Числами фибоначчи: Ошибка 404: страница не найдена

Содержание

Линии чисел Фибоначчи и их использование – Финансовая энциклопедия

Что такое Линии чисел Фибоначчи и их использование?

Числа Фибоначчи используются для создания технических индикаторов с использованием математической последовательности, разработанной итальянским математиком, обычно называемым «Фибоначчи», в 13 веке.Последовательность чисел, начинающаяся с нуля и единицы, создается путем сложения двух предыдущих чисел.Например, ранняя часть последовательности – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и так далее.1

Затем эту последовательность можно разбить на коэффициенты, которые, по мнению некоторых, дают представление о том, куда пойдет данный финансовый рынок.

Последовательность Фибоначчи важна из-за так называемого золотого сечения 1,618 или его обратной величины 0,618. В последовательности Фибоначчи любое данное число примерно в 1,618 раз больше предыдущего, без учета первых нескольких чисел. Каждое число также составляет 0,618 от числа справа от него, опять же без учета первых нескольких чисел в последовательности.

Золотое сечение широко распространено в природе, где оно описывает все, от количества жилок на листе до магнитного резонанса спинов в кристаллах ниобата кобальта.

Ключевые моменты

Числа и линии Фибоначчи создаются соотношениями, найденными в последовательности Фибоначчи.
Общие числа Фибоначчи на финансовых рынках: 0,236, 0,382, 0,618, 1,618, 2,618, 4,236. Эти соотношения или проценты можно найти, разделив определенные числа в последовательности на другие числа.
Хотя это официально не числа Фибоначчи, трейдеры могут также использовать 0,5, 1,0 и 2,0.
Цифры отражают, как далеко цена может зайти после очередного ценового движения. Например, если акция движется с 1 доллара до 2 долларов, к этому могут быть применены числа Фибоначчи. Падение до 1,76 доллара представляет собой откат на 23,6% от движения цены в 1 доллар (округлено).
Два распространенных инструмента Фибоначчи – это коррекция и расширение. Уровни коррекции Фибоначчи измеряют, насколько далеко может зайти откат .
Расширения Фибоначчи измеряют, насколько далеко может зайти импульсная волна .

Формулы для чисел и уровней Фибоначчи

У чисел Фибоначчи нет конкретной формулы, это скорее числовая последовательность, в которой числа имеют определенные отношения друг с другом.

Как рассчитать уровни восстановления Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи может использоваться по-разному для получения уровней восстановления Фибоначчи или уровней расширения Фибоначчи . Вот как их найти. Как их использовать, обсуждается в следующем разделе.

Для коррекции Фибоначчи на графике необходимо выбрать две ценовые точки, обычно максимум и минимум колебания . После того, как эти две точки выбраны, числа / линии Фибоначчи рисуются в процентах от этого движения.

Если акция вырастет с 15 до 20 долларов, то уровень 23,6% составит 18,82 доллара, или 20 долларов – (5 долларов x 0,236) = 18,82 доллара. Уровень 50% составляет 17,50 долларов, или 15 долларов – (5 долларов х 0,5) = 17,50 долларов.

Уровни расширения Фибоначчи также выводятся из числовой последовательности. По мере развития последовательности разделите одно число на предыдущее, чтобы получить коэффициент 1,618. Разделите число на два разряда слева, и получится 2,618. Разделите число на три слева, и получится 4,236.

Расширение Фибоначчи требует трех ценовых точек. Начало движения, конец движения, а затем точка где-то посередине (откат).

Если цена вырастет с 30 до 40 долларов, и эти два ценовых уровня являются точками один и два, то уровень 161,8% будет на 16,18 долларов (1,618 x 10 долларов) выше цены, выбранной для точки три. Если третий пункт равен 35 долларам, уровень расширения 161,8% составляет 51,18 доллара (35 долларов + 16,18 доллара).

Уровни 100% и 200% не являются официальными числами Фибоначчи, но они полезны, поскольку проецируют движение, аналогичное (или кратному) тому, что только что произошло на ценовом графике.

Что вам говорят числа и линии Фибоначчи?

Некоторые трейдеры считают, что числа Фибоначчи играют важную роль в финансах . Как обсуждалось выше, последовательность чисел Фибоначчи может использоваться для создания соотношений или процентов, которые используют трейдеры.

К ним относятся: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8%, 78,6%, 100%, 161,8%, 261,8%, 423,6%.

Эти проценты применяются с использованием множества различных методов:

Коррекции Фибоначчи. Это горизонтальные линии на графике, обозначающие области поддержки и сопротивления .
Расширения Фибоначчи. Это горизонтальные линии на графике, указывающие, где может достигнуть сильная ценовая волна.
Дуги Фибоначчи . Это похожие на компас движения, возникающие из максимума или минимума, которые представляют области поддержки и сопротивления.
Веера Фибоначчи . Это диагональные линии, построенные с использованием максимума и минимума, которые представляют области поддержки и сопротивления.
Часовые пояса Фибоначчи . Это вертикальные линии в будущее, предназначенные для предсказания основных движений цен.

Уровни коррекции Фибоначчи являются наиболее распространенной формой технического анализа, основанного на последовательности Фибоначчи. Во время тренда можно использовать откаты Фибоначчи, чтобы определить, насколько глубоким может быть откат. Импульсные волны – это более крупные волны в направлении тренда, а откаты – это более мелкие волны между ними. Поскольку это меньшие волны, они будут составлять процент от большей волны. В это время трейдеры будут следить за соотношением Фибоначчи от 23,6% до 78,6%. Если цена останавливается около одного из уровней Фибоначчи, а затем начинает двигаться обратно в трендовом направлении, трейдер может открыть сделку в трендовом направлении.

Уровни Фибоначчи используются как ориентиры, возможные области, в которых может развиваться торговля. Цена должна подтвердить, прежде чем действовать на уровне Фибоначчи. Заранее трейдеры не знают, какой уровень будет значительным, поэтому им нужно подождать и посмотреть, какой уровень соответствует цене, прежде чем открывать сделку.

Дуги, вееры, расширения и часовые пояса – это схожие концепции, но они по-разному применяются к диаграммам. Каждый из них показывает потенциальные области поддержки или сопротивления на основе чисел Фибоначчи, примененных к предыдущим ценовым движениям. Эти уровни поддержки или сопротивления можно использовать для прогнозирования того, где цена

может перестать падать или расти в будущем.

Разница между числами Фибоначчи и числами Ганна

веер Ганна и квадрат Ганна. В веере Ганна, например, используются углы в 45 градусов, что Ганн считал особенно важными. Работа Ганна в основном вращалась вокруг циклов и углов. С другой стороны, числа Фибоначчи в основном связаны с отношениями, полученными из последовательности чисел Фибоначчи. Ганн был трейдером, поэтому его методы были созданы для финансовых рынков. Методы Фибоначчи не были созданы для торговли, но были адаптированы к рынкам трейдерами и аналитиками.

Ограничения использования чисел и уровней Фибоначчи

Использование исследований Фибоначчи является субъективным, поскольку трейдер должен использовать максимумы и минимумы по своему выбору. Выбранные максимумы и минимумы повлияют на результаты, которые получит трейдер.

Еще один аргумент против методов торговли числами Фибоначчи состоит в том, что этих уровней так много, что рынок обязательно отскочит или изменит направление около одного из них, что делает индикатор значимым в ретроспективе. Проблема в том, что трудно понять, какое число или уровень будут важны в реальном времени или в будущем.

#Л

Числа Фибоначчи — Справочник химика 21

Рассмотрим теперь алгоритм поиска, использующий числа Фибоначчи. Порядок его выполнения при поиске минимума складывается из следующих этапов [c.509]

Двадцатое число Фибоначчи уже больше 10 000 (см. табл. [c.435]

Начав с листа О , видим, что лист 8 окажется в затененной ориентации по отношению к нему. Чтобы добраться до листа 8 , начиная с нулевого, нужно трижды обогнуть стебель. Отношеие двух чисел, а именно 3/8, показывает, что любой новый лист встречается через каждые 3/8 части стебля. Отношение 3/8 характерно для филлотаксиса (расположение листьев на стебле растения), так же как и значения 1/2, 1/3, 2/5 и даже 5/13. Почти ничего неизвестно об истоках филлотаксиса. Давно было замечено, что числа встречающиеся в этих характеристических соотношениях, таковы I, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. .., а это не что иное, как числа ряда Фибоначчи, в котором каждый последующий член является суммой двух предыдущих. Числа Фибоначчи можно также найти, рассматривая снизу спиралевидное построение сосновых шишек. На рис. 8-16 можно видеть сосновую шишку в двух аспектах. Вид снизу показывает существование 13 левых и 8 правых спиралей из чешуек. Такие спирали с точными числами Фибоначчи обнаружены и в других растениях. Семечки подсолнечника можно рассматривать как спрессованное множество, расположенное вокруг стебля. На рис. 8-17 дано несколько примеров. Вероятно, больше всего поражает то, что продолжение характеристических соотношений в расположении листьев окончательно приводит к чрезвычайно важному иррациональному числу 0,381966.

.., выражающему золотое сечение [c.373]

За кажущейся простотой операции деления в крайнем и среднем отношении скрыто множество удивительных математических свойств и множество форм выражения золотого сечения [66]. Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. [c.60]

Как известно, два первых числа Фибоначчи определены как 1. а последующие есть сумма двух предыдущих. Результат задан как вектор-строка чисел Фибоначчи. [c.74]

Другим примером служит вычисление чисел Фибоначчи, которые играют важную роль при решении проблем оптимизации. Числа Фибоначчи рассчитывают по следующим формулам [c.142]

Для полученного значення N находится такое число Фибоначчи чтобы выполнялось неравенство [c.509]

Числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например, О и 1, 1 и 3 или ] и 4 и т.

п. [c.61]

Числа Фибоначчи являются членами геометрической прогрессии вида [c.61]

ТАБЛИЦА 14 Числа Фибоначчи [c.505]

Указанный процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности [c.507]

Более совершенную процедуру поиска экстремума унимодальной функции одного переменного дает метод Кифера — Джонсона [7]. Ими было показано, что, выполнив п опытов (или вычислений), можно локализовать оптимум в Рп части первоначального интервала, где Рп — я-е число Фибоначчи. Первые два числа Фибоначчи равны Ро = Р = , а последующие определяются рекуррентным соотношением [c.435]

В последнее время в теории распознавания введено понятие кластер и кластерный анализ . Под термином кластер понимается множество точек в пространстве признаков, не пересекающееся с другим множеством, поэтому в нашем случае этот термин является синонимом класс . Однако между кластерным анализом и классификацией имеется некоторая разница. Классификацию можно вести по разным параметрам, например классифицировать катализаторы по активности, селективности или механической прочности. Кластерный же анализ определяет границы между естественными группами реализаций, не пересекающимися, как указывалось, во всем пространстве рассматриваемых признаков. При такой терминологии определение естественной границы классов по алгоритмам без учителя есть кластерный анализ. Методам кластерного анализа посвящен ряд работ [12—14]. Простейшим, возможно не самым экономичным, алгоритмом кластерного анализа при дихотомии является построенный на процедуре поиска экстремума унимодальной функции Кифера — Джонсона [15], использующий числа Фибоначчи [c.110]

ОТОЯ в ток ке направлении, что и предыдущий, но е последовательным уменьшением числе Фибоначчи нахахдои шаге по рис. 5.15 пер- вый шаг окезалоя удачным и выполнен переход в. точку [c.64]

Природа дает множество примеров расположения однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи [67], в областях биологии, астрономии, пропорций человеческого тела, искусства, архитектуры и др, Наличие закона золотой пропорции находится в наиболее фундаментальных областях естествознания. Известно, что ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Чем больше в ядре атома протонов, тем больше в нем и нейтронов. Но с возрастанием номера элемента количество нейтронов превосходит количество протонов. Их число возрастает в таблиие элементов и у урана в ядре содержится 92 протона и 146 нейтронов, число [c.61]

Многое написано о симметрии, например, в музыке Белы Бартока [1]. Однако пока неизвестно и, возможно, мы не узнаем об этом никогда, сознательно ли он применял требования симметрии, или же он чисто интуитивно приходил к числам Фибоначчи и золотому сечению, которые так часто встречаются в его музыке. Другой вопрос, остающийся без ответа, состоит в том, как эта симметричность способствует привлекательности музыки Бартока и насколько большая часть этой привлекательности обязана нашему врожденному стремлению к симметрии. Сам Барток всегда отказывался обсуждать техническую сторону процесса сочинения музыки и лишь любил повторять В нашем творчестве мы следуем за природой .

[c.11]

Фибоначчи числа — Энциклопедия по машиностроению XXL

Природа дает множество примеров расположения однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи. В структ ре многих растений можно обнаружить два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом — против. Числа спиралей того и другого типов обычно являются числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55 [59]. Но проявление чисел Фибоначчи и золотой пропорции не останавливается на живой природе, они применимы практически во всех областях знания, начиная с архитектуры и кончая планетными расстояниями.

[c.76]
При применении метода чисел Фибоначчи должно быть зафиксировано число точек N, в которых производится вычисление критерия оптимальности. [c.289]

Золотое сечение и числа Фибоначчи. [c.144]

Члены прогрессии an-a -q», где п 1, 2, 3, 4, 5, 6… являются числами Фибоначчи an=an,2+an-i, если q будет корнем квадратного уравнения q =l+q. Это [c.146]

Природа дает нам многочисленные примеры структур, описываемых золотой пропорцией и числами Фибоначчи, рассмотренных далее. [c.147]

В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом — против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Так, взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие справа снизу налево вверх. Вместе с тем они же составляют три спирали, идущие слева снизу направо вверх. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе обычно их бывает 8 и 13. [c.147]

Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам Фибоначчи. Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило четного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно чаще, чем с числом строк 13. Эго же справедливо и для интервала 20 — 22 строки [5]. [c.162]

Содержание в различных почвах фосфора, калия и азота, а также продуктивность растительности образуют зеркально-симметричный ряд, который также подчиняется золотой пропорции. Даже по отражательной способности света почвы делятся на ряд, характеризуемый числами Фибоначчи [5]. [c.163]

Известно, что геологическая эволюция Земли носила циклический характер. В истории развития планеты выделено несколько геологических эр и периодов, отвечающих 70, 225, 600, 950, 1700, 2600, 3500 и 4500 миллионов лет [5]. Эти переломные моменты характеризуют переход в качественно новое состояние. Указанные числа близки числам Фибоначчи 1, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, развернутым из настоящего в прошлое [5]. Они отражают основную фундаментальную закономерность эволюции нашей планеты, гармонию ее самоорганизации. [c.164]

Далее В.Д. Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382, а диастолическое 0,618 от среднего давления крови в аорте. Кроме того, работа сердца в отношении объемов желудочков оптимизирована по правилу золотого сечения. По мнению В.Д. Цветкова, организация сердечного цикла в соответствии с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной эволюции млекопитающих, в которой организм стремился обеспечить себя при минимальной затрате энерг ии. [c.167]

Числа Фибоначчи являются членами геометриче-А Со В ской прогрессии вида Оп= [c.75]

Числа Фибоначчи являются членами геометрической прогрессии вида а = где и=1. 2, 3,. .., если q будет корнем квадратного уравнения [c.254]

Несколько эффективней метода дихотомии так называемый метод Фибоначчи, в основу которого положена особая числовая последовательность, применявшаяся математиком XII века Фибоначчи. Этот метод сравнительно недавно разработан американским математиком Кифером [26]. Как и метод дихотомии, метод Фибоначчи выражается правилом деления каждого очередного интервала неопределенности, но не на две, а на три части, и не приращением А/ (х), а результатом одного вычисления в отличие от метода дихотомии, но так же, как при способе направленного перебора, число вычислений в каждом конкретном случае применения метода Фибоначчи колеблется в зависимости от непредвиденных сочетаний обсчитываемых точек и точки минимума х на каждом шаге поиска. Поэтому в отношении метода Фибоначчи применим только минимаксный принцип оптимальности, что обязательно надо иметь в виду, рассматривая изложенное ниже обоснование метода. [c.158]

Заметим, что поиск методом Фибоначчи, таким образом, можно начать, задавшись длиной остаточного интервала неопределенности или числом вычислений. Если это затруднительно, можно воспользоваться методом золотого сечения, который характеризуется примерно такой же эффективностью (см. [26]). [c.161]

Величину с откладываем от точки В на линии АВ. Число с=0,618 а получается из следующего ряда дробей (ряд Фибоначчи) [c.30]

К бесконечной десятичной дроби Ф можно прийти различными путями. Так, если брать число Ф с различной Точностью в виде отношения двух простых чисел, как это и принято на практике, то окажется, что все эти числа составят ряд, известный под названием ряда Фибоначчи (Ламэ) О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, [c. 69]

Развиваются двоичные системы, веса разрядов к-рых находятся не в естественном (2), а в более сложном соотношении, образуя, напр., ряд Фибоначчи (или золотую пропорцию ) [1]. Число N в коде Фибоначчи представляется соотношением [c.397]

Согласно методу чисел Фибоначчи, используют числа Фибоначчи последовательность которых образуется по правилу при Rg = R =l, т. е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. .. Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициент а равен отношению R.JR., начальное значение i определяется из условия, что / .должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину В -А) Е, где Е — заданная допустимая погрешность определения экстремума. Так, если (В-А)/Е = 100, то начальное значение i = 12, поскольку R= 144, и а = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет а = 34/89 = 0,3820 и т. д. [c.160]

Самоподобие эволюционных процессов и числа Фибоначчи [c. 152]

Следует отметить аналогию между золотым отношением, универсальным законом Фейгенбаума и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, например [c.153]

Метод Фибоначчи — это оптимальный последовательный метод, т.е. метод, обеспечивающий максимальное гарантированное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Он основан на использовании чисел Фибоначчи F , задаваемых рекуррентной формулой Fjj = I + 9 для n > 2 и начальными значениями Fq = 1, F, = 1. [c.139]

Особенностью этого ряда является то, что каждое последующее число Фибоначчи равно сумме двух предыдущих (N 2) [c.207]

Метод золотого сечения свободен от недостатка, присущего методу Фибоначчи, связанного с необходимостью назначения числа испытаний N. Но по эффективности метод золотого сечения в 1,17 раза хуже метода Фибоначчи. Метод золотого сечения отличается от метода Фибоначчи также процедурой проведения первых двух испытаний [c.208]

Другим уникальным свойством чисел Фибоначчи является то, что с ростом их номеров отнощения последующего к предыдущему, например, а(о / ад = 55/34 = 1,6176…., аи / = 89/55 = 1,6182. .. стремятся к золотому числу, то есть lim а,/ a +i = Ф = 1,618034… [c.27]

Природа дает множестпо примеров распололсепия однородных элементов, описываемых числами Фибоначчи. В структуре многих растений можно обнаружить два семейства спиралей. В одно.м из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, з в другом — против. Числа спиралей того и другого типов обычно являются числами Фибоначчи. Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские [c.254]

За кажупдейся простотой деления отрезка на части по указанному алгоритму скрыто множество математических свойств и многообразия выражения пропорции золотого сечения ( золотой пропорции ).

Прежде всего следует отметить аналогию между золотой пропорцией и последовательностью чисел Фибоначчи. Напомним, что числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. За начало такого ряда можно принять любые два числа, например, О и 1, 1 и 3 и т.п. [c.145]

Рисунок 3.3 — Рост дерева в соответствии с правилом Фибоначчи [2J Пусть некоторое дерево растет так, что каждая новая ветвь в первый год только тянется вверх или в сторону, а затем, начиная со второго года дает по одному боковому побегу (см. рисунок 3.3), Легко заметить, что у двухлетнего дерева имеегся (олько одна ветвь, у трехлетнего — две, у четырехлегнего число ветвей увеличивается до трех, у пятилетнего — до пяти, у шестилетно о — до восьми и т.д. в соответствии с последовательностью Фибоначчи, поскольку число ветвей равно сумме ветвей, которые были год назад, и вновь появившихся побегов.

Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и в их структуре — числе строк в стихах, числе стихов в произведении.

Некоторые стихи построены по схеме 5 8, 5 3, 3 8, 5 8, 8 8. У А.С. Пушкина есть стихотворения с числом строк 13 и 21, то есть с нечетным числом строк, что явно не соответствует распространенным канонам стихосложения. Числа Фибоначчи определяют во мнотих случаях и внутреннюю композицию стихотворений число стихов и число строк в них. [c.162]

Указанные соотношения обеспечивают резонанс планет Солнечной системы, ее устойчивость [5]. К. Бутусов установил также, что ряд параметров планет (масса, объем, орбитальный момент, ускорение силы тяжести) пропорциональны числам Фибоначчи или производным им числам Люка. [c.165]

При применении метода Фибоначчи для отыскания точки А,, при которой 5оп(Х ) достигает минимума, прежде всего зададимся длиной остаточного интервала неопределенности S (т ) пусть 2 ост ( i ) = 0,04. Для того чтобы определить число вычислений, при So T ( г ) = 0,04 и при S (1) = 5,0, в соответствии с (8.10), [c.165]

Л = а 1ф (и — 1)-1-а ,ф (л —2)+. . . +Яоф (0), (4) где ф(га) — числа Фибоначчи, связанные соотиощекием ф п) = ф л —1)+ф(п —2), ф(0) 1, ф(1) = 2. Разложение (4) числа N неоднозначно. Для любого N существует код, в к-ром не встречается двух следуй щи.х подряд нулей, а также код, в к-ром по соседствуют единицы. Эти, а также др. структурные особенности кодов Фибоначчи и золотых кодов делают их удобными для построения самокорректирующихся преобразователей, запоминающих и вычислит, устройств, сервоприводов с цифровым управлеписм и т. п. [c.397]

Методы Фибоначчи и золотого сечения позволяют достичь наилучшей точности при ограниченном числе вычислений значений функций ц>(х) благодаря сокращению числа вы-, числений до одного на каждом шаге после вы-. бора начального отрезка foo, йо1г содержащего точку X, Методы имеют единую схему - [c.131]

Известно множество примеров своеобразной упорядоченности структур как живой, так и неживой природы, заключающейся в особом расположении однородных элементов, описываемом числами Фибоначчи. Это явление было известно еще Кеплеру и обсуждалось многими гениальными естествоиспытателями. Великим поэтом Гете, который, будучи естествоиспытателем, также интересовался этой проблемой, данный вид структурного упорядочения был назван филлотаксисом. Явление филлотаксиса тесно связано с самоподобием процессов образования и эволюции равновесных и неравновесных структур. [c.152]

Очевидно, что свойство самоподобного преобразования структур заложено в растениях генетическим кодом. Поэтому сами структуры обычно обладают свойством самоподобия, или, в более общем случае, свойством самоаффинности. Это позволило предположить, что некоторые инварианты, которые мы наблюдаем в макроскопическом масштабе, связаны с золотым отношением, сохраняющимся в микроскопических масштабах вплоть до атомного уровня. Примером этого могут служить химические соединения, в стехиометрии которых встречаются числа Фибоначчи. Названию «золотое сечение» (или «золотое число») мы обязаны Леонардо да Винчи. Его также называли «божественным». Эти эпитеты отражали обнаруженную универсальность феномена, подтвержденную в дальнейшем законами физического и биологического миров. [c.154]

Золотая пропорция отражает наивысшее проявление самоподобия множеств [18]. Развитие синергетики придало новую жизнь золотому числу в научных исследованиях после его многовекового триумфального шествия в архитектуре и живописи. Значимость золотой пропорции в решении фундаментальных проблем современной науки была сформулирована в [18-21] По существу мы имеем дело с глобальным антиэнтропий-ным направленным процессом организации, несущим универсальный алгоритм (Быстров М.В. [19]), Золотая пропорция представляет симметрию во многих явлениях окружающего нас мира. Золотое сечение и числа Фибоначчи, представляя гармоничность оптимизации систем, выражают в то же время постоянство и изменчивость структур живой и йеживой природы. Особые свойства золотой пропорции позволяют ввести это, гово- [c. 25]

Числа Фибоначчи — это… Что такое Числа Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)^[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: :

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко заметить, что .

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц будет равна . В это время только те кролики, которые жили в месяце , являются способными к размножению и производят потомков, тогда пар прибавится к текущей популяции . Таким образом общее количество пар будет равно:

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:

где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.

Тождества

Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых n чисел Фибоначчи^[2].

И более общие формулы:

Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть

, а также ,

где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.

Свойства

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. . Следствия:

Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни и .
Отношения являются подходящими дробями золотого сечения и, в частности,
Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.
В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,^[3] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
, , , .
Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.^[4]

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:
1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом.^[5]
Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.^[6]
Число Фибоначчи равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних нулей. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а — начинающихся с единицы.

Вариации и обобщения

В других областях

Следует отметить, что существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространенный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат^[7]^[8].

В природе

В культуре

Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал анаграмму на основе последовательности Фибоначчи.
Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку^[14] и главном вокзале Цюриха^[15].
В фильме «Двадцать одно» (англ. 21) последовательность Фибоначчи представлена в виде надписи на торте.
«Ряд Фибоначчи» — дополнительное название песни 2012 года «Новый сигнал из космоса» российской рок-группы «Сплин».
В java-игре Doom RPG для мобильных телефонов в «Проходе» после прохождения 7 сектора есть секретная дверь, кодом которой являются числа Фибоначчи
Числам Фибоначчи посвящён один их шуточных лимериков Джеймса Линдона^[16]:

     Плотная пища жён Фибоначчи
     Только на пользу им шла, не иначе.
     Весили жёны, согласно молве,
     Каждая — как предыдущие две.

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Применение чисел Фибоначчи в наше время – Collège Jules Ferry

Навигация по странице

Попробуем объединить теорию Золотого сечения и известного ряда итальянского математика. Подрисуем рядом такую же фигуру с длиной стороны, равной сумме двух предыдущих сторон. Аналогичным образом рисуем квадрат пятого размера. И так можно продолжать до бесконечности, пока не надоест.

Этот ряд имеет несколько математических нюансов, которые обязательно нужно рассмотреть. Он, приближаясь медленнее и медленнее (асимптотически), стремится к некоему пропорциональному соотношению. Другими словами, представляет собой число с непредсказуемой и бесконечной последовательностью десятичных чисел в дробной части.

Какие-то нас привлекают больше, какие-то меньше, а некоторые и вовсе не нравятся. Замечено, что симметричный и пропорциональный объект гораздо легче воспринимается человеком и вызывает чувство гармонии и красоты. Цельный образ всегда включает в себя части различного размера, которые находятся в определенном соотношении друг с другом.

ТАЙНЫ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

Такого типа пропорцию можно встретить абсолютно везде — и в природе, например в структуре ДНК, и в произведениях великих художников. группам крови отвечает отношениям чисел 8/ 21 /34. В состав крови человека входят красные кровяные тела (эритроциты), белые кровяные тела (лейкоциты) и тромбоциты. Эти три типа кровяных тел содержатся в пропорции 62/ 32 /6. Отношения числа эритроцитов к двум остальным телам крови отвечает золотой пропорции.

Последовательность чисел Фибоначчи

Отсюда вытекает ответ на вопрос о том, что называют Золотым сечением. Данное понятие означает совершенство соотношений целого и частей в природе, науке, искусстве и т. С математической точки зрения рассмотрим следующий пример. Возьмем отрезок любой длины и разделим его на две части таким образом, чтобы меньшая часть относилась к большей как сумма (длина всего отрезка) к большей. Его часть а будет равна 0,618, вторая часть b, выходит, равна 0,382.

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел. Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении листьев на стеблях растений, лепестков на цветке розы, в спиралевидном найти числа фибоначчи применение в ютюбе расположении семян в сосновой шишке, головке подсолнечника, ананасе и кактусе. И эта закономерность математически выражается числами Фибоначчи и золотой пропорцией! И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единому закону – «закону золотого сечения» – и раскрыть и объяснить этот фундаментальный закон природы во всех его проявлениях и есть главная задача науки.

Если заглянем подальше, то увидим последовательность Фибоначчи в бесконечных галактиках. Даже человек, вдохновляясь от природы и перенимая ее формы, создает предметы, в которых прослеживается вышеупомянутый ряд.

Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1.618. В геометрии золотой http://x1l.ru/volny-bollindzhera-v-torgovle-na-foreks/ спиралью называется логарифмическая спираль, скорость роста которой равна числу Фи – золотой пропорции или золотому коэффициенту Фибоначчи.

‌Спираль Фибоначчи также является аппроксимацией Золотой спирали и строится подобно последней, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов. Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т. д. Таким образом, суммарной последовательностью Фибоначчи можно легко трактовать закономерность проявлений «Золотых» чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет.

Числа и коэффициенты последовательности Фибоначчи, золотое число Фи и золотое сечение очень широко используются в геометрии и имеют тесную связь с другими геометрическими фигурами, называемыми «золотыми». Для начала рассмотрим геометрические характеристики, так называемого, «золотого прямоугольника», который имеет следующее геометрическое определение.

Числовой ряд фибоначчи золотое сечение Последовательность фибоначчи и принципы золотого сечения. Пояснение о золотом сечении

Если включить фантазию, то полученный рисунок можно проассоциировать с раковиной моллюска. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи – найти числа фибоначчи применение в гугле это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире. Все окружающие нас предметы мы различаем по определенным критериям.

Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов.
‌Спираль Фибоначчи также является аппроксимацией Золотой спирали и строится подобно последней, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины.
Пересчитаем лепестки некоторых цветов —ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д.
Эти законы действуют независимо от нашего сознания и желания принимать их или нет.

Как вы уже поняли, они также являются обратно пропорциональными. Полученные числа называются https://fxsteps.info коэффициентами Фибоначчи. А теперь объясним, для чего мы выполняли эти вычисления.

Волновая теория Эллиотта и Числа Фибоначчи

Таким образом, мы соблюдаем условие Золотого сечения. Получаем уже известные нам коэффициенты Фибоначчи. По такому же принципу строятся золотой треугольник, золотой прямоугольник и золотой кубоид. Стоит также отметить, что пропорциональное соотношение частей тела человека близко к Золотому сечению.

Например, соотношение любого элемента ряда варьируется около цифры 1,618, то превосходя, то достигая его. Если мы поделим элементы через один, то получим 2,618 и 0,382.

Подобные целочисленные последовательности

Для определения последовательности необходимо знать три его элемента, которые идут друг за другом. Для Золотой последовательности же достаточно и двух. Так как она является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Пересчитаем лепестки некоторых цветов – ириса с его 3 лепестками, примулы с 5 лепестками, амброзии с 13 лепестками, нивяника с 34 лепестками, астры с 55 лепестками и т.д. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи – это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире.

Прямоугольник называется «золотым», если в нем отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции. Как выбрать брокера forex в 2020 Таким образом, число 0,618 (или 1,618) известно как золотой коэффициент, или золотая середина.

«Золотая спираль» Прямоугольник

Главное, чтобы величина стороны каждого последующего квадрата равнялась сумме величин сторон двух предыдущих. Получаем серию многоугольников, длина сторон которых является Основы биржевой торговли числами Фибоначчи. Проведем плавную линию через углы наших многоугольников и получим… спираль Архимеда! Увеличение шага данной фигуры, как известно, всегда равномерно.

Когда мы ведём числовую последовательность в порядке увеличения, то отношений каждого числа к последующему стремится к значению 0.618. При ведении последовательности в порядке убывания, отношение каждого числа к предыдущему стремится к усреднённому значению 1.618. Каждое отдельное число в последовательности имеет связь с другим числом, расположенным через одно.

Наряду с закономерностью Фибоначчи прослеживаются принципы данной теории. Закономерность природы такова, что она должна иметь свою точку отсчета, от чего отталкиваться для создания чего-то нового. Отношение первых элементов ряда Фибоначчи далеки от принципов Золотого сечения. Однако чем дальше мы его продолжаем, тем больше это несоответствие сглаживается.

Если присмотреться, то спираль Архимеда (где-то явно, а где-то завуалированно) и, следовательно, принцип Фибоначчи прослеживаются во многих привычных природных элементах, найти числа фибоначчи применение в википедии окружающих человека. Например, все та же раковина моллюска, соцветия обычной брокколи, цветок подсолнечника, шишка хвойного растения и тому подобное.

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью, с которой их часто путают. Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, у которого отношение между длиной и шириной равно золотой пропорции. Этот прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный прямоугольник и его, в свою очередь, разделить тем же образом. В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618.

Что такое Числа Фибоначчи — Узнай Что Такое

Числа Фибоначчи — это последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Следующее число можно посчитать, сложив два числа перед ним.

Т. е. 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; …

Более формальное определение ряда Фибоначчи можно показать следующим равенством:

Более длинный список последовательности чисел Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,…

Запомнить его довольно просто: нужно только помнить, что первые два числа — это 0 и 1, и начать складывать. И за этим занятием можно просидеть сутками.

«Золотое число» или «Золотое сечение»

Если разделить два последовательных числа друг на друга (например 55 разделить на 34), всегда получится приблизительно 1,618 (обозначается как Φ = 1,618, читается как «фи», это буква греческого алфавита).

1,618 называется «Золотое число» или «Золотое сечение«.

55 / 34 = 1,6176

89 / 55 = 1,61818

377 / 233 = 1,618

Использование золотого сечения для вычисления чисел Фибоначчи

Можно вычислить любое число Фибоначчи, используя золотое сечение следующими способами

Формулой

Например, можно попробовать посчитать для n = 10 (внимание, это будет одиннадцатое число в ряду!)

Получился такой ответ:

Умножением предыдущего числа на золотое сечение

Этот способ работает для чисел выше 1. Можно рассчитать число Фибоначчи, умножив предыдущее число на золотое сечение (1,618), а затем округлив полученный результат.

Например:

13 x 1,618 = 21,034 ≈ 21

55 x 1,618 = 88,99 ≈ 89

377 x 1,618 = 609,986 ≈ 610

Золотая спираль Фибоначчи

Это спираль, которая выглядит следующим образом:

Числа Фибоначчи — последовательность чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Как можно видеть на изображении, тут представлен числовой ряд Фибоначчи как спираль. Она начинается в центре с двух квадратов 1×1, за ними следуют квадраты 2×2, 3×3, 5×5 и так далее.

Числа Фибоначчи в природе

Фотография «Алоэ многолистное» (Aloe polyphylla), на фото можно увидеть спираль Фибоначчи в природе. «Спираль ракушки», фотограф Muffett68 Heidi; ещё один пример спирали Фибоначчи в природе.

В этом видео «ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ УДИВИТЕЛЬНАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ» ещё больше примеров чисел Фибоначчи в природе и в мире вокруг нас.

Числа Фибоначчи в архитектуре

В строениях древней архитектуры мы зачастую можем ощущать некую гармонию пропорций. И это неслучайно, ведь на протяжении многих веков архитекторы пользуются этим магическим числом золотого сечения. Число 1,618 можно заметить и в творчестве средневековья, и в современных произведениях архитектурного искусства.

Здание SOMISA в Буэнос-Айресе, Аргентина; архитектор Марио Роберто Альварес, окончание строительства 1977 г.

Пример использования золотого числа в древней архитектуре:

Пантеон в Париже

Любопытные факты

Давайте ещё раз посмотрим на последовательность чисел Фибоначчи:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597

Каждое n-е число кратно

Если внимательно посмотреть на цифры, можно рассмотреть удивительную закономерность:

посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 6-ой, 9-ый, 12-ый… Каждый третий элемент делится на 2!
посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 8-ой, 12-ый, 16-ый… Каждый четвёртый элемент делится на 3!
посмотрите на , а потом взгляните на последующие элементы: 10-ый, 15-ый… Каждый пятый элемент делится на 5!

Первые 6 цифр Фибоначчи — 1/89

Если посчитать на калькуляторе 1 : 89 будет ответ 0,011235955… Заметили, что первые 6 цифр после запятой — ряд Фибоначчи?

День Фибоначчи 23/11

День Фибоначчи — 23 ноября (11/23; в американском формате дат месяц идёт первым, а день вторым), так как в нём присутствуют цифры «1, 1, 2, 3», которые являются частью последовательности. 23 ноября можно всех поздравлять с Днём Фибоначчи!

Смотрите также значение Натуральных чисел, Числа Пи и Экспоненты.

Замечательные свойства чисел Фибоначчи — СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1^°. f₁ + f₂ + … + f_n = f_n+2 — 1.

(1)

Доказательство.

f₁ = f₃ — f₂

f₂ = f₄ — f₃

…

f_n-1 = f_n+1 — f_n

f_n = f_n+2 — f_n+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f₁ + f₂ + … + f_n = f_n+2 — f₂,и так как f₂ = 1, получим (1).

2^°. f₁ + f₃ + f₅ + … + f_2n-1 = f_2n.

3^°. f₂ + f₄ + … + f_2n = f_2n+1 — 1.

Свойства 2^° — 3^° доказываются аналогично 1^°.

4^°. f₁² + f₂² + … + f_n² = f_n·f_n+1.

(2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

f_n·f_n+1 — f_n-1f_n = f_n(f_n+1 — f_n-1) = f_n² (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f₁² = f₁·f₂,

f₂² = f₂·f₃ — f₁·f₂,

f₃² = f₃·f₄ — f₂·f₃,

…

f_n² = f_n·f_n+1 — f_n-1·f_n.

Складывая эти равенства почленно получаем (2).

5^°. Показать, что f_n+m = f_n-1·f_m + f_n·f_m+1,

(3)

где f_n обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.

Доказательство. Зная общий вид члена f_n (см. (2)) можно подставив его в показать, что имеет место (3) равенство. Докажем (3 ) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.

Для m = 1, равенство (3) примет вид

f_n+1 = f_n-1·f₁ + f_n·f₂,что очевидно. При m = 2 формула (3) также очевидна. Действительно,f_n+2 = f_n-1f₂ + f_nf₃ = f_n-1 + 2f_n = f_n-1 + f_n + f_n = f_n+1 + f_n.

Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (3) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (3) верно и для m = k + 2.

Таким образом, пусть верны равенства

f_n+k = f_n-1f_k + f_nf_k+1,

f_n+k+1 = f_n-1f_k+1 + f_nf_k+2.

Суммируя почленно последниие равенства, получим равенствоf_n+k+2 = f_n-1·f_k+2 + f_n·f_k+3,которое представляет (3) при m = k + 2.

6^°. f_2n = f_n-1f_n + f_n·f_n+1.

Доказательство следует из (3) при m = n.

7^°. Член f_2n делится на f_n.

Доказательство. Из 6^° следует

f_2n = f_n(f_n-1 + f_n+1),откуда следует, что f_2n f_n.

8^°.

9^°.

Свойства 8^° — 9^°, являющиеся прямыми следствиями 6^°, предлагается доказать самостоятельно.

10^°. f_n² = f_n-1f_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹

(4)

Доказательство. Будем доказывать равенство (4) индукцией по n. При n = 2 равенство (4) преобразуется в справедливое равенство

f₂² = f₁·f₃ — 1,

Предположим, что равенство (4) справедливо для n и докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть справедливо равенство

f_n² = f_n-1·f_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹.Прибавим к обеим частям последнего равенства f_n·f_n+1. В результате получимf_n² + f_n·f_n+1 = f_n-1·f_n+1 + f_n·f_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹,илиf_n(f_n + f_n+1) = f_n+1(f_n-1 + f_n) + (-1)ⁿ⁺¹,и так как f_n+2 = f_n + f_n+1 (см. определение последовательности Фибоначчи), заключаем чтоf_nf_n+2 = f_n+1² + (-1)ⁿ⁺¹,илиf_n+1² = f_n·f_n+2 + (-1)ⁿ⁺².Следовательно (4) справедливо и для n + 1.

11^°. Показать, что если n делится на m, то f_n делится на f_m.

Доказательство. Пусть n m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11^° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно f_n делится на f_m. Предположим, что f_mk делится на f_m. Рассмотрим f_m(k+1). Из равенства f_m(k+1) = f_mk+m на основании соотношения (3) получим

f_m(k+1)² = f_mk-1f_m + f_mk·f_m+1.Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на f_m. Второй член делится на f_m согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на f_m, и значит, f_m(k+1) f_m. Свойство 11^° доказано.

чисел Фибоначчи — определение, правила, типы, примеры

Числа Фибоначчи — это особые виды чисел, которые образуют особую последовательность. Эта последовательность — одна из самых известных математических формул. Вы можете найти числа Фибоначчи в структурах растений и животных. Эти числа также называют универсальным правилом природы и секретным кодом природы.

В этой статье давайте узнаем о числах Фибоначчи, их последовательности с правилами и решенных примерах.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи представляют собой последовательность целых чисел, расположенных как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ,… Вот несколько интересных фактов о числах Фибоначчи:

Как показано ниже, числа Фибоначчи можно представить в виде спирали, если мы построим квадраты с такой шириной. На данном рисунке мы видим, как квадраты аккуратно сочетаются друг с другом. Например, 5 и 8 в сумме дают 13, 8 и 13 в сумме дают 21, и так далее.

Формула Фибоначчи

Числа Фибоначчи следуют определенной схеме. Чтобы найти числа Фибоначчи в последовательности, мы можем применить формулу Фибоначчи.Связь между последовательным числом и двумя предыдущими числами может использоваться в формуле для вычисления любого конкретного числа Фибоначчи в ряду с учетом его положения.

Формула для поиска чисел Фибоначчи

Формула для вычисления (n + 1) ^{-го числа} в последовательности чисел Фибоначчи может быть задана как,

\ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)

где,
n> 1
F \ (_ {n-1} \) — n ^th Число Фибоначчи
F \ (_ {n-2} \) — (n — 1) ^th Число Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи даны как:

Первое число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_0 \) = 0, а второе число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_1 \) = 1
подчиняются правилу, согласно которому \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \), где n> 1
Третье число Фибоначчи задается как \ (F_2 = F_ {1} + F_ {0} \).Как известно, \ (F_0 \) = 0 и \ (F_1 \) = 1, значение \ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
Последовательность чисел Фибоначчи выглядит как 0, 1, 1, 2 и так далее.

Правило для чисел Фибоначчи, если его объяснить простыми словами, гласит, что каждое число в последовательности является суммой двух чисел, предшествующих ему в последовательности.

Как мы можем вычислить числа Фибоначчи?

Давайте посчитаем числа Фибоначчи, используя правило из приведенного выше раздела.Последовательность задается как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Давайте посмотрим, как появляются первые десять членов в последовательности. Если свести расчет в таблицу, получим:

n	Срок	\ (F_ {n-1} \)	\ (F_ {n-2} \)	\ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \) _, (для n> 1)
0	Первая	–	–	\ (F_0 \) = 0
1	Второй	\ (F_ {0} \) = 0	–	\ (F_1 \) = 1
2	Третий	\ (F_1 \) = 1	\ (F_0 \) = 0	\ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
3	Четвертый	\ (F_2 \) = 1	\ (F_1 \) = 1	\ (F_3 \) = 1 + 1 = 2
4	Пятая	\ (F_3 \) = 2	\ (F_2 \) = 1	\ (F_4 \) = 2 + 1 = 3
5	Шестой	\ (F_4 \) = 3	\ (F_3 \) = 2	\ (F_5 \) = 3 + 2 = 5
6	Седьмой	\ (F_5 \) = 5	\ (F_4 \) = 3	\ (F_6 \) = 5 + 3 = 8
7	восьмой	\ (F_6 \) = 8	\ (F_5 \) = 5	\ (F_7 \) = 8 + 5 = 13
8	Девятая	\ (F_7 \) = 13	\ (F_6 \) = 8	\ (F_8 \) = 13 + 8 = 21
9	Десятый	\ (F_8 \) = 21	\ (F_7 \) = 13	\ (F_9 \) = 21 + 13 = 34

Из приведенной выше таблицы мы можем сделать вывод, что:

В последовательности, образованной числами Фибоначчи, первый член всегда равен 0, а второй член всегда равен 1.
Результат, полученный в столбце 4 ^,, представляет собой суммирование значений в столбце 2 ^-й и 3 ^{-й столбец}, которые представляют два предыдущих числа.

Согласно некоторым старым определениям, значение \ (F_ {0} \) = 0 опускается, поэтому список чисел Фибоначчи начинается с \ (F_ {1} \) = \ (F_ {2} \) = 1. \ (F_ {n} \) = \ (F_ {n-1} \) + \ (F_ {n-2} \) действительно для n> 2. Но согласно исходному определению числа Фибоначчи начинаются с \ (F_ {1} \) = 1 и \ (F_ {2} \) = 2.

Список чисел Фибоначчи

Используя формулу чисел Фибоначчи и метод поиска последовательных членов в последовательности, образованной числами Фибоначчи, описанных в предыдущем разделе, мы можем сформировать список чисел Фибоначчи, как показано ниже,

\ (F_0 \) = 0	\ (F_ {10} \) = 55
\ (F_1 \) = 1	\ (F_ {11} \) = 89
\ (F_2 \) = 1	\ (F_ {12} \) = 144
\ (F_3 \) = 2	\ (F_ {13} \) = 233
\ (F_4 \) = 3	\ (F_ {14} \) = 377
\ (F_5 \) = 5	\ (F_ {15} \) = 610
\ (F_6 \) = 8	\ (F_ {16} \) = 987
\ (F_7 \) = 13	\ (F_ {17} \) = 1597
\ (F_8 \) = 21	\ (F_ {18} \) = 2584
\ (F_9 \) = 34	\ (F_ {19} \) = 4181

Свойства чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи используются во многих компьютерных алгоритмах, таких как кубы Фибоначчи, структура данных кучи Фибоначчи и метод поиска Фибоначчи.Давайте посмотрим на различные свойства чисел Фибоначчи в зависимости от положения числа выше и ниже нуля.

Первые 10 чисел Фибоначчи в последовательности могут быть представлены как:

\ (F_0 \)	\ (F_1 \)	\ (F_2 \)	\ (F_3 \)	\ (F_4 \)	\ (F_5 \)	\ (F_6 \)	\ (F_7 \)	\ (F_8 \)	\ (F_9 \)
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

Последовательность чисел Фибоначчи может быть расширена до отрицательного индекса n также путем изменения рекуррентного отношения \ (F_ {n-2} \) = \ (F_ {n} \) — \ (F_ {n-1} \)
Это дает последовательность чисел Негафибоначчи, которая имеет соотношение \ (F _ {- n} \) = (-1) ^{n + 1} × \ (F_ {n} \)

Таким образом, для чисел Фибоначчи двунаправленная последовательность выглядит так:

\ (F _ {- 5} \)	\ (F _ {- 4} \)	\ (F _ {- 3} \)	\ (F _ {- 2} \)	\ (F _ {- 1} \)	\ (F_ {0} \)	\ (F_ {1} \)	\ (F_ {2} \)	\ (F_ {3} \)	\ (F_ {4} \)	\ (F_ {5} \)
5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5

Из приведенной выше таблицы видно, что числа Фибоначчи ниже нуля такие же, как числа Фибоначчи выше нуля, с той лишь разницей, что они следуют паттерну + — + -.Интересно отметить, что числа Фибоначчи используются при планировании покерных игр.

Отношение чисел Фибоначчи к золотому сечению

Если взять любые два последовательных числа Фибоначчи, их отношение будет очень близко к 1,618034. Возьмем случайный пример двух последовательных чисел:

Пусть A = 13, B = 21 и разделим B на A. Получаем 21 ÷ 13 = 1,625.
Это соотношение последовательных чисел Фибоначчи известно как золотое сечение.

Мы можем вычислить любое число Фибоначчи, используя это золотое сечение по следующей формуле: \ (F_ {n} \) = ((ɸ) ⁿ — (1 − ɸ) ⁿ) ÷ √5. Здесь ɸ = 1,618034.

Вычислим \ (F_ {6} \) = ((1.618034) ⁶ — (1− 1.618034) ⁶) ÷ √5. Когда этот расчет выполняется с помощью калькулятора, мы получаем значение \ (F_ {6} \) как 8.00000033, которое при округлении до ближайшего целого числа становится 8.

Числа Фибоначчи в природе

Мы можем найти числа Фибоначчи повсюду в природе.Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, следуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Одним из практических применений концепции чисел Фибоначчи является то, что она применялась при построении Великой пирамиды в Гизе.

Статьи по теме:

Проверьте следующие страницы, связанные с числами Фибоначчи

Важные замечания о числах Фибоначчи:

Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении чисел Фибоначчи

Концепция чисел Фибоначчи применима только для целых и десятичных чисел с финансовой точки зрения.
Последовательность чисел Фибоначчи также применима к числам ниже нуля.
Первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда 1.

Часто задаваемые вопросы о числах Фибоначчи

Почему числа Фибоначчи так важны?

Числа Фибоначчи находят множество практических приложений в компьютерных технологиях, музыке, финансовых рынках и во многих других областях. Числа Фибоначчи существуют в природе в различных формах и образцах.

Является ли 0 числом Фибоначчи?

Да, 0 — это число Фибоначчи, и это первое число Фибоначчи. Обозначается F \ (_ 0 \).

Бесконечны ли числа Фибоначчи?

Да, список Фибоначчи состоит из бесконечных чисел Фибоначчи, где каждое число вычисляется простым сложением двух чисел, стоящих перед ним. Каждое число в последовательности чисел Фибоначчи представлено как F \ (_ n \).

Есть ли формула для поиска чисел Фибоначчи?

Да, есть формула для нахождения чисел Фибоначчи.Числа Фибоначчи следуют этой формуле, согласно которой F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где F \ (_ n \ ) является (n + 1) ^{-м членом} и n> 1. Первое число Фибоначчи выражается как F \ (_ 0 \) = 0, а второе число Фибоначчи выражается как F \ (_ 1 \) = 1.

Как рассчитать числа Фибоначчи?

Рядов Фибоначчи в зависимости от их положения в ряду можно рассчитать, используя общую формулу для чисел Фибоначчи, заданную следующим образом: F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {( n-2)} \), где F \ (_ n \) — это (n + 1) ^{-й член} и n> 1.

Какова формула для нахождения чисел Фибоначчи?

Формула для нахождения (n + 1) ^{-го члена} в последовательности, образованной числами Фибоначчи, может быть задана как F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где n> 1.

Каковы применения чисел Фибоначчи?

Числа Фибоначчи имеют различные приложения в области математического и финансового анализа. Мы используем числа Фибоначчи в вычислительном анализе времени выполнения алгоритма Евклида, чтобы найти HCF.Кроме того, многие закономерности в природе можно изучать с помощью чисел Фибоначчи.

Каковы первые 10 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Здесь мы видим, что первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда равно 1.

Что такое числа Фибоначчи в природе?

Мы можем найти числа Фибоначчи повсюду в природе. Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, следуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Каковы первые 20 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Является ли 33 числом Фибоначчи?

Нет, 33 не является числом Фибоначчи, поскольку его нет среди первых 10 чисел Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

Список чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой каждое число является суммой двух предыдущих чисел, начиная с 0 и 1. То есть F _n = F _n-1 + F _n-2, где F ₀ = 0, F ₁ = 1 и n≥2. Последовательность, образованная числами Фибоначчи, называется последовательностью Фибоначчи.

Ниже приводится полный список первых 10, 100 и 300 чисел Фибоначчи.

Первые 10 чисел Фибоначчи

1. 1

2. 1

3. 2

4. 3

5. 5

6. 8

7. 13

8. 21

9. 34

10. 55

Первые 100 чисел Фибоначчи

Первые 100 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи, указанные выше, и числа в этом разделе.

11. 89

12. 144

13. 233

14. 377

15. 610

16. 987

17. 1597

18. 2584

19. 4181

20. 6765

21. 10946

22. 17711

23. 28657

24. 46368

25. 75025

26. 121393

27. 196418

28. 317811

29. 514229

30. 832040

31. 1346269

32. 2178309

33. 3524578

34. 5702887

35. 65

36. 142

37. 24157817

38. 369

39. 63245986

40. 102334155

41. 165580141

42. 2676

43. 4334

44. 701408733

45. 11340

46. 1836311903

47. 2971215073

48. 4807526976

49. 7778742049

50. 12586269025

51. 20365011074

52. 32951280099

53. 533162

54. 86267571272

55. 139583862445

56. 225851433717

57. 365435296162

58. 5

729879

59. 956722026041

60. 1548008755920

61. 2504730781961

62. 4052739537881

63. 6557470319842

64. 10610209857723

65. 17167680177565

66. 277778
288

67. 440212853

68. 72723460248141

69. 1176660994

70. 14135

71. 308061521170129

72. 498454011879264

73. 806515533049393

74. 13049695447

75. 2111485077978050

76. 3416454622

77. 55270884757

78. 894437

79. 14472334024676221

80. 23416728348467685

81. 3788

73143906

82. 613057611591

83. 9

530497

84. 160500643816367088

85. 2596954962585

86. 420196140727489673

87. 6798638612258

88. 1100087778366101931

89. 17799704714189

90. 28800671816120

91. 4660046610375530309

92. 7540113804746346429

93. 12200160415121876738

94. 19740274219868223167

95. 3146349905

96. 51680708854858323072

97. 83621143489848422977

98. 135301852344706746049

99. 2185834555169026

100. 354224848179261

Первые 300 чисел Фибоначчи

Первые 300 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи вверху и числа внизу.

101. 573147844013817084101

102. 26078999176

103. 1500520536206896083277

104. 24278399975082453

105. 33764606871165730

106. 63563069846248183

107. 10284720757613717413913

108. 16641027750620563662096

109. 268508234281076009

110. 43566776258854844738105

111. 70476708

14114

112. 11405250552219

113. 1845518257096366333

114. 298611126818977066

115. 483162952612010163284885

116. 7817740787230203437

117. 126420429973322

118. 20467111114739846236

119. 3311648143516982017180081

120. 535835

640871840

121. 86700073985078051921

122. 1402836665349881

123. 22698374052006863956975682

124. 367267407055057799443

125. 514757512643212875125

126. 96151855463018422468774568

127. 155576970220531065681649693

128. 2517288256835450424261

129. 4073057950553832073954

130. 6521587630041982498215

131. 10663404174

595814572169

132. 17253750340637797070384

133. 27

456571051233611642553

134. 45170

6503

408712937

135. 7308805952221443105020355490

136. 118258964478718349764227

137. 1

0240000814417

138. 309605988479651130578784

139. 500953012480583

327

1
140. 81055
6023504197206408605
141. 131151201344081895336534324866
142. 212207101440105399533740733471
143. 3433583027841872275058337
144. 55556540422424040157
145. 898700847998
145
146. 14544832772683678306641953
147. 23534128182412526729525974
148. 380725356630
4051
149. 6161314747715278029583501626149
150. 996771886214405760200
151. 16130531424
1415797
6349
152. 260997481020802012313146549
153. 42230279526998466217810220532898
154. 6833002762
51019822533679447
155. 1105603071560237632754212345
156. 17887851831682574552878
157. 28413985495088042104137
158. 468340976726457153752543329995929
159. 7577
6677311331372100066
160. 122613259532174702095995
161. 198340612247806074196061
162. 321005680077252479807762
163. 51023518027157495786850488117
164. 8404037832974134882743767626780173
165. 135980188564040239554477268290
166. 2200205668963322104048463
167. 35600075545958458963222876581316753
168. 57602132235424755886206198685365216
169.2077813832148494266681969
170. 150804340016807970735635273952047185
171. 24400654779815850643429154
172. 388781499
20699623170776339
173. 638817435613139723893
174. 10336283234281826463595560281832
175. 167244575
798401322275677325
176. 270607408246956586
510069157
177. 437851984151094
731459856482
178. 7084593051851684960989
179. 114631137654
695340528626429782121
180. 1854770768862121521399707760
181. 3001082145496345306671478281
182. 4855852354401197208056692241
183. 78569251472817058687522
184. 127127879743834334146972278486287885163
185. 205697230343233228174223751303346572685
186. 332825110087067562321196029789634457848
187. 5385223404303007
4197810
030533
188. 871347450517368352816615810882615488381
189. 14098697
66120355596518914
190. 2281217241465037496128651402858212007295
191. 36
03241270663869808526209
192. 597230427387774413556976533504
193. 96633
2775010025382
13
194. 156356955801681948495
195. 25298645864568558938
43678652930
196. 402466626840596168752972961528246147
197. 662338685486281758142155705206899077
198. 1071686518197123268775128666735145224
199. 1734025211727978131596850372843714301
200. 28057117291400376113038677189525
201. 45397363079531972969696974106126
202. 7345448671578180908^04423351
203. 11885185613231260464322058718078597177
204. 134284809667114773
80528
205. 311158198980407018609457261637705
206. 5034645418285014325766435419644478339818233
207. 81462274080811865756065370647467555938
208. 131808728263740988376321015125807374171
209. 2132710023446318334949703857732749
210. 34507973060837282187130130089
04280
211. 55835073295300465536628086585786672357234389
212.046356137747723758225621187571439538669
213. 146178119651438213260386312206974243796773058
214. 236521166007575960984144537828161815236311727
215. 382695742445308500351360584785
216. 615166652286753878632978742612
217. 1001732560430062378984332481297
218. 16211401889444701881625761731807571877809
219. 26230597798754175087863660165740874359106
220. 424420011530998769694897548446236915
221. 686726004162770520573530820632896021
222. 1111146015651519242503960837766832936
223. 17978720198565577104981084195586024127087428957
224. 290355503362256
1038089984964854261893
225. 47068
406893
23367600
416
226. 7615095723016188013062717659795952743
227. 1232279814636412409806505442003148737643593
228. 19623732135425994777207997205533596336
229. 3226150438368547835801863050000354271239929
230. 522002106210068326179680117059857997559804836265
231. 8446171500469759866426342507997
6076194
232. 136661569
65434023659954738809
233. 2211236406303
569697448739956988653
234. 3577855662560
16389595131472399888618372
235. 5786886482052733837248289822497765
236. 4773142572650897733199603711116327
237. 1515603980020363157044787953361427680642
238. 2452298753171627354524749708213060471519
239. 3967320068205816087409539877834488152161
240. 6420201486372307428873111802307548623680
241. 103881042195729
8510518382775401680142036775841
242. 1680830570508835412295811648513482449585399521
243. 271964098234125
175362
244. 44004715631463510006072428645041207574883
245. 71201125556981885570496343807632829750245
246. 11520584118844547883025206568772452674037325128
247. 1864069667454273644225850958407065116260306867075373
248. 301612807284325284439633888712980
0501
249. 4880197746707675420206973287771475874
250. 7896325826131730503843328268675876375
251. 1277652357225860370338031898659556447352249
252. 20672849396309531977283828825123228624
253. 33447198119568135680673266381570580873
254. 541222223710376587766765795712337614833512066497
255. 875715953430188544580333863041781581743565882643
256. 141671405651323470996587541177077199867
257. 2213057075367635217958320643832225
258. 370957113188033180550019974897721781807
259. 6002246438282072486201966702345
321836561403380341
260. 97118387459933
476499882895811608739584170445
261. 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786
262. 254250268855077154966468137802204040571721231
263. 41140004431885883343305337966369517
264. 66565481317383995215174655533821309
265. 1077058218325748971295527236265
266. 174271875204170666730810232096414595406105821258513
267. 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778
268. 4562496698826256442296767726320573532642782291
269. 73822750969857820743614345655804844306069
270. 112024982038516658206764366228700177088360
271. 147124301527978205
645802411885151124650213
272. 3127181
098577852566778114465198482789
273. 50598866273507679698697498369964413630219877218
274. 8187068542288310017538806375350811413714795418360007
275. 13246955169647541425218505072845811378128425638237225
276. 214340237111442757311448200241126227
221056597232
277. 346809788815833975816521049546284341699716466457
278. 561150025935110733127968741056961814867751431689
279.
9814751026371787089444
333694
786514446266146
280. 146
406862188148382197697835
281. 237706965543724518668151016
87896643963981
282. 3846172346400157540
75
31898
476841731898333719576864360661213863366454327287613
285. 16279
60149980002442288124893
7612517456
289. 11167167493
31459954180972843628817512046429889
290. 18068856563237938
9586633513160724057165685643384754471413803636207598822186175234
292. 4730488062040367814077406780444287863801323259
293. 7654075684158845383489763407680649
23167812677324720666693997649
600
чисел Фибоначчи — Barcodes Inc.
чисел Фибоначчи
Выражение «числа Фибоначчи» относится к последовательности чисел, которую изучил человек по имени Леонардо Пизанский по прозвищу «Фибоначчи». Он был первым итальянцем, изучившим последовательность чисел Фибоначчи, и он также был тем, кто распространил систему последовательности по Европе в начале 13 ^-го-го века. Фибоначчи также опубликовал книгу Liber Abaci , которая сделала эту последовательность широко известной.Сегодня он известен как один из величайших — если не величайший — математиков средневековья.
Фибоначчи родился в 1170 году. Его отца звали Гульельмо и прозвали Боначчо (что означает «добродушный»), а его мать, которая умерла, когда ему было всего девять лет, звали Алессандра. Фибоначчи получил свое знаменитое прозвище только спустя годы после его смерти. «Фибоначчи» происходит от слова filius Bonacci, что означает сын Боначчо.
Фибоначчи часто путешествовал со своим отцом, которому принадлежал торговый пост в порту под названием Бугия в Северной Африке.Именно там Фибоначчи изучил индуистско-арабскую систему чисел. Индо-арабская система, естественно, более эффективна, чем римские цифры, и Фибоначчи был вдохновлен путешествовать по Средиземному морю, обучаясь у бесчисленных блестящих арабских математиков. К 1200 году он завершил свои обширные путешествия, а в 1202 году, когда ему было всего 32 года, он опубликовал все, что узнал, в Liber Abaci .
Название книги переведено на Книга расчетов или Книга Абак , и это был первый раз, когда кто-либо за пределами арабского мира познакомился с индуистско-арабской системой счисления.Сам Фибоначчи заслужил большое уважение после того, как книга была опубликована, и он даже подружился с императором Фредериком II. Сам император увлекался наукой и математикой. Фактически, Фибоначчи был настолько уважаем, что в 1240 году он был удостоен особого жалованья от Пизанской республики. Фибоначчи умер в Пизе где-то после 1240 года, и этот год, кажется, последний раз, когда он появлялся в исторических записях.
Хотя сам Фибоначчи не открыл чисел Фибоначчи (они были названы в его честь), он использовал их в Liber Abaci .Цифры восходят к древней Индии и довольно часто использовались в метрических науках. Фибоначчи представил эти числа Европе в своей книге, таким образом изменив представление о математике.
Саму последовательность Фибоначчи можно объяснить следующим образом: каждое число в последовательности является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Следовательно, последовательность начинается с 0, а затем продолжается следующим образом: 1, 1, 2, 3, 5, 8 и т.д. так называемое «золотое сечение», ставшее основой пропорций живописи эпохи Возрождения.Соотношение получается 1: 1,618, которое художники использовали для пропорции своей работы, потому что они считали, что это намного более эстетично. Это же соотношение снова и снова встречается в природе, поэтому для ученых интересно изучать последовательность органически.
Вот несколько исчерпывающих веб-сайтов, чтобы узнать о числах Фибоначчи:
Хотя современные историки часто не обращают на него внимания, решение Фибоначчи ввести числовую последовательность Фибоначчи в западный мир сильно повлияло на изучение как математики, так и природы впоследствии.Последовательность можно найти как в искусственных предметах, таких как картины, этикетки со штрих-кодом, так и в природе.
Популярные товары
Последовательность Фибоначчи — Математика может быть интересной!
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Математика? В самом деле, мы должны говорить о математике? Какое это может иметь отношение к Tyler Arboretum или природе? Что ж, давайте возьмем минутку и посмотрим, сможем ли мы найти математику в природе и, может быть, в то же время повеселиться.Да, я поместил слова «математика» и «развлечение» в одно предложение.
Приведенные выше числа имеют шаблон, который просто начинается с нуля и прибавляется к нему следующее последовательное число (1), чтобы получить результат 1. Затем продолжайте прибавлять 1 + 1, чтобы получить 2, затем 1 + 2 = 3. , то 2 + 3 = 5 и так далее. Хорошо, это достаточно просто. У нас есть список чисел, которые имеют закономерность и могут продолжаться бесконечно. Человеком, который идентифицировал эту последовательность, был Леонардо Пизанский, математик, родившийся в 12 веке, известный как «Мастер Фибоначчи».
А теперь давайте посмотрим, как растут растения. Растениям не имеет смысла складывать листья друг на друга, поскольку это блокирует солнечный свет и ограничивает способность воды перемещаться по стеблю, чтобы достичь корней. Когда растение образует свои листья по спирали вверх по стеблю, это обеспечивает оптимальное рассеивание солнечного света и воды. К тому времени, когда лист оказывается прямо над другим листом, он достаточно далеко вверх по стеблю, чтобы не мешать листу, находящемуся прямо под ним. Если вы посчитаете эти листья по мере того, как они поднимаются по спирали вверх по стеблю, перекрывающийся лист будет 3-м (вяз), 5-м (вишня) или 8-м (груша).Не забудьте начать с 0 и отсчитывать оттуда. Давайте продолжим идею спиралей.
Взгляните на эхиноцвет, изображенный ниже. Под таким углом легко заметить спиральный узор в центре. А как насчет георгина? Если бы вы посчитали спиральные лепестки слева направо, вы бы получили одно из чисел, перечисленных выше, в данном случае 8. Считайте в обратном направлении, и вы получите еще одно число Фибоначчи. Теперь посмотрите на шишку и посчитайте отдельные прицветники по мере того, как они закручиваются по спирали к кончику.Пройдя в одном направлении, вы увидите, что прицветники постепенно поднимаются вверх. В обратном направлении склон поднимается круче. Но сумма каждого пути спиралевидных прицветников дает число Фибоначчи.
Конечно, эта нумерация не всегда отображается в природе, но вы найдете ее больше, чем вы думаете. Посмотрите на семена подсолнечника. Они плотно упакованы в спираль, и если вы их посчитаете, вы увидите числа Фибоначчи, идущие в каждом направлении — 55 по часовой стрелке и 34 или 89 против часовой стрелки.Посмотрите на ананас, артишок, кувшинки, гвоздики. Снова и снова вы найдете одни и те же числа.
Даже если вы посмотрите на цветы, которые не образуют спирали, вы часто обнаружите, что общее количество лепестков является числом Фибоначчи. У ириса 3 лепестка, у флоксов 5, у дельфиниумов 8, у цинерарий 13 и у черноглазых сьюзан 21. Список можно продолжить.
Находитесь ли вы на заднем дворе или рядом с Тайлером, присмотритесь, и вы начнете видеть эти спирали и обнаруживать количество этих лепестков.Не упустите возможность увидеть такие формы, как круги (ягоды или кольца дерева), звезды (листья сладкой жевательной резинки или сердцевина яблока) и даже квадраты (квадратный стебель мяты или семенная капсула Ludwigia alternifolia. , обычно называемый семенным ящиком — изображенный ниже и найденный у Тайлера). Хотя эти формы не имеют ничего общего с Фибоначчи, дети в вашей жизни могут искать последовательности или фигуры Фибоначчи, в зависимости от их уровня мастерства, наслаждаясь прогулкой с Тайлером. Видеть? Математика может быть интересной!
Узнайте больше о последовательности Фибоначчи в природе.
Последовательность Фибоначчи — Science NetLinks
Назначение
Чтобы оценить и исследовать числовой образец; искать доказательства математических закономерностей в природе.
Контекст
На этом уроке студенты исследуют последовательность Фибоначчи. Они будут определять закономерность среди чисел Фибоначчи, искать приложения этих чисел и исследовать способы, которыми этот узор может быть связан с объектами и формами как в естественном, так и в созданном мире.
Наука и техника — это богатые и особенно важные условия для познания ценности математики и развития навыков решения математических задач, но они не единственные. ( Benchmarks for Science Literacy , p. 32.) В этом уроке используются примеры из искусства и архитектуры, а также природы, чтобы укрепить идеи, сформулированные в центральных тестах. В 3–5 классах учащихся следует поощрять к математическому описанию самых разных вещей — в терминах чисел, форм и операций.В средней школе у учащихся должна быть возможность размышлять о природе паттернов и отношений чисто абстрактно.
Мотивация
В ходе обсуждения попросите учащихся привести примеры шаблонов и некоторые причины, по которым их может быть полезно изучить. Скажите студентам, что они будут исследовать числовой образец и его отношение к окружающему миру.
Напишите на доске следующую числовую последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, _.Предложите учащимся взглянуть на эту серию чисел и дать им возможность угадать следующее число в этой серии. Попросите студентов объяснить образец или правило, которым они следуют. Вы можете перейти к следующему занятию, прежде чем показывать учащимся правильный номер.
Разработка
Скажите студентам, что последовательность Фибоначчи — это серия чисел, разработанная Леонардо Фибоначчи как средство решения практической задачи: Фибоначчи хотел определить скорость, с которой пары кроликов будут воспроизводиться.
Порекомендуйте учащимся ознакомиться с учебной таблицей «Последовательность Фибоначчи» для студентов, которая проведет их через некоторые онлайн-исследования последовательности Фибоначчи и ее появления в природе. Некоторые инструкции по использованию этих ресурсов перечислены здесь:
Кролики Фибоначчи, найденные на веб-сайте «Числа Фибоначчи» и «Золотое сечение в природе», содержат текст и иллюстрацию, относящуюся к последовательности Фибоначчи. Вы можете распечатать страницу и использовать текст и иллюстрацию для создания рабочего листа ученика с изображением проблемы с кроликом.Раздайте лист ученикам и попросите их поработать с партнером, чтобы нарисовать следующие 1-2 линии кроликов. Попросите учащихся записать и поделиться своим методом решения проблемы.
«Медоносные пчелы и семейные деревья» — еще один пример последовательности Фибоначчи.
Лепестки на цветах показывает, сколько лепестков на многих растениях является числом Фибоначчи.
Теперь предложите учащимся изучить «Решить загадку спирали морских ракушек». После того, как учащиеся разберутся с головоломкой, попросите их поработать с партнером, чтобы получить следующие два (или более) числа в серии, что позволит учащимся при желании использовать калькуляторы.Делитесь результатами всем классом. Создайте классную диаграмму первых десяти чисел последовательности Фибоначчи для будущего использования.
Попросите студентов ответить на эти вопросы в студенческом листе «Последовательность Фибоначчи»:
Чем может быть полезно знание этого числового шаблона?
Какие вещи могут представлять числа в последовательности Фибоначчи?
Скажите учащимся: Иногда модели и отношения изучаются просто потому, что они интересны, а иногда потому, что они помогают решать практические задачи.Числовые модели также могут быть изучены применительно к миру, в котором мы живем, чтобы помочь нам лучше понять его. Например, многие числа в последовательности Фибоначчи могут быть связаны с тем, что мы видим вокруг.
Снова обратитесь к разделу «Решить загадку спирали морских ракушек». Предложите студентам нарисовать «идеальную» спираль на чистом листе бумаги. Разрешите учащимся разместить свои рисунки и объяснить стратегию, которую они использовали для создания спирали.
Один из примеров золотой спирали можно найти на морской ракушке.Предложите учащимся найти другие природные примеры золотой спирали в морской ракушке, сосновой шишке, ананасе или цветной капусте. Для получения дополнительной информации о разработке этого упражнения перейдите в «Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе». Позвольте учащимся исследовать внешний мир и искать примеры чисел Фибоначчи в расположении семян и листьев, цветах и других природных объектах.
Попросите учащихся еще раз вернуться к своим ответам на следующие вопросы, добавив или уточнив свои ответы на основе того, что они узнали о закономерностях в природе:
Чем может быть полезно знание этого числового шаблона?
Какие вещи могут представлять числа в последовательности Фибоначчи?
Оценка
Следующие упражнения могут быть использованы для оценки понимания учащимися:
Попросите учащихся записать свои ответы на следующие вопросы: Зачем изучать шаблоны? Приведите пример того, как может быть полезно понимание числового шаблона.
Попросите учащихся построить золотую спираль по своему выбору. Затем попросите их написать о стратегии, которую они использовали для построения спирали, и о том, как это соотносится с числами Фибоначчи.
Иногда математики изучают закономерности в формах и числах, потому что они объясняют, как устроен мир, или потому, что помогают решать практические задачи. Можете ли вы подумать, как мы можем использовать последовательность Фибоначчи таким образом?
Возьмите естественный объект, который может быть связан с последовательностью Фибоначчи.Нарисуйте набросок и напишите объяснение того, как он соотносится с одним или несколькими числами Фибоначчи.
Расширения
Чтобы получить дополнительный урок «Природа математики» для 6–8 классов, перейдите на урок Science NetLinks, озаглавленный «Поиск удовлетворительных решений».
На уроке «Освещение» «Золотое правило» студенты исследуют последовательность Фибоначчи, исследуют, как соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи создает золотое сечение, и находят реальные примеры золотого сечения.На этом уроке учащиеся будут использовать электронные таблицы и программы для построения геометрических эскизов для изучения чисел.
Для получения дополнительных примеров того, как числа Фибоначчи могут быть связаны с объектами в созданном мире, перейдите в Золотое сечение в искусстве, архитектуре и музыке.
Перейти к более простым головоломкам Фибоначчи для упражнений, в которых учащиеся манипулируют такими объектами, как кирпичи (заменяйте блоки и ведите себя как практическое занятие), домино и стулья, чтобы находить числовые шаблоны и решать головоломки.Ответом на все головоломки являются числа Фибоначчи.
Биографические сведения об итальянском математике Леонардо Пизано, более известном под псевдонимом Фибоначчи, можно найти на странице Леонардо Пизано Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи для визуального макета на сайте Art Studio Chalkboard объясняет, как последовательность Фибоначчи используется в композиции.
Отправьте нам отзыв об этом уроке>
Числа Фибоначчи и золотое сечение в природе и искусстве
Как числовые ряды меняют то, как мы наблюдаем красоту

Иван Черный Квадратная волна .Искусство часто связано с числами Фибоначчи
Тысячелетиями мы пытались решить мир , который мы видим, и воспроизвести его , используя математические формулы , или сформировать его с помощью математики. Мы уже знаем, что древнеегипетская архитектура была построена с исключительной точностью, и мы знаем, что врачи доказали реальность с помощью чисел.
Существует математическая последовательность, которая вдохновляла человечество на протяжении веков и являлась отличительным признаком для определения красоты: числа Фибоначчи .Эти числа образуют последовательность, в которой следующее число прогрессии является суммой двух предыдущих, начиная с 1 и 1. Это означает, что если вы сложите 1 + 1 = 2, то 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5. и так далее. В итоге вы получите такую последовательность:
.
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21… 55… 1597 и так далее.
Что-то, что заинтриговало как художников, так и ученых, заключается в том, что , если вы разделите номер серии на предыдущий в строке, чем больше, тем лучше, у вас будет число, близкое к золотому сечению , то есть иррациональное число.
𝜑 = 1/2 (1 + 5) = 1,6180339….
Другими словами: две величины находятся в золотом сечении , если их соотношение совпадает с отношением их суммы к большему из двух величин . Соотношение, которое может удовлетворить это утверждение, — это бесконечное число, указанное выше.
Последовательность Фибоначчи была описана около 1202 года итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным как Фибоначчи , но она уже была известна в Индии и использовалась в поэзии и математике. Хотя мы не знаем, когда впервые было использовано золотое сечение, мы точно знаем, что мы используем его геометрическое представление , поскольку по крайней мере 300 г. до н.э. , когда Евклид впервые упомянул его .Со временем мы начали распознавать соотношение и числовую последовательность повсюду, от утверждений геометрии до математических соотношений, от искусства до архитектуры, от биологии до музыки. Иногда доказательства ясны и очевидны, иногда это предположение.
Число Фибоначчи и золотое сечение в природе…
Вы, возможно, слышали, что золотое средство можно найти везде в природе , обычно поддерживаемое последовательностью Фибоначчи.В этом утверждении есть доля правды, но на самом деле неверно ! Мы можем найти числа Фибоначчи во многих природных узорах, например, в полосах зебры или цветении артишока, но — это просто эволюционная уловка . Поскольку неправильная форма часто дает больше шансов выжить (если ваши листья расположены нерегулярно, они будут получать больше солнца, как это удобно!), Природа нашла самый ленивый способ решить эту проблему! Это может происходить по-разному: некоторые формы правильные, некоторые неправильные.Самый простой способ покрыть поверхность — использовать шестиугольники, как в глазах стрекоз, в то время как для выращивания прочной оболочки, чтобы покрыть ваше тело, требуется меньше энергии, если оно имеет спиралевидную форму!
Эти спирали на самом деле являются более ошибочными и считаются созданными с использованием золотого сечения. Они могут показаться золотой спиралью, но это всего лишь приближение к древнему соотношению .

Полосы зебры следуют последовательности Фибоначчи. Фото Рона Дофина
Раковина наутилуса на самом деле не имеет отношения к золотому сечению.Фото Шона Лоу
… в искусстве …
Пропорции можно найти в архитектуре или искусстве, например, в поэзии или музыке . Например, Поликлет использовал соотношение, разработанное для создания того, что он считал красотой, — Канона Поликлета. Поэзия обычно имеет каноническую метрику как праксис, как и большинство музыкальных жанров. Некоторые люди думают, что Парфенон Фидия имеет пропорцию, вычисленную с золотым сечением, но это, похоже, еще один миф. Это небольшая ошибка, поскольку древние греки любили пропорции, и вполне вероятно, что архитектор применил математику для ее построения.
В эпоху Возрождения художники начали исследовать золотую середину и другие соотношения, так как после гуманизма интерес к красоте в мире возрос. Пачоли Divina Proportione , первая книга, объясняющая золотое сечение, была проиллюстрирована Леонардо да Винчи . Он впервые назвал это соотношение как sectio aurea , что, конечно же, означает золотое сечение!
От Пита Мондриана до Жака Вийона , от Ле Корбюзье до Марио Ботта ; бесчисленное количество художников использовали последовательность Фибоначчи в своем искусстве.Эти произведения искусства вызвали растущий интерес к математическим принципам. Важность математики в искусстве возросла, став обязательной для некоторых художников, таких как Марио Мерц, чьи работы в основном связаны с числами Фибоначчи.

Пит Мондриан часто использовал золотое сечение для создания своих картин. Фото Эрнеста Ойеха
Еще один художник, очарованный этой сценой, — Иван Черный, кинетический скульптор, который использует серию для моделирования своих скульптур в гипнотической, многофигурной волне.Кажется, что в большинстве его работ нет серий, но когда вы вращаете их, , вы увидите, что перед вашими глазами образуются золотые спирали !
В музыке мы также можем найти некоторые другие примеры использования золотого сечения или чисел Фибоначчи. Бела Барток, вероятно, использовал последовательность в своей «Музыке для струнных, ударных и Селесты » и других композициях, так же как Эрик Сати в своих произведениях « Trois sonneries de la Rose + Croix ». Даже Клод Дебюсси, композитор изображений и знаменитого Clair de Lune , разделил части своего Ноктюрна № 1 , также называемого числами Фибоначчи «Nuages» .

Сдвиг тактов в произведении Бартока Музыка для струнных, ударных и Селесты
… Везде!
Золотое сечение и числа Фибоначчи произвели впечатление на великие умы, а подарил нам одни из самых красивых произведений искусства, которыми мы можем наслаждаться сегодня . Не имеет значения, есть ли у нас в основном приближения или адаптации этих математических свойств, но поскольку даже природа предпочитает несовершенство для решения своих проблем, результаты этих исследований часто удивительны.Итак, проявите любопытство к инновациям и математике, чтобы вы могли увидеть иную красоту за вещами . Вселенная вращается по спирали, в то время как маленькие произведения искусства Ivan Black вращаются внутри маленькой комнаты, и, вращаясь, мы идем все дальше и дальше с великолепными идеями, вдохновленными окружающей средой!
Мы верим в искусство и науку , поэтому мы организовали кампанию на Kickstarter в поддержку нового проекта Ivan Black Square Wave , чтобы он стал реальностью! Теперь, когда кампания закончилась, на Indiegogo можно приобрести собственную квадратную волну.
7245954
05480
84548003
41661816
283. 622324
6070574410635
3070626544377175485625797
284. 1006
82378002127889637318404077436298120
286. 2636210644692
67
497896533243 271110084140201023
287. 42654784246173
853713953114433
288. 6
1029
99637980
781310139745345
291. 2
954512095813
294. 123845785297973041
3538016392
295. 200386689975542405708165665757608500558774338041350112205
296. 324232475273515447634024717
538876233052554697128188128597
297. 524614
53343116499586482964847336113269538240802
298. 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399
299. 13734708057716311543202577171027
45700275212767467264610201
300. 22223224462
455297398
Список чисел Фибоначчи
200212853774970471418981612046349905583455516902626078999176376460687116573005522190963663338723020343720429973322
64087184080519219944314757512643212875125504242610553832073954
0 0
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
13 233
14 377
15 610
16 987
17 1597
18 2584
19 4181
20 6765
21 10946
22 17711
23 28657
24 46368
25 75025
26 121393
27 196418
28 317811
29 514229
30 832040
31 1346269
32 2178309
33 3524578
34 5702887
35 65
36 14
37 24157817
38 369
39 63245986
40 102334155
41 165580141
42 2676
43 4334
44 701408733
45 1134
46 1836311903
47 2971215073
48 4807526976
49 7778742049
50 12586269025
51 20365011074
52 32951280099
53 533162
54 86267571272
55 139583862445
56 225851433717
57 365435296162
58 5
729879
59 956722026041
60 1548008755920
61 2504730781961
62 4052739537881
63 6557470319842
64 10610209857723
65 17167680177565
66 277778
288
67 44
68 72723460248141
69 11766 60994
70 1 4135
71 308061521170129
72 498454011879264
73 806515533049393
74 1304969544
75 2111485077978050
76 3416454622
7
77 5527 0884757
78 89443
79 14472334024676221
80 23416728348467685
81 3788
73143906
82 613057611591
83 9
530
84 160500643816367088
85 2596954962585
86 420196140727489673
87 6798638612258
88 1100087778366101931
89 177997
90 28800671
91 4660046610375530309
92 7540113804746346429
93 12200160415121876738
94 19740274219868223167
95 31
96 51680708854858323072
97 83621143489848422977
98 135301852344706746049
99 218
100 354224848179261
5
101 573147844013817084101
102
103 1500520536206896083277
104 24278 399975082453
105 3
106 63563069 846248183
107 10284720757613717413913
108 16641027750620563662096
109 26 8508234281076009
110 43566776258854844738105
111 704 76708
14114
112 11405 25
113 1845518257
114 298611126818977066
2
115 483162952612010163284885
116 78177407
117 1264
118 20467111114739846236
119 3311648143516982017180081
120 535835
121 8670007398507
122 140283666534988 1
123 22698374052006863956975682
124 3672674070550577
125 5
126 96151855463018422468774568
127 155576970220531065681649693
128 25172882568354
129 407305795
130 65
21587630041982498215 131 10663404174
595814572169 132 17253750340637797070384 133 27
456571051233611642553 134 45170
6503
408712937 135 7308805952221443105020355490 136 118258964478718349764227 137 1
0240000814417 138 309605988479651130578784 139 500953012480583
327
1 140 81055
6023504197206408605 141 131151201344081895336534324866 142 212207101440105399533740733471 143 3433583027841872275058337 144 55556540422424040157
145 898700847998
145 146 14544832772683678306641953 147 23534128182412526729525974 148 380725356630
4051 149 6161314747715278029583501626149 150 996771886214405760200 151 16130531424
1415797
6349 152 260997481020802012313146549 153 42230279526998466217810220532898 154 6833002762
51019822533679447 155 1105603071560237632754212345 156 17887851831682574552878
157 28413985495088042104137 158 468340976726457153752543329995929 159 7577
6677311331372100066 160 122613259532174702095995 161 198340612247806074196061 162 321005680077252479807762
163 51023518027157495786850488117 164 8404037832974134882743767626780173 165 135980188564040239554477268290 166 2200205668963322104048463 167 35600075545958458963222876581316753 168 57602132235424755886206198685365216 1692077813832148494266681969 170 150804340016807970735635273952047185 171 24400654779815850643429154 172 388781499
20699623170776339 173 638817435613139723893 174 10336283234281826463595560281832 175 167244575
798401322275677325 176 270607408246956586
510069157 177 437851984151094
731459856482 178 7084593051851684960989 179 114631137654
695340528626429782121 180 1854770768862121521399707760 181 3001082145496345306671478281 182 4855852354401197208056692241 183 78569251472817058687522 184 127127879743834334146972278486287885163 185 205697230343233228174223751303346572685 186 332825110087067562321196029789634457848 187 5385223404303007
4197810
030533 188 871347450517368352816615810882615488381 189 14098697
66120355596518914 190 2281217241465037496128651402858212007295 191 36
03241270663869808526209 192 597230427387774413556976533504 193 96633
2775010025382
13 194 156356955801681948495 195 25298645864568558938
43678652930 196 402466626840596168752972961528246147 197 662338685486281758142155705206899077 198 1071686518197123268775128666735145224 199 1734025211727978131596850372843714301 200 28057117291400376113038677189525 201 45397363079531972969696974106126 202 7345448671578180908^{04423351 203 1188518561323126046432205871807859}7177 204 134284809667114773
80528 205 311158198980407018609457261637705 206 5034645418285014325766435419644478339818233 207 81462274080811865756065370647467555938 208 131808728263740988376321015125807374171 209 2132710023446318334949703857732749 210 34507973060837282187130130089
04280 211 55835073295300465536628086585786672357234389 212046356137747723758225621187571439538669 213 146178119651438213260386312206974243796773058 214 236521166007575960984144537828161815236311727 215 382695742445308500351360584785 216 615166652286753878632978742612 217 1001732560430062378984332481297 218 16211401889444701881625761731807571877809 219 26230597798754175087863660165740874359106 220 424420011530998769694897548446236915 221 686726004162770520573530820632896021 222 1111146015651519242503960837766832936 223 17978720198565577104981084195586024127087428957 224 290355503362256
1038089984964854261893 225 47068
406893
23367600
416
226 7615095723016188013062717659795952743 227 1232279814636412409806505442003148737643593 228 19623732135425994777207997205533596336 229 3226150438368547835801863050000354271239929 230 522002106210068326179680117059857997559804836265 231 8446171500469759866426342507997
6076194 232 136661569
65434023659954738809 233 2211236406303
569697448739956988653 234 3577855662560
16389595131472399888618372 235 5786886482052733837248289822497765 2364773142572650897733199603711116327 237 1515603980020363157044787953361427680642 238 2452298753171627354524749708213060471519 239 3967320068205816087409539877834488152161 240 6420201486372307428873111802307548623680 241 103881042195729
8510518382775401680142036775841 242 1680830570508835412295811648513482449585399521 243 271964098234125
175362 244 44004715631463510006072428645041207574883 245 71201125556981885570496343807632829750245 246 11520584118844547883025206568772452674037325128 247 1864069667454273644225850958407065116260306867075373 248 301612807284325284439633888712980
0501 249 4880197746707675420206973287771475874 250 7896325826131730503843328268675876375 251 1277652357225860370338031898659556447352249 252 20672849396309531977283828825123228624 253 33447198119568135680673266381570580873 254 541222223710376587766765795712337614833512066497 255 875715953430188544580333863041781581743565882643 256 141671405651323470996587541177077199867 257 2213057075367635217958320643832225 258 370957113188033180550019974897721781807 259 6002246438282072486201966702345
321836561403380341 260 97118387459933
476499882895811608739584170445 261 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786 262 254250268855077154966468137802204040571721231 263 41140004431885883343305337966369517 264 66565481317383995215174655533821309 265 1077058218325748971295527236265 266 174271875204170666730810232096414595406105821258513 267 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778 268 4562496698826256442296767726320573532642782291 269 73822750969857820743614345655804844306069 270 112024982038516658206764366228700177088360 271 147124301527978205
645802411885151124650213 272 3127181
098577852566778114465198482789 273 50598866273507679698697498369964413630219877218 274 8187068542288310017538806375350811413714795418360007 275 13246955169647541425218505072845811378128425638237225 276 214340237111442757311448200241126227
221056597232
277 346809788815833975816521049546284341699716466457 278 561150025935110733127968741056961814867751431689 279
9814751026371787089444
333694
786514446266146
38219769783587896643963981234640015754075
31898
4768417318983337195768643606612138633664543272876137960149980002442288124893
761251745631459954180972843628817512046429889389586633513160724057165685643384754471413803636207598822186175234442878638013232598415884538348976340768064923167812677324720666693997649
600
32255589801534057669972465694015920267824403872315704355211208012267487286039804800624667539688183688883583545625088780567408727948025334100421367042882457037855453867
541580961500624834
7664524306411063027344644012296052
157441307480151388995540805885743676803342307750
1037669847
9783999746
0482798033867716465834363635071136572296177350244602806380313370817060034433662955746968837515373701551266171274762645882856660007766287685838
233546680671759717
8603516173771026988207674499585169535608896875850555448143871103737217837010397125638364616241541253772121378113841488282573748675897
702869
4199539752573328399756335373058727700368494159465198635405129801934426082110771478868396165064389712381433442805665949160404772773460610011505517473135366517214898222654663516508951553314834206278220503632413202271494805962024718622465546478745659997715004840583039758351158338317369882896745747556617040
629728156537497147783134532682971279633874824703400847605742325617686422714184223787621325371804787975116607001677217386408086574545351577786328700957110964729568512612327899753925144151869475
3666525329
498855651454307526696270869815
538820960059543295331551041039850875277735478970212675861664972646680301
886006082825705568550397282263736256618568054872
276456
09067271027976600736535005486271223402727906334067185021630641461556475100045310008168661142424746936387148481050277231359
0278505235784521759541079809807343500449731514800545696516184354113263267045377674100517887360125535240613651188143555961293248496927
738232
39557847011209360065161385997283008073998054106554467481203415169952501788497441033206952450482474743775711671367242642568888059521972447641960096626730209862495495139761419003338502567674860704207521875880725617741165091729683723821683646575039586541484706142286071885425457123214571765687471298045056272620241556736056598071113
33164481367485698164696022613606615021967796979879842795700987687379996813070342520420965082554078715776366828672264525398620852721837288327
5222668604855223448196587026008519571475871366403246165227815
955865434248
01261246737544151971343773568583776843985847761224265148758696580313227733
699511771348807054284272752352079971127752695787304773487232160285825777640927864446182885454551022526642007624673682822910451681840845299519736466718355372130251060170415253331565228003797424969952856876433055132430558698043540
27711750121668968517028834617
8672124202036123173081972119645546282154862039748982558032427403332227217009747472241811880064424455084395406087838358997476311487714507047424958541261636423
78176515507039697978098326060883324529
014158235458328176574447204501
24561697880139724382870407283025658769730726410896255716228632
5576588762225212
280 146
406862188148 7245954
05480
281 237706965543724518668151016 84548003
282 384617
41661816
283 622324
6070574410635
3070626544377175485625797
284 1006
285 162 82378002127889637318404077436298120
286 2636210644692
67
497896533243 271110084140201023
287 42654784246173
853713953114433
288 6 1029
99637980
289 11167167493
290 180688565632379
781310139745345
291 2
292 47304880620403678140774067804
293 76540756 954512095813
294 123845785297973041
3538016392
295 200386689975542405708165665757608500558774338041350112205
296 324232475273515447634024717 538876233052554697128188128597
297 524614
53343116499586482964847336113269538240802
298 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399
299 13734708057716311543202577171027
45700275212767467264610201
300 22223224462 455297398
301 35957 06583560961765665172189096721430
302 581811569836004006455863409
5
303 9413
04258756745327122380628816531140136771503422
304 15232024648785
305 24645
306 3987795824799770715342824788687062628452272409956636682999616408
307 645238
20
13
308 104401850095207205720836975836208006537863817087422250120621
309 168 1
310 2733275623
7962175339332
27162783750745455
311 44225333398004061429732838340729878012027363723832270745251370289
312 715580
313 115783425999770513860373 3635095356961600163955231274253486033
314 1873415186015369662
050
03127018958366040781
255601777
315 303124
316 4
463202844446442404046536715720760753273372111614880764689587
317 7935
804151
1268819610710140145037958273777397
318 128405787100699637303619708866360684958036398351225665283
319 207764 111482996299
4016312244381
320 336170714981814467266618721
321 543 2862
322 8801063578447437644962364569698707634360652047981718378070013667111
323 14240420007076730617258541
3310440740965418798778412503676622857
324 23041483585524168262220964201807510161746678049676
325 3728126008988794709585328515842582885574652003523597719057202793710331628801582080400216977309835
81914813184119724846992208383548178457877971125378705257739702704876065006428795820765383405232040578837485644618041398270124855842653758214700595472755636266015963786174332983767008266122326250025
71330617623242503763837163697569
5056141186027059628028476676873122198387557982452831610787275979941823543267
874517270785300491869695530538302069862676173331247535442832080716111587303708738609
8556675811270724156046060366007401579619729620032399913965376796162239653346274287472237566026650176124155306760699858
80525788530383034035215736395674777973502051063044244822408841055026686767275344530596552032828841802208
9543172683016564135
50527608679896564333419951255644330166833468672422805842178621465927926871637662410807879784223082815600558
960222363027055371611761116397300323574728135904268587646043973612216714255778679457850
557106323
83143963212896618617059643464763140370535268485385173632397412668844557261755
45794
05609630583801329537157376425652643718276222986560732061832060181325453510665389766178449653686710164582374234640876
96324155771
03077366
5
326 6032338717812506714170035489
327 976052
7259660211798033088126751067867832379396728424115618
328 157
329 25553396871957699
599615168526968045177668282378663871074029
330 413462646668428032346
502248750418536685577487386752440
331 6689966153880050315310000812417454153067665172467745519645952
332 108245 56433063877 096663813380 67665311237542082678
333 1751455877444438095408
334 2833 7115 80483175021682
335 4585371016
16555438621189665
336 741 87984360419 53952
337 120046571733668678522013
338 1
339 3142860050322513397452764420977285345179605163
340 50852543833066829834000968538
341 82281144336295989585340713815384441479925
342 13313368816 1941
9
343 21541483250565880
823961697112332308004185787677533306771798637
344 348548520675021628424024078524038024981674
345 56396335318068043742870647469374
346
18738557020658527305532177872831
2
33303
347 147647522703638250328143702765414066256447061 152438732346449273
348 23889871008
24600775 406852615482576
349 3865462327
9
350 625444 205516415497721 18411775146743317264399613414425
351 10119
674
4455661557
64594
352 1637436118556957035551514898
353 264
106973
354 4286863412788815
355 69362
02067484
200566565775354 8015845969798000696 6974645
356 112231541198094
357 1815
4134387820089804440720816962
358 2
359 475420437734698220747368027166749382 14170165571
360 76 272010
88568897999 47628313150135520
361 12446668649357 7163446
362 20132136887790
398401153680
711883
363 3258580157072680796737099989600679
0543858378803176
364 527249344
365 853107360628224
8389878465365
366 138035670554
972023682511333365056485008428559688935571688
367 22334640661774067356412331
80099530453510206838235072028
368 36138207717265885328441519836863123286695
0773021050058862406562749608741
369 5847284837
370
371 15308353457
14
372 2476 5716516287114445 4296462
255524268641950058706960328526257210057081863640
51397897095281987215864
16276395611672634812623217532334953370871042781100759813050465314516137773128706027513961847653300991820623609
3302538007088755326533087070104115801862234837985426429697250913
31855325
59833079730688
55253435512138999781850616038554700
45815384415468596898280656744424655971830523107303607366236760726689578171344712957397702651311250305217900120313016182700871671813432662649
7032018665867029
518282323883797538172646700230387886496582950
27269995
97471814186843997154499816304226250770384383304492172590403232390198420482075533324200114456086
73859680384188513887852280667477
5589
3288357273105850430052
52458453873038805350010305956237047668459967175299828294
1622060571486570203288606148368113086634634110047179814120271678847386801205243454009560438973441031011710099323161470502747366563542580937897403506601582233728503897328404875170713295408147807
8803
48083135275167566483285796031145081313881068747042976026364355327919832689122072083744418014845563638678145844000804865993479882
6745641698262341374422501624715052810558177873467034642304155507441063652431265802084922458881386143176507424595511839966416244196725018609773350096292560522744162776
24872978549698643278230438281167130254
771430968
7581447435381848015509977202727487206270083963211589736272331336580553102500982006762370817324861530106989610677051864224840112714676838107706466485315685753214360043615006095621755678778467019711275
345066202834769955134424689676262369
63059844503581717836
21360252259546025728049677478049774887433724082558595505187527709545065782383154858165636188483305722724426905777983501058621635817027
373 40077886504699741
5366789883567055193
374 64847382561864
2103841307952468235140971448551986170838835
375 104 646467530632231274619718410203796555123147644873726135009824265250
376 169772651628429551565167064435414440076161351104064300 62085480136081475307
377 27469749 318230287562876411
17307595766156998135811615145
0557
378 4444705723234237498833973519982
9
379 71 417
421
380 116363418416980850249
458115
78 8584489700 5805709880172285
381 18828075583602596462866526311206253798143
382 3046446623702101344371677622680083495718260601596
383 492
384 79757008057644623350300078764807
385 12
498782682332568833813028150124678356721
386 2088065579356607183460067622 034481129314
52
05451576515858
387 337856107814181089864066841370437 8180483483258553487263501
388 5466626657500 4712503014380608848285252 407554440171882480313121677
389 884518773564275036335317142808498833476705778259666107
390 143118143 0
391 231570021287864401
84587055058551781
392 37468816521
393 60625818650716570210 61835667682186
756275532029576
394 980
35620342487725314342549664567
395 158720453823363270441268014971
53774755868578035057243596666433462105
396 25681508899600997067167
76732670057816501755462864741983775449688983126672
397 41553554281 411129703
882387027651133206312776412602212507675416588777
398 67235063181538321178464953103361505 86778266794
399 10878861746347564528976199228
448449957054778126951202749393
400 1760236806450139664682269453 575345044216019675
401 284812298108489611757988 14609956153800887823048
47719564596
402 460835978753503578226215883073872246385764472086797082873203188542544616448248343576
403 7456482768619
404 120648425561549676821042070382
8838690
53
405 19521325324774899581
809678530
406 31586167880 7264050462284137442187749626267807325447529650630896453338689583
407 511074
408 826 2083418505 57696
409 1338011542
410 2164
71658725122483505
411 3502959696713134360221349745023264740213996898337220585156640002180223
4
412 566705028747108822605166054984687178
413 6754721600
0361026162876320893182123
1537729562617689
6638302133
414 14838775397718883781985870778234261677649785478087562461150
034324707146225186
415 24009642
3986302488658167666629995398430467886660501606381297085
416 38848418342653776635075351818097286564231462144387516445455584776
417 6285806128758866
418 1017064796302424461232401846760575980150446009550749868752158484205015423343632508381159
419 1645645401115611405017534017
58577397657624573049761120640548215334513341070281
420 266271020548073561734645202210075507480
421 43083556146573460502197440
516807254861118540126591721
422 69710658201397823
95421954168 766242120743734566536003303316754926039973161
423 1127
424 18250487254
6 68043
425 29529973744071 67053506
426 47780395
427 773103046344134
428 125057
4526817442243356
429 202401005213503038261 7177107618332887918982978279745636828463 71475316218754
430 32747925
431 5298
432 85738441679868820532214654639846172206133759
4
5
6 55270820177
433 13872771278047838271141861031862463
568353
434 2244661544603472032436332649584708114319787957314032873538930
435 3631
436 5876600217011727885140235566262089802627279984
437
3888
438 1538513317116435242215574822797483742085515437
439 248
440 4027881710228340703858581327006242248463104566968766454459757728482657089672204355
441 65172495098135102433647404982700073500075401759827878315356483347951218369680224170989749666
442 10545131220041850 332182527
1243002480702845751 37240666353891
425662871
443 17062380729855361106232354
62437564983011245350735841267167528500506
444 27607511
40458606953841075408
445 446698
72377389737305154773050 06718754667074636645528022516256487945
446 722774046296497854662108306212056471121727445630
0
6247398828598662
447 116
797851329548624
448 18
5040188769479613217501281456451614651
449 30617199 54503055431384808371720811128543235373849713167479
450 4953967011875066473162524
80600
451 8015687004359611503716838773315321255830369979
9
452 1296965401623467797687 98546 356686
4586049 758
453 209853410205
454 339549
455 54
456 888953310 2243955473348126805
457 14383566715167548133361
54952008707730339588148687335
65896974634068647640876549937
458 232730998245 572382676325989
478883
459 37656666539760318706278554172258460770081225762406046396575728927
83
460 60 636435308927
97992066 17532 4644464121
461 98586432
340798547375217128018143
462 15951619
463 25810263217257901427023415820835483307041235886067265438236978045389770250
14952317
464 41761883144104640251481165251188398565719518456624120477965205524606115754507996484677228773
465 675721463613626307764954354853466062146
342621846755865696522105056783
466 10 2
1
63
467 1765866829 4472036221881612406823370310271420068 36957487577 5892
468 2862402053722971728324486369584166178 5 99 2398704536965075971
469 46314638123
74636
3180298230299
4023270833292
99517511955245765178459925
470 74 5577362702465168971
471 121253296785055132210628998331
472 1961446197556957565 57727 5
007197467505024573547039776939
473 3174452522312526894 67179 2511
474 5136372076774502461257608570234468 481668075116373246321641 499386
475 831082459
2
476 13447196675861531814197166417245678868
6962757679871062
477 21758021274
588982
478 35205217
479 5696323
80812 2
15134884313127297
480
481 14964023274012782751205730214806364865071120
482 2413001535788961484080796262002835047 112771 743261610776878424511662841261217058994 7041
483 3
8499812235496863547467733049854286466198839959870
484 6317320035601196980 3729735884
80673265589795452673441480303628721313666802004216758598573763
485 102216385354134324778078468
44
486 1653895857101462
487 26760597106428061
488 432995556774426
31236105187857407389973522
235520810632382557083997728981
489 7006015278387075333187248717655232848696066716357168446685359555050818763462119969522887130023714
490 113359708461313444727184848228430 2996604835986413056004
491 18341986124518419805354049832310520 4426580487728496070230
492 2967795697064976427862421836334141336150
493 48019
494 77697
5817
31541702671811498282273632999
495 125717843160986132447684122171020886294 3226285057685657105280618664254204672140130
496 2034157432268040808108382
497 32
863877^25852241460
498 53254
06
99648074089624
499 861682238450732788312165664788095
500 13
.

0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
13	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765
21	10946
22	17711
23	28657
24	46368
25	75025
26	121393
27	196418
28	317811
29	514229
30	832040
31	1346269
32	2178309
33	3524578
34	5702887
35		65
36	14
37	24157817
38	369
39	63245986
40	102334155
41	165580141
42	2676
43	4334
44	701408733
45	1134
46	1836311903
47	2971215073
48	4807526976
49	7778742049
50	12586269025
51	20365011074
52	32951280099
53	533162
54	86267571272
55	139583862445
56	225851433717
57	365435296162
58	5 729879
59	956722026041
60	1548008755920
61	2504730781961
62	4052739537881
63	6557470319842
64	10610209857723
65	17167680177565
66	277778 288
67	44
68	72723460248141
69	11766	60994
70	1	4135
71	308061521170129
72	498454011879264
73	806515533049393
74	1304969544
75	2111485077978050
76	3416454622 7
77	5527	0884757
78	89443
79	14472334024676221
80	23416728348467685
81	3788 73143906
82	613057611591
83	9 530
84	160500643816367088
85	2596954962585
86	420196140727489673
87	6798638612258
88	1100087778366101931
89	177997
90	28800671
91	4660046610375530309
92	7540113804746346429
93	12200160415121876738
94	19740274219868223167
95	31
96	51680708854858323072
97	83621143489848422977
98	135301852344706746049
99	218
100	354224848179261 5
101	573147844013817084101
102
103	1500520536206896083277
104	24278	399975082453
105	3
106	63563069	846248183
107	10284720757613717413913
108	16641027750620563662096
109	26	8508234281076009
110	43566776258854844738105
111	704	76708 14114
112	11405	25
113	1845518257
114	298611126818977066 2
115	483162952612010163284885
116	78177407
117	1264
118	20467111114739846236
119	3311648143516982017180081
120	535835
121	8670007398507
122	140283666534988	1
123	22698374052006863956975682
124	3672674070550577
125	5
126	96151855463018422468774568
127	155576970220531065681649693
128	25172882568354
129	407305795
130	65