Как открыть хостел | HowToHostel Как открыть хостел … 
Число Фибоначчи. Почему оно так популярно в природе?
Таинственное число Фибоначчи, равное 1,618, будоражит умы ученых уже на протяжении нескольких тысячелетий. Кто-то считает это число строителем мироздания, кто-то называет его числом Бога, а кто-то, не мудрствуя лукаво, просто применяет его на практике и получает невероятные архитектурные, художественные и математические творения. Число Фибоначчи было обнаружено даже в пропорциях знаменитого «Витрувианского человека» Леонардо Да Винчи, который утверждал, что знаменитое число, пришедшее из математики, руководит всей Вселенной.
«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи обладает идеальными пропорциями, основанными на знании свойств числа Фибоначчи
Кто такой Фибоначчи?
Леонардо Пизанский считается самым первым крупным математиком в истории средневековой Европы. Несмотря на это, свое знаменитое прозвище «Фибоначчи» ученый получил далеко не из-за своих экстраординарных математических способностей, но из-за своего везения, так как «боначчи» по-итальянски означает «удачливый».
Перед тем как стать одним из самых известных математиков раннего Средневековья, Леонардо Пизанский изучал точные науки у самых продвинутых учителей своего времени, которыми считались арабы. Именно благодаря этой деятельности Фибоначчи, в Европе появились десятичная система счисления и арабские цифры, которыми мы пользуемся до сих пор.
В одном из своих самых известных трудов под названием «Liber abaci», Леонардо Пизанский приводит уникальную закономерность чисел, которые при постановке в ряд образуют линию цифр, каждая из которых является суммой двух предыдущих чисел.
Последовательность Фибоначчи
Иными словами, последовательность Фибоначчи выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее.
Каждое число из ряда Фибоначчи, разделенное на последующее, имеет значение, стремящееся к уникальному показателю, которое составляет 1,618. Первые числа ряда Фибоначчи не дают настолько точное значение, однако по мере нарастания, соотношение постепенно выравнивается и становится все более точным.
Леонардо Пизанский — тот самый создатель числа Фибоначчи
Читайте также: Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр
Где используется число Фибоначчи
Из-за своего повсеместного применения в природе, золотое сечение (именно так число Фибоначчи иногда называют в искусстве и математике) считается одним из самых гармонизирующих законов мироздания, который упорядочивает структуру окружающего нас мира и направляет жизнь на развитие. Так, правило золотого сечения применяется природой для образования траекторий движения вихревых потоков в ураганах, при образовании эллиптических галактик, к которым относится и наш Млечный Путь, при «строительстве» раковины улитки или ушной раковины человека, направляет движение косяка рыб и показывает траекторию движения испуганной стаи оленей, врассыпную убегающую от хищника.
Проявление золотого сечения в природе
Эстетичность такой гармонизации мироздания воспринимается человеком, который всегда стремился улучшить окружающую его действительность, в качестве стабилизирующего природу закона.
Находя золотое сечение в лице того или иного человека, мы инстинктивно воспринимаем собеседника в качестве гармоничной личности, чье развитие происходит без сбоев и нарушений. Этим можно объяснить то, почему иногда нам по непонятным причинам больше нравится одно лицо, чем другое. Оказывается, о наших возможных симпатиях позаботилась природа!
Как вы считаете, является ли повсеместное применение числа Фибоначчи в природе совпадением или свидетельством наличия некоего вселенского разума? Давайте попробуем обсудить этот вопрос в нашем Telegram-чате.
Наиболее распространенное определение золотого сечения гласит, что меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Уникальное правило встречается во всех областях природы, науки и искусства, позволив некоторым именитым исследователям Средних Веков сделать предположение, что три основные части золотого сечения олицетворяют собой христианских Отца, Сына и Святого Духа.
Правилу золотого сечения следуют даже галактики.
Наш Млечный Путь в этом плане не является исключением
Что такое золотое сечение
С точки зрения математики, золотое сечение представляет собой некую идеальную пропорцию, к которой каким-то образом стремится все живое и неживое в природе.
Так выглядит «золотое сечение»
Используя основные принципы ряда Фибоначчи, растут семечки в центре подсолнуха, движется спираль ДНК, был построен Парфенон и написана самая знаменитая картина в мире — «Джоконда» Леонардо Да Винчи.
Даже коты неосознанно (хотя, кто знает?) следуют принципу золотого сечения, становясь любимцами большей части населения планеты
Есть ли в природе гармония? Несомненно, есть. А ее доказательством служит число Фибоначчи, происхождение которого нам еще только предстоит отыскать.
Math.ru
Николай Николаевич ВоробьевМ.: Наука, 1978. 144 с.
Тираж 100000 экз.
Серия Популярные лекции по математике, выпуск 6
| |||||||||||
95)Первый вариант текста этой книжки писался почти тридцать лет тому назад. С тех пор изменилось очень многое.
Прежде всего, и это главное, изменился математический уровень основного круга читателей популярных математических книг: интересующихся математикой школьников старших классов и их преподавателей. Созданная сеть специализированных математических и физико-математических школ и классов предопределила существенное расширение математического кругозора соответствующего контингента учащихся, которых теперь можно заинтересовать скорее не забавными элементарными фактами, а уже достаточно глубокими и сложными результатами.
Кроме того, и это является фундаментальным фактом
истории математики нашего времени, существенно сместился центр тяжести
математических исследований в целом.
В частности, утратила свои
доминирующие позиции теория чисел, и резко повысился удельный вес
экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась
теория игр. По существу возникла вычислительная математика. Все это не
могло не сказаться и на содержании научно-популярной литературы по
математике.
Далее, числа Фибоначчи проявили себя еще в нескольких математических вопросах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Р. Беллманом.
Наконец, было установлено довольно большое
количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам
существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой
людей в различных странах приобщились к благородному хобби
«фибоначчизма».
Наиболее убедительным свидетельством этому может
служить журнал The Fibonacci Quarterly, издаваемый в США с 1963 г.
Все сказанное определило изменения содержания книги
от издания к изданию и тот вид, в котором она предлагается читателю
сейчас. Во втором издании был добавлен параграф о фибоначчиевых планах
поиска экстремума унимодальной функции вместе с возникающими при этом
общематематическими и вычислительными вопросами. В третьем издании была
расширена теоретико-числовая тематика, и этот материал из § 2 оказался
полезной информацией при решении десятой проблемы Гильберта. Наконец,
в настоящем издании «подтягиваются» до общего уровня и объема § 3 и 4.
В § 3 приводятся ставшие классическими теоремы о точности приближений
подходящими дробями и описывается роль чисел Фибоначчи в этих фактах,
а в § 4 рассматривается игра «цзяньшицзы», теоретико-игровой анализ
которой опирается на детальное рассмотрение фибоначчиевых представлений
натуральных чисел.
Книга по-прежнему не требует от читателя знаний, выходящих за пределы школьного курса. Более трудные ее места выделены мелким шрифтом и могут быть при чтении пропущены без ущерба для понимания остального материала.
Вырица 1Н. Н. Воробьев
1978 г.
Содержание
Предисловие к первому изданию
Предисловие к четвертому изданию
Введение
§ 1. Простейшие свойства чисел Фибоначчи
§ 2. Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи
§ 3. Числа Фибоначчи и непрерывные дроби
§ 4. Числа Фибоначчи и геометрия
§ 5. Числа Фибоначчи и теория поиска
| |||||||||||
Числа Фибоначчи
Звезда.
Орбиты планет. Сосновая шишка. Все эти природные формы не случайны. Они связаны с такими понятиями, как золотое сечение и числа Фибоначчи, за которыми стоит некое идеальное математическое соотношение. Когда мы видим что-то красивое, гармоничное, симметричное в природе или искусстве, то, скорее всего, оно имеет «золотое» соотношение частей и целого, близкое к 1,6 — его еще называют «числом бога».
Последовательность Фибоначчи выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711…
Если вы заметили, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эту последовательность первым открыл европейцам математик и путешественник Леонардо Пизанский, Фибоначчи было его прозвищем (считается, что оно образовано от слов «сын Боначчи»). В 1202 году он опубликовал монументальный 460-страничный сборник по алгебре и арифметике под названием «Книга абака», основанный на математических знаниях индусов и арабов.
Этот труд настолько опережал свое время, что просвещенному человечеству потребовалось еще несколько веков, чтобы осилить и осмыслить эти сведения. Числа Фибоначчи стали применяться в математике в эпоху Возрождения и в Новое время.
Согласно легенде, на бесконечную последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих, Леонардо натолкнула нехитрая задачка о кроликах. Можете попробовать ее решить и проверить, получится ли у вас нужная последовательность.
Задача о кроликах1 января у вас в закрытом загоне скрестилась пара кроликов: самка и самец. 1 февраля они произвели на свет детей — самку и самца. Новорожденные кролики становятся зрелой парой через месяц и затем еще через месяц дают жизнь новой разнополой паре животных. Вопрос: сколько пар кроликов у вас будет через год? Учтите, что каждая половозрелая пара дает жизнь только одной паре и в ней всегда один самец и одна самка, все кролики из задачи бессмертны и точно доживут до 1 января следующего года.
Посчитали?
Теперь проверьте себя:
1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377
Правильный ответ: через год будет 377 пар кроликов.
С точки зрения математики у последовательности Фибоначчи имеется много интересных свойств. Если взять пару соседних чисел из этого ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к числу золотого сечения (~1,6).
А что такое золотое сечение?И тут настало время поговорить о принципе золотого сечения. Так называют идеальное соотношение частей и целого, которое лежит в основе таких понятий, как гармония, красота, идеал. Этим принципом руководствовался Леонардо да Винчи, когда рисовал своего «Витрувианского человека», ему же пытаются соответствовать современные дизайнеры, архитекторы, ювелиры, художники. Золотое сечение встречается и в природе, и в науке, и в технике.
И это тот редкий пример, когда математическая формула передает такое сложное понятие, как красота.
Представьте отрезок. Разделите его на два меньших отрезка — a и b, при этом a должно быть равно отношению a:b. Это и будет «золотой» пропорцией. Иными словами, золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части так, как сама большая часть относится к меньшей. В виде формулы вышесказанное можно записать так: (a + b):a=a:b. Золотое сечение выражается числом Ф (фи), оно равно 1,6180339887, но обычно округляется до 1,618 или 1,62. Если выразить золотое сечение в процентном соотношении, то оно составит 62% к 38%.
Где искать золотое сечение?Математики утверждают, что правило золотого сечения действует и в природе, и в космосе. Наглядный пример красоты и совершенства в природе — это растения и цветы.
Внимательные ботаники давно разглядели в многообразии форм растительной жизни четкие математические закономерности: многие природные узоры, орнаменты, формы подчиняются правилу золотого сечения, вернее, одному из его частных случаев — последовательности Фибоначчи.
Многолетние наблюдения ботаников показали, что растения, чья структура или плоды подчиняются правилам золотого сечения, гораздо более выносливы, а не просто красивы. В одном из исследований по шишкам сибирской сосны или кедра было установлено, что если шишки сильно уклоняются от правильного расположения чешуек, то их семена очень слабо жизнеспособны. Иными словами, только у гармоничной красивой шишки будут жизнеспособные семена.
Числа Фибоначчи можно найти даже у себя. Посмотрите на свои руки: на обеих по пять пальцев. Два из них (большие) состоят из двух фаланг, а у остальных восьми — по три фаланги. 2, 3, 5, 8 — это как раз одни из первых чисел последовательности Фибоначчи. Совпадение? Математики считают, что это закономерно — правило золотого сечения действует повсюду.
Даже в космосе можно найти число идеальной пропорции. Возьмем Солнечную систему. Планеты вращаются по траектории эллипса, а значит, у их траекторий есть минимальный и максимальный радиус. Удивительно, но соотношение этих радиусов у всех планет Солнечной системы совпадает с числом золотого сечения, погрешность составляет доли процента. В то же время соотношение орбит планет нашей Солнечной системы очень близко к коэффициенту золотого сечения. Этот факт был известен еще Кеплеру, и, опираясь на него, он пытался построить некую универсальную систему мироздания.
«Золотая пропорция — это не только критерий красоты, — говорит профессор физического факультета МГУ, доктор физико-математических наук Павел Короленко. — Не только явление, которое позволяет проникнуть в суть понятия красивого. Но это и явление, которое несет в себе некую эвристическую ценность. Задает некое направление в исследованиях, проводимых в математике, физике, биологии. Я считаю, что это очень важное достоинство этого феномена».
Подробнее о золотом сечении и числах Фибоначчи рассказывается в фильме канала «Наука» — «В поисках абсолютной гармонии».
Зачем нужна математика?Единственное существо, которое научилось жить вечноВ поисках эликсира молодостифункция рекурсии ряда и генератор последовательности
Ряд чисел Фибоначчи представляет собой последовательность. Первый и второй элементы последовательности равны единице. Каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим разные способы нахождения элементов по номеру и генерацию списка с помощью Python 3.
Введение
Расчет ряда чисел Фибонначчи – один из лучших примеров программ на Python, использующих рекурсию. Хотя наиболее частый пример, рекурсии – это расчет факториала.
Рассмотрим варианты получения ряда Фибоначчи на Python 3:
- С помощью рекурсии.
- Используя оператор цикла.
Также сгенерируем список чисел и создадим генератор с помощью которого можно поочередно получать числа.
Цикл
Будем искать с помощью цикла for. В переменных prew и cur будут предыдущий элемент последовательности и текущий, их проинициализируем в 1. Если пользователь запросит первый или второй элемент, то мы так и не попадём внутрь тела цикла. И будет выведена единица из переменной cur.
Если же запросят 3-ий или какой либо последующий элемент последовательности Фибоначчи, то мы зайдем в цикл. Во временную переменную tmp сохраним следующее число последовательности. После этого заполним prew и cur новыми значениям. Когда пройдет нужное количество итераций, выведем значение cur в консоль.
prew = cur = 1
element = input('Введите номер искомого элемента : ')
element = int(element)
for n in range(int(element-2)):
tmp = prew + cur
prew = cur
cur = tmp
print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(cur))
Введите номер искомого элемента : 6
6 элемент последовательности равен 8В предыдущем коде нам пришлось воспользоваться переменной tmp.
prew, cur = cur, prew + cur
Теперь вместо трех строк кода получилась одна строка! И пропала необходимость использования дополнительной переменной.
В этом примере мы использовали цикл for, но можно эту программу реализовать, немного изменив код, с помощью цикла while.
Рекурсия
В случае с рекурсией напишем функцию, аргументом которой будет требуемое число ряда Фибоначчи. Текущему значению последовательности cur вначале присвоим 1. После этого воспользуемся условным оператором языка Python – if. В нем проверим аргумент функции. Если он больше 2, то функция вызовет саму себя и вычислит предыдущее значение ряда, а так же то, которое было еще раньше и запишет в переменную cur их сумму.
def fibonacci(n):
cur = 1
if n > 2:
cur = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
return cur
element = input('Введите номер искомого элемента : ')
element = int(element)
value = fibonacci(element)
print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(value)) Конечно, пример с рекурсией интересен.
Но он будет работать гораздо медленнее.
А если вы решите вычислить, допустим 1000-ый элемент последовательности. Используя цикл, мы его очень быстро рассчитаем. А вот в случае с рекурсией получим ошибку превышения максимального количества рекурсий:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
Генератор списка
Если мы захотим инициализировать список рядом Фибоначчи, то это можно сделать следующим образом:
def fibonacci(n):
a, b = 1, 1
for i in range(n):
yield a
a, b = b, a + b
data = list(fibonacci(10))
print(data)
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]Здесь fibonacci(10) это генератор объекта ряда размерностью 10. При каждом последующем вызове он будет с помощью yield возвращать очередной элемент. Мы создаём из него список. Затем выводим список в консоль с помощью функции print.
Если нам надо будет поочередно получать числа ряда, а не держать в памяти сразу весь список, то можно поступить следующим образом:
def fibonacci():
a, b = 1, 1
while True:
yield a
a, b = b, a + b
gen = fibonacci()
for i in range(5):
print(next(gen))
1
1
2
3
5Здесь мы создали с помощью Python 3 генератор чисел Фибоначчи.
При помощи функции next мы получаем поочередно числа ряда.
Устный журнал по математике. Тема: «Числа Фибоначчи и золотое сечение» 6 класс
Числа Фибоначчи и золотое сечение
МОУ «Малыгинская средняя общеобразовательная школа» Числа Фибоначчи и золотое сечение Выполнила ученица 9 «а» класса Кузнецова Юлия под руководством учителя математики Большаковой О.К. «Числа не управляют
ПодробнееЗолотое сечение в теле человека
Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Золотое сечение
ПодробнееРис.
УДК 517.8 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПРИРОДЕ А.А. Куликов, студент группы ЭЭб-152, I курс Научный руководитель: А.В. Чередниченко, ассистент Кузбасский государственный технический университет г. Кемерово Что общего
ПодробнееУровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
Уровни Фибоначчи В XIII веке Леонардо Фибоначчи, известный итальянский математик обнаружил простую последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Такая зависимость получилась в результате
ПодробнееЗолотое сечение и строение человека
1 Городское соревнование юных исследователей «Шаг в будущее Юниор» Золотое сечение и строение человека Россия, г.сургут, Ульянова Виктория Александровна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
ПодробнееЧто такое числа Фибоначчи?
Что такое числа Фибоначчи? Определение.
Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает
Вечер-конкурс «Математика царица наук»
Вечер-конкурс «Математика царица наук», посвящённый создателю первого русского учебника по математике Леонтию Филипповичу Магницкому. Техническое обеспечение: презентация I. Подготовка к вечеру. 1.Формирование
ПодробнееКонспект урока алгебры в 10 классе
Конспект урока алгебры в 10 классе Тема: Основные тригонометрические формулы. Тип урока: систематизация и обобщение изученного материала. Тригонометрический турнир. Цель урока: обобщить и систематизировать
ПодробнееСпираль Фибоначчи. Число «фи».
Спираль Фибоначчи. Число «фи».
Даже истинные мнения стоят немногого, пока кто-нибудь не соединит их связью причинного рассуждения. Платон. Начать разработку этого материала мне помогла книга Д.Брауна «Код
Древнекитайский символ
Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник
Подробнее«Золотое сечение» Часть I
Учебный проект «Золотое сечение» Часть I «Человек венец творения природы» Автор исследования Мизеровская Анна, ученица 10 «А» класса МБОУ Лицей 7 г. Химки Провести исследования по теме «Золотое сечение
ПодробнееЧисла Фибоначчи. Формула красоты.
Научно исследовательская работа Числа Фибоначчи.
Формула красоты. Автор: ученик10 класс Шроо Артур Муниципального бюджетного образовательного учреждения Катановской средней общеобразовательной школы Руководитель:
Тема урока: «Длина окружности».
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Заречная средняя общеобразовательная школа» Открытый урок по математике в 6 классе Тема урока: «Длина окружности». Урок подготовила и провела учитель математики
ПодробнееАСТРОНОМИЯ А С Т Р О Н О М И Я. Кеплер
А С Т Р О Н О М И Я Кеплер 243 Золотое сечение в строении Солнечной системы и Вселенной У каждой планеты имеется минимальный радиус орбиты, но есть и максимальный как у всякого эллипса. Если рассмотреть
ПодробнееРАЗРАБОТКИ УРОКОВ МАТЕМАТИКИ В 5 КЛАССЕ
Государственное бюджетное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья специальная (коррекционная) общеобразовательная ШКОЛА-ИНТЕРНАТ
ПодробнееСтраничка для влюбленных в математику
Страничка для влюбленных в математику Страницу подготовила учитель математики, директор школы Шмелькова Наталья Александровна Если учитель имеет только любовь к делу, он будет хороший учитель.
Если учитель
«Математика и Физика вокруг нас»
Муниципальное казѐнное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 14» ст. Новотроицкая, Изобильненского района Ставропольского края. Научно практическая конференция «Математика и
ПодробнееМЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ
ВГУЗУ «Украинская медицинская стоматологическая академия» Кафедра социальной медицины, организации и экономики здравоохранения с биостатистикой и медицинским правоведением МЕДИЦИНА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ Лектор:
ПодробнееКромского района Орловской области
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Кромского района Орловской области «Черкасская средняя общеобразовательная школа» Конспект урока математики по теме: «Порядок выполнения действий.
познавательного интереса к учебе
Я и ШКОЛА Цель: формирование познавательного интереса к учебе Задачи: рассказать о необходимости изучать все школьные предметы; привести примеры, как применяются в жизни знания, полученные в школе; объяснить,
ПодробнееСЛОВО, СОЗДАННОЕ В ПОРЫВЕ ВДОХНОВЕНИЯ
СЛОВО, СОЗДАННОЕ В ПОРЫВЕ ВДОХНОВЕНИЯ Выполнила: Волошенко Анастасия, ученица 6Б класса. Руководитель: Ни Н. А., учитель русского языка и литературы. Цель проекта: Изучение этимологии слова «миллион».
ПодробнееУрок-игра по теме «Системы счисления»
Урок-игра по теме «Системы счисления» Предмет: информатика и ИКТ Класс: 9 класс Тема учебного занятия: Урок-игра «Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другие, арифметические операции
ПодробнееОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие… 3
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие…………………………………….. 3 Часть 1. Лекции………………………………….. 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи…. 4 2. Биномиальные
Подробнее«Десятичная запись дробных чисел»
чисел.», ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ 470 КАЛИНИНСКОГО АДМИНИСТРАТИВНОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА Методическое объединение учителей математики Математика Разработка урока математики
ПодробнееПояснительная записка
Пояснительная записка Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как сохранить у школьников интерес к изучаемому материалу, поддержать их активность на протяжении
Подробнее«Подсолнух с целой галактикой» 1
А.Н. Ковалев «Подсолнух с целой галактикой» 1 Аннотация. Рассмотрено уточнение и обобщение модели Фогеля для подсолнуха. Предложена аналогичная формула для одуванчика. Определена формула для разворачивающихся
ПодробнееПриродная мера знания
Павел Саввин Природная мера знания Содержание Предисловие…1 1.Божественная пропорция в числовой последовательности Фибоначчи…2 2. Способ исчисления количества знания…3 Приложение Achillea (Золототысячник)…7
ПодробнееО СЕМЕЙСТВАХ КОНХО-СПИРАЛЕЙ НА КОНУСЕ
Северо-Восточный государственный университет Кафедра алгебры и геометрии О СЕМЕЙСТВАХ КОНХО-СПИРАЛЕЙ НА КОНУСЕ Студентка 5 курса факультета естественных наук и математики Козловская Татьяна Анатольевна
ПодробнееТемы проектов по математике для 5 класса
Темы проектов по математике для 5 класса Алгебраические дроби. В мире процентов. В стране рыцарей и лжецов. Виды уравнений, решаемые в 5-м классе. Возникновение чисел. Вокруг обыкновенных дробей. Графический
ПодробнееСКАНДИНАВСКАЯ ХОДЬБА
СКАНДИНАВСКАЯ ХОДЬБА В нашем детском саду стартует проект «Скандинавская ходьба». Эта работа направлена на оздоровление Ваших детей. Инновацией нашей работы по сбережению здоровья станет «Нордическая ходьба
Подробнее«Применение подобия к решению задач»
План-конспект урока геометрии «Применение подобия к решению задач» 9 класс Цели урока: Формировать умения и навыки применения теоретических знаний при решении задач Развивать сознательное восприятие учебного
ПодробнееСистема счисления. Тренер: Аюпов Р.Х.
Система счисления Тренер: Аюпов Р.Х. — Говорили древнегреческие философы, ученики Пифагора, подчеркивая важную роль чисел в практической деятельности. — Это знаковая система, в которой числа записываются
ПодробнееКонспект. для детей старшей группы 5-6 лет
Муниципальное дошкольное образовательное учреждение детский сад 41 р.п. Петровское Конспект образовательной деятельности по познавательному развитию на тему: «Полет с Незнайкой на математическую планету»
ПодробнееЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ВОКРУГ НАС
Капустина М.Д., Жапова С.Д. Золотое сечение вокруг нас // Материалы по итогам Всероссийской научно-практической конференции «Молодежь XXI века: образование, наука, инновации», 01-10 марта 2016 г. 0,3 п.
ПодробнееОТКРЫТЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ В 4 КЛАССЕ.
178 Беляева М. Ю. Учитель начальных классов ОТКРЫТЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ В 4 КЛАССЕ. Тема: Цели: Измерения и дроби. сформировать понятия доли и дроби ; учить записи, чтению, обозначению с помощью дробного
ПодробнееМатематическая гармония человеческого тела
Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Математическая гармония человеческого
Подробнее«Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра»
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 49 Петродворцового района Санкт-Петербурга имени Героя Российской Федерации М.Ю. Малофеева Методическая разработка
ПодробнееPushkin: Facts & Legends
Добрый день, здравствуйте! Сегодня седьмое февраля, и сегодня я хочу чуть-чуть поговорить с вами о Пушкине. Почему сегодня о Пушкине? Давайте посмотрим вот на этот памятник. Вы видите: тут даты рождения
ПодробнееО ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ. Азарова А.Э., АР-32 г, архитектурный факультет, ДонНАСА; руководитель: Азарова Н.В., ассистент кафедры «Высшая математика», ДонНТУ
Азарова А.Э., АР-32 г, архитектурный факультет, ДонНАСА; руководитель: Азарова Н.В., ассистент кафедры «Высшая математика», ДонНТУ О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ I. Вступление. Человек различает окружающие его предметы
Подробнее| (Ф. Хаусдорф.) ‘ quotes[1]='»Математика — это язык, на котором написана книга природы.»(Г. Галилей) ‘ quotes[2]='»Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.»(А. Маркушевич) ‘ quotes[3]='»Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.»(А.Н. Крылов) ‘ quotes[4]='»Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.»(М.И. Калинин) ‘ quotes[5]='»Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?»(Платон) ‘ quotes[6]='»Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы.»(Д.И. Писарев) ‘ quotes[7]='»Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.»(А.С. Пушкин) ‘ quotes[8]='»Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.»(В. Произволов) ‘ quotes[9]='»В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.»(Н.Е. Жуковский) ‘ quotes[10]='»Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.»(М.В. Ломоносов) ‘ quotes[11]='»Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.»(М.В. Ломоносов) ‘ quotes[12]='»Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.»(Н.И. Лобачевский) ‘ quotes[13]='»Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.»(Л. Эйлер) ‘ quotes[14]='»Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.»(И. Гете) ‘ quotes[15]='»Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…»(В.Ф. Каган) ‘ quotes[16]='»Счет и вычисления — основа порядка в голове.»(Песталоцци) ‘ quotes[17]='»Величие человека — в его способности мыслить.»(Б. Паскаль) ‘ quotes[18]='»Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.»(Д.Пойа) ‘ quotes[19]='»Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.»(Б. Паскаль) ‘ quotes[20]='»В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.»(И. Ньютон) ‘ quotes[21]='»Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.»(Л. Карно) ‘ quotes[22]='»Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.»(М.В. Остроградский) ‘ quotes[23]='»Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее.»(Н.К. Крупская) ‘ quotes[24]='»Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.»(А.П. Конфорович) ‘ quotes[25]='»Доказательство — это рассуждение, которое убеждает.»(Ю.А. Шиханович) ‘ quotes[26]='»В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.»(И. Кант) ‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote]) |
Числа Фибоначчи — что это и для чего они нужны?
Содержание статьи
История чисел ФибоначчиНаучись грамотно управлять капиталом на фондовом рынке
на курсе «Школа инвестиций» от SF Education!
Леонардо Пизано, по прозвищу Фибоначчи, — итальянский математик — родился в Пизе в 1170 году. Его отец работал в торговом порту на северо-востоке Алжира и часто путешествовал.
Фибоначчи изучал математику и во время обширных путешествий познакомился с индийско-арабской системой счисления. Оттуда математик и узнал о числовой последовательности, которую в древней Индии использовали в стихосложении.
Названа последовательность в честь итальянца, потому что именно он представил ее европейскому обществу в труде «Книга абака».
Что такое числа Фибоначчи?
Числа Фибоначчи — это ряд, состоящий из целых чисел. Их особенность заключается в том, что каждый элемент представляет собой сумму двух предыдущих чисел.
Последовательность Фибоначчи начинается с 0 и 1. Продолжить ряд легко: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности.
Математик обратил внимание на числовую последовательность, когда думал о разведении кроликов.
Задача была поставлена следующим образом: «Если новорожденную пару кроликов, самца и самку, поместить в поле, то сколько пар кроликов будет через год?». Но как известно, ни одну практическую задачу невозможно решить без некоторых ограничений и предположений. Поэтому, к условию задачи добавились следующие допущения:
- Кролики не умирают;
- Кролики достигают половой зрелости за один месяц;
- Срок беременности у кроликов – один месяц;
- Достигнув половой зрелости, кролики-самки рожают ежемесячно кролика-самца и кролика-самку.
Схема разведения кроликов выглядит следующим образом:
Так как по условию задачи в поле поместили новорожденных кроликов, то спариваться они не могут, так как не достигли половой зрелости. Через месяц кролики начинают спариваться и еще через один – рождается первая пара потомков. «Родители» продолжают наращивать потомство, а дети месяц ждут своего взросления, чтобы тоже стать родителями. В итоге, через 3 месяца по полю будут бегать три пары кроликов. Через 4 месяца уже 5 пар, а через 5 месяцев – 8.
Уже прослеживается закономерность. В конце каждого месяца количество пар кроликов будет больше, чем в предыдущем месяце ровно на столько, сколько пар было два месяца назад.
С точки зрения математики — это красивая последовательность. Но больший интерес для исследователей представляет не сам ряд, а частное соседних чисел, равное, примерно 1,618 для всех элементов ряда. Эта пропорция больше известна как золотое сечение.
Это соотношение можно найти во предметах, которые нас отгружают: гармония в гранях снежинок, в расположении лепестков цветов, ячеек ананаса, завитки раковин у улитки — все подчиняется правилу золотого сечения. Даже строение нашего тела гармонично: если измерить наш рост и разделить на расстояние от пояса до ступней или длину руки на расстояние от локтя до кончиков пальцев, получится известное нам соотношение 1,618.
Если мы видим человека и его внешность кажется красивой, то скорее всего пропорции его лица соотносятся с соотношением чисел Фибоначчи.
Природа полагается на эту врожденную пропорцию для поддержания баланса.
Финансовые рынки имеют ту же математическую основу, что и перечисленные природные явления. Давайте рассмотрим некоторые способы применения золотого сечения к финансам и покажем несколько диаграмм в качестве доказательства.
Числа Фибоначчи в трейдингеВпервые изучением графиков биржевых котировок и поиском взаимосвязей занялся Ральф Hельсон Эллиотт, американский финансист. Ему удалось обнаружить в поведении фондового рынка особую гармонию. Как Вы уже догадались – гармонию золотого сечения.
Мы рассмотрим четыре инструмента технического анализа, использующих последовательность Фибоначчи, активно применяемые трейдерами – это уровни, дуги, веер и временные зоны Фибоначчи. Сначала поговорим об уровнях коррекции.
1. Коррекции ФибоначчиКоррекция Фибоначчи — популярный инструмент, используемый трейдерами. Еще больше об инструментах, которые используют трейдеры, можно узнать на открытом курсе «Трейдинг и личные инвестиции».
Как это работает: берутся экстремальные точки на графике акций: нижний и верхний уровни цены долгосрочного тренда, и вертикальное расстояние между ними делится на коэффициенты Фибоначчи: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% и 100%. После определения уровней соотношений на графике рисуются горизонтальные линии, представляющие уровни, указывающие на возможные уровни поддержки (цена перестает идти ниже) и сопротивления (цена перестает идти выше).
Откуда берутся эти значения процентов?
- Как мы уже сказали, в последовательности чисел Фибоначчи каждое число примерно в 1,618 раза больше предыдущего. Например, 21/13 = 1,615, а 55/34 = 1,618.
- Соотношение 61,8% получается делением одного числа в ряду на число, которое следует за ним. Например, 8/13 = 0,615 (61,5%), а 21/34 = 0,618 (61,8%).
- Соотношение 38,2% получается путем деления одного числа в ряду на число, расположенное двумя позициями позже. Например, 5/13 = 0,385 (38,5%), а 55/144 = 0,3818 (38,2%).
- 23,6% рассчитывается путем деления одного числа в последовательности на число на три позиции выше. Например, 13/55 = 0,236 (23,6%), а 2/8 = 0,23076 (23,1%).
- 0% — это начало отката, а 100% — полный разворот исходной части движения.
Трейдеры используют уровни коррекции Фибоначчи для определения стратегических моментов для получения выгодной цены. Если тренд возрастает, то уровни коррекции Фибоначчи используются как потенциальные точки покупки при откатах, если тренд убывающий, то как точки входа для коротких продаж.
2. Дуги ФибоначчиДуги Фибоначчи учитывают как время, так и цену, также указывая на потенциальные области поддержки и сопротивления.
Поиск максимума и минимума графика — это первый шаг к построению дуг Фибоначчи. Затем рисуются три изогнутые линии, похожие на полукруги, на расстоянии 38,2%, 50% и 61,8% от желаемой точки. Полукруглые дуги показывают, где цена находит поддержку или сопротивление в будущем.
После роста цены дуги показывают до чего цена может откатиться, прежде чем снова начнет расти. После снижения цены дуги показывают, куда цена может подняться, прежде чем снова начнет падать.
3. Веера ФибоначчиВеера Фибоначчи — это диагональные линии, образующие веер. Как и в предыдущих методах, сначала находятся максимум и минимум тренда. Если траектория возрастающая, то через точку максимума, если убывающие – через точку минимума условно проводится вертикальная линия.
Затем на линии отмечаются уровни: 38,2%, 50% и 61,8%. Дальше соединяются точки первого экстремума и точки, условно отмеченные на невидимой прямой. Получившиеся диагональные линии также указывают на области поддержки и сопротивления.
4. Временные зоны ФибоначчиВременные зоны — это серия линий, параллельных оси ОУ, отстоящих друг от друга на расстоянии, пропорциональном элементам последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т. д.).
Трейдер отмечает на графике очевидный ценовой тренд (его минимум и максимум). Расстояние между этими точками будет задавать единичный отрезок. Дальше рисуются прямые линии соответственно последовательности Фибоначчи: представьте, что Вы строите график на координатной плоскости OXY. Ось OX разбита на длины единичного отрезка от 0 до бесконечности: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…. и так далее.
Теперь вспомним, как выглядит ряд Фибоначчи: 0, 1, 2, 3, 5, 8…. Теперь именно в этих точках на оси OX и будут строиться вертикальные линии, соответствующие временным зонам. Каждая линия указывает время, в которое можно ожидать резкий скачок или спад цены.
Описанные инструменты далеко не единственные методы анализа графиков, использующих золоте сечение и числа Фибоначчи. Возможно, вы слышали и о таких инструментах, как клин, канал, спираль, также названных в честь Фибоначчи. Они отличаются способами построения и внешним видом, но смысл остается один — оценить области поддержки и сопротивления цены. Часто используют несколько методов одновременно для улучшения качества прогнозирования. Подробнее об инструментах, которые используются в трейдинге, можно узнать в бесплатной демо-версии книги по трейдингу.
Надеемся, вы тоже найдете собственное «нишевое» применение исследованиям Фибоначчи и добавите эти методы в свой набор инвестиционных инструментов.
Научись грамотно управлять капиталом на фондовом рынке
на курсе «Школа инвестиций» от SF Education!
Автор: Алексанян Андрон, эксперт SF Education
Список чисел Фибоначчи
В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой каждое число является суммой двух предыдущих чисел, начиная с 0 и 1. То есть F n = F n-1 + F n-2 , где F 0 = 0, F 1 = 1 и n≥2. Последовательность, образованная числами Фибоначчи, называется последовательностью Фибоначчи.
Ниже приводится полный список первых 10, 100 и 300 чисел Фибоначчи.
Первые 10 чисел Фибоначчи
1. 1
2. 1
3. 2
4. 3
5. 5
6. 8
7. 13
8. 21
9. 34
10. 55
Первые 100 чисел Фибоначчи
Первые 100 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи, указанные выше, и числа в этом разделе.
11. 89
12. 144
13. 233
14. 377
15. 610
16. 987
17. 1597
18. 2584
19. 4181
20. 6765
21. 10946
22. 17711
23. 28657
24. 46368
25. 75025
26. 121393
27. 196418
28. 317811
29. 514229
30. 832040
31. 1346269
32. 2178309
33. 3524578
34. 5702887
35. 9227465
36. 14930352
37. 24157817
38. 3
6939. 63245986
40. 102334155
41. 165580141
42. 2676
43. 433494437
44. 701408733
45. 1134
046. 1836311903
47. 2971215073
48. 4807526976
49. 7778742049
50. 12586269025
51. 20365011074
52. 32951280099
53. 533162
54. 86267571272
55. 139583862445
56. 225851433717
57. 365435296162
58. 5
79. 14472334024676221 80. 23416728348467685 81. 378873143906 82. 613057 61159183. 953094755497 84. 160500643816367088 85. 2596954962585 86. 420196140727489673 87. 6798638612258 88. 1100087778366101931 89. 1779979416004714189 90. 2880067194370816120 91. 4660046610375530309 92. 7540113804746346429 93. 12200160415121876738 94. 19740274219868223167 95. 319404346349905 96. 51680708854858323072 97. 83621143489848422977 98. 135301852344706746049 99. 218922995834555169026 100. 354224848179261 5 Первые 300 чисел ФибоначчиПервые 300 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи вверху и числа внизу. 101. 573147844013817084101 102. 927372692193078999176 103. 1500520536206896083277 104. 2427893228399975082453 105. 3928413764606871165730 106. 6356306993006846248183 107. 10284720757613717413913 108. 16641027750620563662096 109. 26925748508234281076009 110. 43566776258854844738105 111. 7049252476708 | 14114
Эта последовательность определена рекурсивно. Это означает, что каждый термин определяется предыдущими терминами. |
и так далее.
Последовательность Фибоначчи определяется, для всех, когда и. |
Другими словами, чтобы получить следующий член в последовательности, добавьте два предыдущих члена.
\ [\ {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,55 + 34 = 89,89 + 55 = 144, \ cdots \} \]
Обозначения, которые мы будем использовать для представления последовательности Фибоначчи, следующие:
\ [f_ {1} = 1, f_ {2} = 1, f_ {3} = 2, f_ {4} = 3, f_ {5} = 5, f_ {6} = 8, f_ {7} = 13, f_ {8} = 21, f_ {9} = 34, f_ {10} = 55, f_ {11} = 89, f_ {12} = 144, \ ldots \]
Пример \ (\ PageIndex {1} \): Рекурсивный поиск чисел Фибоначчи
Найдите 13, 14 и 15 числа Фибоначчи, используя приведенное выше рекурсивное определение последовательности Фибоначчи.
Во-первых, обратите внимание, что уже есть 12 чисел Фибоначчи, перечисленных выше, поэтому, чтобы найти следующие три числа Фибоначчи, мы просто складываем два предыдущих члена, чтобы получить следующий член, как указано в определении.
Следовательно, 13-е, 14-е и 15-е числа Фибоначчи равны 233, 377 и 610 соответственно.
Вычисление членов последовательности Фибоначчи может быть утомительным при использовании рекурсивной формулы, особенно при нахождении членов с большим n.К счастью, математик Леонард Эйлер открыл формулу для вычисления любого числа Фибоначчи. Эта формула была утеряна примерно на 100 лет и была заново открыта другим математиком по имени Жак Бине. Исходная формула, известная как формула Бине, приведена ниже.
Формула Бине : n-е число Фибоначчи определяется по следующей формуле: \ [f_ {n} = \ frac {\ left [\ left (\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ {n} — \ left (\ frac {1- \ sqrt { 5}} {2} \ right) ^ {n} \ right]} {\ sqrt {5}} \] |
| Формула Бине представляет собой пример последовательности , явно определенной .Это означает, что условия последовательности не зависят от предыдущих условий. |
Иногда вместо приведенной выше формулы иногда используется несколько более удобная и упрощенная версия формулы Бине.
Упрощенная формула Бине : n-е число Фибоначчи определяется по следующей формуле: Примечание. Символ означает «округление до ближайшего целого числа.” |
Пример \ (\ PageIndex {2} \): поиск явно
Найдите ценность использования упрощенной формулы Бине.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Работа калькулятора дляПример \ (\ PageIndex {3} \): Поиск Явно
Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Работа калькулятора дляПример \ (\ PageIndex {4} \): Поиск Явно
Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Работа калькулятора дляВезде, где нас окружает природа, мы можем найти числа Фибоначчи. Количество ветвей на некоторых деревьях или количество лепестков некоторых ромашек часто являются числами Фибоначчи
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): числа Фибоначчи и ромашки
а. Ромашка с 13 лепестками б. Ромашка с 21 лепестком
а. б.
(Маргаритки, без даты)
Числа Фибоначчи также появляются в схемах спирального роста, таких как число спиралей на кактусе или на грядках с семенами подсолнечника.
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): числа Фибоначчи и спиральный рост
а. Кактус с 13 спиралями по часовой стрелке b. Подсолнечник с 34 спиралями по часовой стрелке и 55 спиралями против часовой стрелки
а. б.
(Кактус, н.о.) (Подсолнечник, н.о.)
Другой интересный факт возникает при рассмотрении соотношений последовательных чисел Фибоначчи.
Похоже, что эти отношения приближаются к цифре. Число, к которому приближаются эти отношения, — это особое число, называемое золотым сечением, которое обозначается (греческой буквой фи).Вы видели это число в формуле Бине.
Золотое сечение: \ [\ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \] Золотое сечение имеет десятичное приближение \ (\ phi = 1,6180339887 \). |
Золотое сечение является особым числом по разным причинам. Его также называют божественной пропорцией, и он проявляется в искусстве и архитектуре.Некоторые утверждают, что это самое приятное для глаз соотношение. Чтобы найти это соотношение, греки разрезали отрезок на две части и позволили меньшему отрезку равняться одной единице. Самый приятный крой — это когда отношение полной длины к длинной части такое же, как отношение длинной части к короткой 1.
1
перемножим, чтобы получить
переставить, чтобы получить
решите это квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
Золотое сечение — это решение квадратного уравнения, означающее, что оно обладает свойством. Это означает, что если вы хотите возвести в квадрат золотое сечение, просто добавьте к нему единицу. Чтобы проверить это, просто подключите.
Сработало!
Еще одна интересная связь между золотым сечением и последовательностью Фибоначчи возникает при использовании степеней.
И так далее.
Обратите внимание, что коэффициенты и числа, добавленные к члену, являются числами Фибоначчи.{n} = f_ {n} \ phi + f_ {n-1} \)
, где \ (f_ {n} \) — это n-е число Фибоначчи, а \ (\ phi \) — это золотое сечение .
Пример \ (\ PageIndex {5} \): Степени золотого сечения
Найдите следующее, используя правило золотой силы: a. и б.
Числовые паттерны Фибоначчи — рисунок
→ Версия для печати
Вот, для справки, последовательность Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…
Мы уже знаем, что вы получите следующий член в последовательности, добавив перед ним два члена.Но давайте рассмотрим эту последовательность немного дальше.
Сначала поговорим о делителях. Позвольте мне спросить вас: какое из этих чисел делится на 2?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…
Каждое третье число, верно? А 2 — третье число Фибоначчи. Ладно, может это совпадение. Как насчет тех, которые делятся на 3?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…
Каждое четвертое число, а 3 — четвертое число Фибоначчи.Ладно, это могло быть совпадением. А как насчет 5?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…
Каждый пятый номер. А 8?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…
Каждое шестое число. Теперь это похоже на совпадение? Фактически, можно доказать, что этот паттерн продолжается вечно: n-е число Фибоначчи делится поровну на каждое n-е число после него! Круто, а?
Хорошо, теперь возведем в квадрат числа Фибоначчи и посмотрим, что произойдет.
Последовательность Фибоначчи заключается в добавлении последовательных членов, поэтому давайте добавим последовательные квадраты и посмотрим, что мы получим:
Получаем числа Фибоначчи! Фактически, мы получаем каждое второе число в последовательности!
Итак, добавляем по два квадрата за раз. Что происходит, когда мы добавляем более длинные строки? Три, четыре или двадцать пять?
На первый взгляд полученные числа не выглядят такими уж особенными.2 = 1. Рисуем рядом еще одну:
Теперь верхний край фигуры имеет длину 1 + 1 = 2, поэтому мы можем построить на нем квадрат со стороной 2:
Теперь длина самого правого края равна 1 + 2 = 3, поэтому мы можем добавить на его конец квадрат со стороной 3.
Теперь длина нижнего края 2 + 3 = 5:
И это делает крайний левый край 3 + 5 = 8:
И мы можем это сделать, потому что работаем с числами Фибоначчи; квадраты очень удобно сочетаются друг с другом.Мы могли бы добавлять квадраты по спирали наружу столько, сколько захотим. Но мы остановимся на этом и спросим себя, какова площадь этой формы. Что ж, мы построили его, добавив кучу квадратов, и мы не перекрывали ни один из них и не оставляли между ними промежутков, поэтому общая площадь — это сумма всех маленьких областей: то есть. Но получившаяся форма также является прямоугольником, поэтому мы можем найти ее площадь, умножив ее ширину на длину; ширина, а длина…
… и площадь становится произведением чисел Фибоначчи.Это прекрасная визуальная причина той закономерности, которую мы видели ранее в числах! Если мы обобщим то, что мы только что сделали, мы можем использовать обозначение, которое является числом Фибоначчи, и мы получим:
Еще одна вещь: у нас есть группа квадратов на диаграмме, которую мы создали, и мы знаем, что четверть круга очень хорошо вписываются внутрь квадратов, поэтому давайте нарисуем группу четвертей кругов:
И готово! У нас есть так называемая спираль Фибоначчи. Это очень красиво. Но это еще не все, что можно сказать об истории: подробнее читайте на странице, посвященной природе Фибоначчи.
Более того, мы даже не рассмотрели все числовые паттерны в последовательности Фибоначчи. В частности, есть такая, которая заслуживает целой страницы…
чисел Фибоначчи (последовательность)
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 год , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , …
Числа Фибоначчи (Первый 14 перечислены выше) являются последовательность чисел, рекурсивно определяемых формулой
F
0
знак равно
1
F
1
знак равно
1
F
п
знак равно
F
п
—
2
+
F
п
—
1
где
п
≥
2
.
Каждый член последовательности после первых двух — сумма двух предыдущих членов.
1 + 1 знак равно 2 , 1 + 2 знак равно 3 , 2 + 3 знак равно 5 , 3 + 5 знак равно 8 , 5 + 8 знак равно 13 и так далее
Эта последовательность чисел была впервые создана Леонардо Фибоначчи в 1202 .Это обманчиво простая серия с почти безграничными приложениями. Математики были очарованы им почти 800 годы. Бесчисленные математики добавили кусочки к информации о последовательности и о том, как она работает. Это происходит в природе в виде спиралей из листьев и семян. Он играет значительную роль в искусстве и архитектуре.
Когда вы находите соотношение последовательных чисел в последовательности Фибоначчи и делите каждое на предыдущее, вы обнаруживаете, что значение становится все ближе и ближе к 1.61538 … , что является близким приближением Золотое сечение , точное значение которого 1 + 5 2 . Золотое сечение — это отношение длины к ширине Золотой прямоугольник . Обе эти увлекательные темы требуют дальнейшего изучения с вашей стороны.
Что такое последовательность Фибоначчи? И как это применимо к гибкой разработке
Что такое последовательность Фибоначчи?
Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, в которой число представляет собой сложение двух последних чисел, начиная с 0 и 1.
Последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
Обычно пишется выражение:
X n = X n-1 + X n-2
Руководство по гибкой разработке
Это руководство представляет собой основу для перехода вашей команды к гибкой разработке.
Спираль Фибоначчи и золотое сечение
Последовательность Фибоначчи часто визуализируется в виде графика, такого как тот, что в заголовке этой статьи.Каждый из квадратов показывает площадь следующего числа в последовательности. Затем спираль Фибоначчи рисуется внутри квадратов, соединяя углы прямоугольников.
Квадраты идеально подходят друг к другу, потому что соотношение между числами в последовательности Фибоначчи очень близко к золотому сечению [1], которое составляет приблизительно 1,618034. Чем больше числа в последовательности Фибоначчи, тем ближе отношение к золотому сечению.
Спираль и результирующий прямоугольник также известны как золотой прямоугольник [2].
Истоки последовательности Фибоначчи
Фиббоначи (Леанардо Пизано Боголло [3], его прозвище Фибоначчи) впервые представил серию чисел, известную как последовательность Фибоначчи, в своей книге Liver Abaci [4] в 1202 году. Фибоначчи был членом влиятельной итальянской торговой семьи. 12 и 13 века. Будучи частью торговой семьи, математика была неотъемлемой частью бизнеса. Фибоначчи путешествовал по Ближнему Востоку и Индии и был очарован математическими идеями из своих путешествий.Его книга, Liver Abaci , была беседой о математических методах торговли, которые Фибоначчи наблюдал во время своих путешествий.
Фибоначчи известен двумя важными вкладами в западную математику:
- Он помог распространить использование индуистских систем записи чисел в Европе (0,1,2,3,4,5 вместо римских цифр).
- На первый взгляд незначительный ряд чисел позже назвал в его честь Последовательность Фибоначчи.
Фибоначчи открыл последовательность, задав следующий вопрос:
Если пару кроликов поместить в замкнутое пространство, сколько кроликов родится там, если мы предположим, что каждый месяц пара кроликов производит еще пару и что кролики начинают рожать детенышей через два месяца после их рождения?
- Начало: В начале кролики не рождаются, так как первая пара еще не успела забеременеть и родилась (0) .
- Первый месяц: рождается одна пара кроликов (1) .
- Второй месяц: снова рождается одна пара кроликов, поскольку новые кролики еще не созрели для рождения детенышей (1) .
- Третий месяц: две пары кроликов размножаются, а одна пара не готова, поэтому рождаются две пары кроликов (2) .
- Четвертый месяц: три пары кроликов размножаются, а две пары кроликов не готовы, поэтому рождаются три пары кроликов (3) .
- Пятый месяц: пять пар кроликов рождаются, а три еще не готовы, поэтому рождается пять пар кроликов (5) .
- И так далее.
Хотя вопрос Фибоначчи о кроликах — нереальный сценарий, последовательность можно наблюдать в природе, например, в массиве семян подсолнечника и других растений, а также в форме галактик и ураганов.
Семена подсолнечника — это яркая демонстрация последовательности Фибоначчи в природе.
Важность последовательности Фибоначчи
Хотя эта серия чисел из этой простой головоломки может показаться несущественной, она была заново открыта в удивительно разнообразных формах, от разделов продвинутой математики [5] до приложений в информатике [6], статистике [7], природе [ 8] и гибкой разработки.
Как последовательность Фибоначчи используется в гибкой разработке
Теперь вы можете сказать себе: « Это хорошо, но какое это имеет отношение к гибкой разработке? », и это отличный вопрос. Какое отношение имеет последовательность Фибоначчи к гибкой разработке? Интересно, что последовательность Фибоначчи — полезный инструмент для оценки времени выполнения задач.
Оценка задач в Agile
Большая часть управления Agile-командой — это оценка времени, которое потребуется для выполнения задач.Система баллов часто используется, чтобы дать общую оценку масштаба или размера конкретной задачи. Чем больше и сложнее, тем больше очков, а меньше — меньше. Затем менеджеры могут просматривать и расставлять приоритеты задач в соответствии с назначенной шкалой.
Использование последовательности Фибоначчи с вашей командой
Чтобы использовать последовательность Фибоначчи, проинструктируйте свою команду оценивать задачи из последовательности Фибоначчи до 21.
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
Одна из самых маленьких простых задач и двадцать один из больших проектов.Что касается того, почему вы должны использовать последовательность Фибоначчи вместо, скажем, размеров футболки, проверьте мою следующую статью о 5 причин, по которым использование последовательности Фибоначчи сделает вас лучше при оценке задач в гибкой разработке .
А чтобы узнать больше о руководстве командой Agile eLearning Development, ознакомьтесь с нашим приятным электронным руководством, The Agile Guide to Agile Development.
Статьи по теме:
1. 5 причин, по которым использование последовательности Фибоначчи делает вас лучше в гибкой разработке
2.8 компонентов и использование диаграмм Burndown в гибкой разработке
3. Электронная книга: Agile Guide to Agile Development
Список литературы- Золотое сечение
- Золотой прямоугольник
- Леонардо Пизано Фибоначчи
- Liber Abaci Фибоначчи: перевод на современный английский книги расчетов Леонардо Пизано (Источники и исследования по истории математики и физических наук)
- Последовательность Фибоначчи
- Почему числа Фибоначчи важны в информатике?
- Числа Фибоначчи, статистическая сходимость и приложения
- Фибоначчи в природе
Калькулятор Фибоначчи
Этот калькулятор Фибоначчи представляет собой инструмент для вычисления произвольных членов последовательности Фибоначчи.Вам больше никогда не придется добавлять термины вручную — наш калькулятор найдет для вас первые 200 терминов! Вы также можете установить свои собственные начальные значения последовательности, и пусть этот калькулятор сделает всю работу за вас. Обязательно ознакомьтесь с калькулятором геометрической последовательности!
Что такое последовательность Фибоначчи?
Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, подчиняющаяся определенному правилу: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов. Таким образом, каждый член можно выразить следующим уравнением:
Fₙ = Fₙ₋₂ + Fₙ₋₁
Последовательность Фибоначчи обычно имеет первые два члена, равные F₀ = 0 и F₁ = 1.В качестве альтернативы вы можете выбрать F₁ = 1 и F₂ = 1 в качестве стартеров последовательности. В отличие от арифметической последовательности, вам нужно знать как минимум два последовательных члена, чтобы вычислить оставшуюся часть последовательности.
Правило последовательности Фибоначчи также действительно для отрицательных членов — например, вы можете найти F₋₁ равным 1.
Первые пятнадцать членов последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …
Формула для n-го члена
К счастью, вычисление n-го члена последовательности не требует от вас вычисления всех предыдущих членов.Существует простая формула, позволяющая найти произвольный член последовательности:
Fₙ = (φⁿ - ψⁿ) / √5
где:
- Fₙ — n-й член последовательности,
- φ — золотое сечение (равно (1 + √5) / 2, или 1,618 …)
-
ψ = 1 - φ = (1 - √5) / 2.
Наш калькулятор Фибоначчи использует эту формулу для нахождения произвольных членов в мгновение ока!
Формула для n-го члена с произвольными стартерами
Вы также можете использовать калькулятор последовательности Фибоначчи, чтобы найти произвольный член последовательности с разными стартовыми элементами.Просто откройте расширенный режим и установите два числа для первого и второго члена последовательности.
Калькулятор Фибоначчи использует следующую обобщенную формулу для определения n-го члена:
Fₙ = aφⁿ + bψⁿ
где:
-
а = (F₁ - F₀ψ) / √5 -
b = (φF₀ - F₁) / √5 - F₀ — первый член последовательности,
- F₁ — второй член последовательности.
Отрицательные члены последовательности Фибоначчи
Если вы запишете несколько отрицательных членов последовательности Фибоначчи, вы заметите, что последовательность ниже нуля имеет почти те же числа, что и последовательность выше нуля.Вы можете использовать следующее уравнение, чтобы быстро вычислить отрицательные члены:
F₋ₙ = Fₙ * (-1) ⁿ⁺¹
Например, F₋₈ = F₈ * (-1) ⁸⁺¹ = F₈ * (-1) = -21
Спираль Фибоначчи
Если вы нарисуете квадраты со сторонами, длина которых равна каждому последовательному члену последовательности Фибоначчи, вы можете сформировать спираль Фибоначчи:
Спираль на изображении выше использует первые десять членов последовательности — 0 (невидимый), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Последовательность Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи — это естественное явление в природе. Его открыл Леонардо Фибоначчи. Леонардо был итальянским математиком, жившим примерно с 1180 по 1250 год нашей эры. Сегодня математики все еще находят интересный способ, которым эта серия чисел описывает природу. Чтобы увидеть, как эта последовательность описывает природу, внимательно посмотрите на рисунок ниже:
Что именно здесь происходит с точки зрения математики?
Вы можете видеть, что мы начинаем с двух квадратов с длиной стороны, равной 1
Затем, чтобы получить длину стороны третьего квадрата, мы складываем длины сторон двух предыдущих квадратов, равные 1 и 1 ( 1 + 1 = 2)
Чтобы получить длину стороны четвертого квадрата, складываем 1 и 2 (1 + 2 = 3)
Чтобы получить длину стороны пятого квадрата, складываем 2 и 3 (2 + 3 = 5)
Если продолжить этот паттерн, мы получим:
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
34 + 55 = 89
55 + 89 = 144
89 + 144 = 233
Вот краткий список последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
Каждое число в последовательности представляет собой сумму двух чисел перед ним
Мы можем попытаться вывести формулу последовательности Фибоначчи, сделав некоторые наблюдения
F 1 = 1
F 2 9 0004 = 1
F 3 = F 2 + F 1 = 1 + 1 = 2
F 4 = F 3 + F 2 = 2 + 1 = 3
F 5 = F 4 + F 3 = 3 + 2 = 5
F 6 = F 6-1 + F 6-2 = F 5 + F 4 = 5 + 3 = 8
F 7 = F 7-1 + F 7-2 = 8 + 5 = 13
……
……
……
F n = F n-1 + F n-2
Попробовать
Найти сумма первых десяти членов последовательности Фибоначчи
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
Теперь мы выберем числа, отличные от 1 и 1, чтобы создать другие Последовательности, подобные Фибоначчи
2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110
Сумма равна 2 + 2 + 4 + 6 + 10 + 16 + 26 + 42 + 68 + 110 = 286
а что, если мы начнем с 3 и 3?
3, 3, 6, 9, 15, 24, 39, 63, 102, 165
3 + 3 + 6 + 9 + 15 + 24 + 39 + 63 + 102 + 165 = 429
Теперь мы сделать хорошее наблюдение?
143/11 = 13
286/11 = 26
429/11 = 39
143 = 11 × 13 = 11 × 13 × 1
286 = 11 × 26 = 11 × 13 × 2
429 = 11 × 39 = 11 × 13 × 3
Таким образом, вы можете видеть, что сумма первых 10 членов соответствует этому шаблону
11 × 13 × 1
11 × 13 × 2
11 × 13 × 3
11 × 13 × 4
.