2 = (a + b) (a − b), чтобы уменьшить x2−5 как (x + 5) (x − 5).

Бином x2 + 6 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x4 + x2−30 = (x + 5) (x − 5) (x2 + 6).

Пример 4:

Разложите на множители многочлен x3−3×2 + 4x − 12.

Здесь ни один из вышеперечисленных способов не сработает!

Сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

x3−3×2 + 4x − 12 = (x3−3×2) + (4x − 12)

Здесь x2 является общим в первых 2 членах, а 4 — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(x3−3×2) + (4x − 12) = x2 (x − 3) +4 (x − 3)

Теперь вычтите множитель (x − 3).

x2 (x − 3) +4 (x − 3) = (x − 3) (x2 + 4)

Бином x2 + 4 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x3−3×2 + 4x − 12 = (x − 3) (x2 + 4).

Пример 5:

Разложите на множители многочлен 6×2 + 7xy + 2y2.

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов членов x2 и y2, а сумма равна коэффициенту среднего члена. То есть два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых 6 умножает на 2 или 12.

Среди пар факторов, состоящих из 12, два числа с суммой 7 — это 4 и 3.

Запишите средний член трехчлена, используя числа.

6×2 + 7xy + 2y2 = 6×2 + 4xy + 3xy + 2y2

Теперь у нас есть что-то похожее на пример 4.Итак, сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

6×2 + 7xy + 2y2 = (6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2)

Здесь 2x является общим в первых 2 членах, а y — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)

Теперь используйте свойство распределения.

2x (3x + 2y) + y (3x + 2y) = (3x + 2y) (2x + y)

Следовательно, 6×2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y) (2x + y).

См. Также факторизацию по группировке и неприводимые многочлены.

Факторинг

Чтобы разложить на множители разницу между двумя квадратами, (1) найдите квадратный корень из первого члена и квадратный корень из второго члена и (2) выразите свой ответ как произведение суммы величин из шага 1 умноженная на разницу этих количеств.

Коэффициент

.

Чтобы разложить на множители многочлены, имеющие три члена вида ax 2 + bx + c, (1) проверьте, можете ли вы разложить множители на множители (вычленить общие члены). Затем, если a = 1 (то есть первый член просто x 2 ), используйте двойные круглые скобки и разложите первый член на множители. Поместите эти множители в скобки слева. Например,

( x ) ( x )

(2) Разложите последний член на множители и поместите множители в правые части круглых скобок.

Чтобы определиться со знаками чисел, сделайте следующее. Если знак последнего члена равен отрицательный, (1) найдите два числа (одно будет положительным числом, а другое — отрицательным числом), произведение которых является последним членом, а разница составляет , коэффициент (число перед) среднего члена и (2) дают большему из этих двух чисел знак среднего члена и напротив знака для другого множителя.

Если знак последнего члена положительный, (1) найдите два числа (оба будут положительными или оба будут отрицательными), произведение которых является последним членом, а сумма которых является коэффициентом среднего члена и (2) дайте обоим факторам знак среднего члена.

Пример 3

Фактор x 2 — 3 x — 10.

Сначала проверьте, можете ли вы мономиально множить (вычленять общие термины). Поскольку это невозможно, используйте двойные скобки и разложите первый член на множители следующим образом: ( x ) ( x ). Затем разложите последний член, 10, на 2 раза по 5 (5 должно принимать отрицательный знак, а 2 должно принимать положительный знак, потому что тогда они будут суммировать коэффициент среднего члена, который равен –3) и сложите соответствующие знаки, выезд

( x -5) ( x + 2)

Умножение означает (внутренние члены) и крайних значений (внешние члены) для проверки.

Чтобы полностью проверить, умножьте множители вместе.

Пример 4

Фактор x 2 + 8 x + 15.

( x + 3) ( x + 5)

Обратите внимание, что 3 × 5 = 15 и 3 + 5 = 8, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знаки обоих факторов — это +, знак среднего члена. Проверить,

Пример 5
Фактор

x 2 -5 x -14.

( x -7) ( x + 2)

Обратите внимание, что 7 × 2 = 14 и 7-2 = 5, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знак большего множителя 7 — -, а у другого множителя 2 — знак +. Проверить,

Если, однако, a ≠ 1 (то есть первый член имеет коэффициент — например, 4 x 2 +5 x + 1), тогда потребуется дополнительный метод проб и ошибок.

Пример 6

Фактор 4 x 2 +5 x + 1.

(2 x +) (2 x +) может работать для первого семестра. Но когда единицы используются как множители для получения последнего члена (2 x + 1) (2 x + 1), средний член получается как 4 x вместо 5 x .

Поэтому попробуйте (4 x +) ( x +). Теперь использование единиц в качестве множителей для получения последних членов дает (4 x + 1) ( x + 1). Проверка на средний срок,

Следовательно, 4 x 2 + 5 x + 1 = (4 x + 1) ( x + 1).

Пример 7

Фактор 4 a 2 + 6 a + 2.

Вынос 2 листа

2 (2 а 2 + 3 а + 1)

Теперь множим как обычно, давая

2 (2 a + 1) ( a + 1)

Проверить,

Пример 8

Фактор 5 x 3 + 6 x 2 + x .

Вынос листа x

x (5 x 2 + 6 x + 1)

Теперь множим как обычно, давая

x (5 x + 1) ( x + 1)

Проверить,

Пример 9

Фактор 5 + 7 b + 2 b 2 (небольшой поворот).

(5 + 2 b ) (1 + b )

Проверить,

Обратите внимание, что (5 + b ) (1 + 2 b ) неверно, поскольку дает неправильный средний член.

Пример 10

Фактор x 2 + 2 xy + y 2 .

( x + y ) ( x + y )

Проверить,

Пример 11

Фактор 3 x 2 — 48.

Вынос 3 листа

3 ( x 2 -16)

Но x 2 — 16 — это разница между двумя квадратами, которая может быть дополнительно разложена на ( x + 4) ( x — 4). Следовательно, при полном разложении 3 x 2 — 48 = 3 ( x + 4) ( x — 4).

Факторинг по группировке

Некоторые полиномы имеют биномиальные, трехчленные и другие полиномиальные множители.

Пример 12

Фактор x + 2 + xy + 2 y .

Поскольку мономиального множителя нет, вам следует попытаться переставить члены и поискать биномиальные множители.

x + 2 + xy + 2 y = x + xy + 2 + 2 y

Группировка дает

( x + xy ) + (2 + 2 y )

Теперь факторинг дает

x (1 + y ) + 2 (1 + y )

Использование распределительного свойства дает

( x + 2) (1 + y )

Вы можете переставить их по-другому, но все равно получите тот же факторинг.

Краткое изложение методов факторинга

Факторинг многочленов следует искать в следующем порядке.

  1. Найдите наибольший общий фактор, если он существует.

  2. Если есть два члена, ищите разницу в квадратных числах.

  3. Если есть три члена, найдите образец, который применим к ax 2 + bx + c .

  4. Если имеется четыре или более термина, поищите какой-либо тип перегруппировки, который приведет к другому факторингу.

Примечание: Существуют многочлены, которые не могут быть факторизованы.

Пример 13

Фактор 2 x 2 + 3 x + 5.

  1. У этого многочлена нет общего множителя.

  2. Этот многочлен не является разностью квадратных чисел.

  3. Не существует комбинации (_ x ) (_ x ), дающей 2 x 2 + 3 x + 5.

  4. Так как терминов всего три, перегруппировка невозможна.

Следовательно, этот многочлен не факторизуем.

Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение задач по математике»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени.Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности членов в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
  2. Фактор общие множители.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем случае факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них. Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий множитель равен 3x.

Поставьте 3x перед круглыми скобками.

Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано.Другими словами, «Мы удалили все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3 (х 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Умножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. F Выражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Фактор 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра.Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву. Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»
Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, что это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно разложили на множители.

Опять умножаем как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

Прежде всего, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

Решение

Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют.Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение.
Опять умножаем как чек.

Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы изменим порядок членов, чтобы поместить третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно расположить термины.

Во всех случаях важно быть уверенным, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены.
Умножение как проверка.

Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 дает 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» дает -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

ФАКТОРИНГ ТРИНОМИНАЛА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Мысленно перемножьте два бинома.
  2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена 1.
  3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет включать факторизацию трехчленов как произведений двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x 2 + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (-4).

Теперь у нас есть следующая часть узора:

Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

Теперь у нас есть четыре произведения для любых двух биномов:

  1. Первый семестр за первый семестр
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний семестр к последнему семестру

Эти продукты показаны этим рисунком.

Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

Вы должны запомнить этот образец.

Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше будете в факторинге.

Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для разложения.

Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

Сначала в скобках укажите проблему.

Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

Этот метод факторинга называется проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел является нечетным.
  2. Произведение двух четных чисел является четным.
  3. Произведение нечетного и четного числа — четное.
  4. Сумма двух нечетных чисел четная.
  5. Сумма двух четных чисел четная.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетна.
Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным.
Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4, 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конечном итоге, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок коэффициентов несущественный.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

  1. Если знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
  2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть похож на знак среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, методом проб и ошибок может занять очень много времени.

Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает сократить количество попыток.

Сначала найдите числа, которые дают правильные первое и последнее члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
  4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически даст слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Решение

Анализировать:

  1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
  2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
  3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы научитесь лучше справляться с этим процессом.

(4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы почувствуете себя гораздо более комфортно при факторинге трехчлена.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется аддитивной инверсией другого числа.
Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным обратным значением — 3, также -3 является аддитивным обратным значением +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

Решение

Здесь оба члена представляют собой полные квадраты, разделенные знаком минус.

Особые случаи действительно упрощают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разложима.

Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

  1. Первый член — это полный квадрат.
  2. Третий член представляет собой полный квадрат.
  3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга более полезно записать отчет как

Решение

  1. 25x 2 — квадратный корень с главным квадратом = 5x.
  2. 4 — точный квадратный корень с главным квадратом = 2.
  3. 20x — это дважды произведение квадратного корня 25x 2 и
  4. 20x = 2 (5x) (2).

Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не частный случай трехчлена полного квадрата.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЯРЛЫКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ И ФАКТОРИРОВАНИЕ ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск ключевого номера . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

В трехчлене, который нужно разложить на множители, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел и есть «ключевой номер».

Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.


Произведение этих двух чисел является ключевым числом.»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы получить произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
Поместите эти множители в первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x 2 , и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).
Помните, что если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.

Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

Step 4 Разложите эту проблему на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2


Теперь это становится обычным факторингом путем группировки.

Следовательно,
Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

  1. Первый взгляд на общие факторы.
  2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

  1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
  2. Все ли факторы просты?
После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли факторизовать полученный трехчлен.

Если у трехчлена есть общие множители, обычно проще, если они сначала разложены на множители.

Хорошая процедура, которой следует придерживаться при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить на множители то, что осталось.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.
  • Факторинг — это процесс, при котором сумма или разность условий преобразуется в произведение факторов.
  • Простое выражение не может быть разложено на множители.
  • Наибольший общий множитель — наибольший общий множитель для всех терминов.
  • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность разложения на множители путем группировки существует, если выражение содержит четыре или более терминов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
  • Частные случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
  • Ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие множители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
  • Триномы можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон умножения, чтобы найти факторы, которые дадут исходный трехчлен.
  • Чтобы разложить на множитель разность двух квадратов, используйте правило
  • Чтобы разложить на множители точный квадрат трехчлена, сформировать двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и указать квадрат этого бинома.
  • Используйте ключевое число как вспомогательное средство для определения факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

Алгебра: специальные модели разложения на множители

Специальные модели разложения на множители

Иногда вам вообще не нужно выполнять какую-либо работу, чтобы разложить полином на множители. Мне это нравится, потому что в глубине души я очень ленивый человек, и, если бы мне не приходилось кормить себя или свою семью, я бы с радостью работал на бессмысленной работе и жил в нищете (как я доказал, вне всякого разумного сомневаюсь, когда был холостяком). В некоторых случаях все, что вам нужно сделать, это признать, что рассматриваемый многочлен следует определенному шаблону.Чтобы распознать эти удобные шаблоны, позволяющие сэкономить время, вам нужно уметь определять идеальные квадраты и кубики.

Полный квадрат — это то, что вы получаете, когда что-то умножаете само на себя (другими словами, результат возведения в квадрат). Например, 36 w 4 — это идеальный квадрат, поскольку он является результатом умножения чего-то на себя: (6 w 2 ) (6 w 2 ) = 36 w 4 .

Идеальный куб можно создать, умножив что-либо само на себя два раза (другими словами, результат кубирования чего-либо).Следовательно, -8 y 3 — идеальный куб, поскольку (-2 y ) (- 2 y ) (- 2 y ) = -8 y 3 .

Вот особые шаблоны факторов, которые вы должны уметь распознать. Запомните формулы, потому что в некоторых случаях очень сложно создать их, не теряя много времени.

Talk the Talk

Идеальный квадрат — это величина, которая получается, когда что-то умножается само на себя, а идеальный куб — результат умножения чего-то на себя дважды.

Предостережения Келли

Обратите внимание, что вы не можете разложить на множители сумму полных квадратов так же легко, как разность . Фактически, насколько вам известно, вы не можете разложить на множители a 2 + b 2 , хотя большинство студентов, изучающих алгебру, пытаются разложить его на множители как ( a + b ) ( a + b ), что совершенно неверно! Если умножить ( a + b ) ( a + b ), вы получите a 2 + 2 ab + b 2 , а не a 2 + б 2 .(Если вам нужно рассмотреть умножение полиномов, оно рассматривается в разделе Введение в полиномы.)

  • Разница полных квадратов : если вычесть два квадрата, ( a 2 b 2 ), вы может автоматически переписать разницу как биномиальное произведение ( a + b ) ( a b ). Например, полином x 2 -16 является разностью полных квадратов, так как x 2 -16 = ( x ) 2 — (4) 2 .(Если вы сравните x 2 — 16 с формулой a 2 b 2 , a = x и b = 4, поскольку они являются числами, которые генерируют идеальные квадраты.) Следовательно, его можно разложить на множители как ( x + 4) ( x — 4).
  • Разница идеальных кубов : Если вычесть два идеальных куба, их можно разложить на множители как произведение бинома и трехчлена: ( a 3 b 3 ) = ( a b ) ( a 2 + ab + b 2 ).Например, для многочлена 8 x 3 — 27 (в данном случае a = 2 x и b = 3) его факторизованная форма будет (2 x — 3) (( 2 x ) 2 + (2 x ) (3) + (3) 2 ) или (2 x — 3) (4 x 2 + 6 x + 9).
  • Сумма идеальных кубов : В отличие от суммы полных квадратов, когда идеальные кубы складываются вместе, они действительно следуют определенному шаблону множителей.Этот узор лишь немного отличается от своей родственной формулы — отличия идеальных кубиков; на самом деле различаются лишь несколько знаков: ( a 3 + b 3 ) = ( a + b ) ( a 2 ab + b 2 ). Рассмотрим полином y 3 = 64; он представляет собой сумму идеальных кубов a 3 + b 3 , когда a = y и b = 4, поэтому согласно формуле его факторизованная форма имеет вид ( y + 4) ( ярдов 2 -4 ярдов + 16).

Одно предостережение: факторинг с помощью этих специальных шаблонов работает рука об руку с факторингом с использованием наибольшего общего фактора, а не против него. Фактически, вы должны всегда искать наибольший общий фактор (и, если он существует, вынести его за скобки), прежде чем пытаться применить какой-либо другой метод факторизации. Это гарантирует, что вы получите полностью факторизованную форму многочлена, а в некоторых случаях изменит задачу с невозможной на простую.

Пример 3 : Разложите многочлены на множители.

Предостережения Келли

Всегда предполагайте, что вы должны полностью разложить на множители многочлен . Другими словами, ни один из результирующих факторов, в свою очередь, не может быть факторизован.

У вас есть проблемы

Задача 3. Разложите множители на многочлен 5 x 2 — 125.

  • (a) 16 x 3 + 2 y 3
  • Решение : Это похоже на проблему суммы идеальных кубов, благодаря степени 3, но это не совсем соответствует формуле.Хотя x 3 — идеальный куб, 16 x 3 — нет. (Не существует рационального числа, которое умножается на само себя дважды и дает 16.) То же самое и с другим термином.
  • Это один из примеров, почему вы всегда должны пытаться сначала вычесть наибольший общий множитель. Обратите внимание, что оба термина имеют GCF, равный 2, поэтому вычтите его.
  • 2 (8 x 3 + y 3 )
  • Пока не обращайте внимания на 2 вне скобок; величина внутри равна сумме идеальных кубов и соответствует формуле, если a = 2 x и b = y .Перепишите его в факторизованной форме, оставив GCF там, где он находится, впереди.
  • 2 (2 x + y ) (4 x 2 -2 xy + y 2 )
  • (b) x 4 — 16
  • Решение : это разница полных квадратов и соответствует формуле a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b ), если вы установите a = x 2 и b = 4.Итак, перепишите в факторизованной форме, предписанной этой формулой:
  • ( x 2 + 4) ( x 2 -4)
  • Если бы вы закончили здесь, вы бы технически получили проблему неверно, потому что не учитывается полностью ; один из множителей, x 2 -4, сам по себе является точным квадратом и требует дальнейшего разложения.
  • ( x 2 + 4) ( x + 2) ( x — 2)

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Algebra 2004 by W.Майкл Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Вы можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Руководство для начинающих по факторингу квадратичных и многочленов | Бретт Берри | Math Hacks

Например, из факторизованной формы вы можете легко найти решения. Вы получите представление о количестве и типах решений, которые имеет уравнение.Вы можете найти его корни / пересечения по оси x, что упрощает построение графика. Вы даже можете немного рассказать о поведении графа через множественность. Все это замечательные концепции, но прежде чем мы перейдем к ним, важно овладеть искусством факторинга.

Существует множество различных методик факторинга. От стандартных способов разложить квадратичные на множители до менее очевидных методов завершения квадратичного и полиномиального деления в столбик — многое из того, что вы изучаете в алгебре, вращается вокруг манипулирования уравнениями, так что именно на этом мы и сосредоточимся сегодня!

Основы: как разложить квадратичные множители

В этом уроке я покажу вам самые основы факторизации квадратичного .Вы узнаете, как выбирать факторы и проверить свое решение.

Важно отметить, что в этих примерах я не работаю с полным уравнением (обратите внимание, что нет знаков равенства). Это обычный первый шаг, когда вы учитесь учитывать факторы. Мы можем установить любой из этих многочленов равным нулю, и тогда мы получим уравнение. С помощью этого уравнения мы можем проделать тот же процесс факторинга и сделать еще один шаг, чтобы найти решение (если оно существует) путем решения для переменной, а затем мы можем построить квадратичный график, если захотим.

ПРИМЕЧАНИЕ: Для факторизации квадратичных расчетов, где есть коэффициент при x-квадрате, ознакомьтесь с «методом acb» под хитрыми квадратиками ближе к концу этого поста!

Основы: как вынести за скобки наибольший общий множитель (GCF)

Вывести за скобки наибольший общий множитель — это удобный небольшой метод, который вы можете использовать всякий раз, когда есть общий множитель (число, переменная или оба) ко ВСЕМ членам вашего многочлена.

Интересная особенность этой техники заключается в том, что, переходя к более сложным многочленам и уравнениям, вы обнаружите, что часто этот шаг можно использовать в сочетании с другими типами факторизации, чтобы привести ваш многочлен к очень простой форме.

Формулы: как разность идеальных квадратов разложить на множители

Некоторые типы факторинга красиво и аккуратно складываются в несколько формул. Эти формулы могут служить руководством для факторизации некоторых специальных типов многочленов. К сожалению, чтобы их записать, может потребоваться немного запоминания.

Из видеоурока вы узнаете о нескольких различных формулах. К ним относятся:

  • Формула разницы идеальных квадратов
  • Формула трехчлена идеального квадрата (положительная и отрицательная версии)

Крутые уловки: как разложить по группам

Фактор по группировке — классная техника, которую можно использовать несколькими интересными способами.Вы можете использовать его для разложения полиномов с четырьмя членами, как в примерах в видео, сначала выделив GCF из двух пар терминов.

Если после разложения GCF у вас остались два идентичных бинома в скобках, то это означает, что ваш многочлен может быть разложен на множители путем группирования, и вы можете продолжить и завершить факторизацию.

Другой интересный способ использования множителя путем группировки — это взять нормальный трехчленный квадратичный и разделить средний x-член на два члена, чтобы они по-прежнему суммировались с исходным средним членом.Это даст вам 4 условия и возможность применить фактор по группам. Я не рассматриваю этот подход в руководстве, потому что это не традиционное использование фактора путем группирования, но я знаю, что некоторым людям действительно нравится решать квадратичные методы таким образом.

Хитрые квадраты: как разложить квадраты на множители с ведущим коэффициентом больше 1 | Метод ACB

В этом уроке мы рассмотрим один из наиболее сложных для факторизации типов квадратов: когда мы натыкаемся на квадратичный коэффициент со значением x-квадрата.

Что вы заметите, когда попытаетесь разложить эти типы многочленов на множители, так это то, что дополнительный коэффициент создает гораздо больше возможностей для обоих факторов и места их размещения. Теперь вы все еще можете разложить на множители эти типы проблем, используя небольшие догадки и проверки наряду с традиционным методом квадратичного разложения, но вы заметите, что это может быть довольно сложно.

К счастью, у нас есть проверенный и надежный метод решения этих проблем, называемый методом ACB (или методом CAB) .Этот метод является секретом факторизации этих сложных квадратов. Использование этой техники устраняет все догадки и дает вам пошаговый процесс, которому вы можете следовать каждый раз, когда сталкиваетесь с этими типами квадратич. Я действительно думаю, что это так тесно связано с факторингом, что я хотел включить его в это руководство.

Завершение квадрата — это метод, который вы можете использовать, чтобы переписать квадратичный из стандартной формы (т.е.е. y = ax² + bx + c) в форму вершины (т.е. y = (xh) ² + k), так что технически вы не переписываете свое уравнение в полностью факторизованной форме, так как эта константа (k) будет висеть снаружи вашего бинома в квадрате. НО вы конвертируете свое уравнение в форму, в которой вы можете легко найти пересечение по оси x и график, поэтому оно очень похоже на желаемую цель для факторинга.

Если вы хотите подробнее изучить эту тему и увидеть ее в действии, ознакомьтесь с руководством ниже!

Продвинутые методы: полиномиальное деление в длину

Это еще один метод, который не является явным факторингом, но его можно использовать для перезаписи многочлена в факторизованной форме.Полиномиальное деление в длину — это процесс, используемый для деления полинома на меньший полином, чаще всего бином.

В этом типе задач алгебры 2 можно использовать теорему рационального нуля для определения потенциальных решений, а затем использовать такой процесс, как полиномиальное деление в длину, для проверки и разделения решений. Обычно этот процесс выполняется несколько раз, пока вы не определите все решения.

Теперь, если вы подумаете о делении значения (дивиденда) на другое значение (делитель), полученное значение (частное) на самом деле является множителем делимого вместе с делителем.

A и C становятся факторизацией B при переписывании

Таким образом, вы можете использовать деление для факторизации многочлена.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.